初中幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)非常全

1、證明（一）1、本套教材選用如下命題作為公理：（1）、兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。（2）、兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等。（3）、兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）、兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（5）、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（6）、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看做公理。2、平行線(xiàn)的判定定理公理 兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。 簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。 定理 兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行。 簡(jiǎn)單說(shuō)成：同

2、旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。定理 兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。 簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行。3、平行線(xiàn)的性質(zhì)定理公理 兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等。 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，同位角相等。 定理 兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。定理 兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。4、三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于。5、三角形內(nèi)角和定理的推論三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 三角形的一個(gè)外角大于任

3、何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。證明（二）一、公理（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。（2）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）。（3）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）。（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。推論：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合（三線(xiàn)合一）。等腰三角形的其他性質(zhì)：等腰直角三角形的兩個(gè)

4、底角相等且等于45等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則a等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為A，底角為B、C，則A=1802B，B=C=2、等腰三角形的判定方法(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）。(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三、等邊三角形性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。（2）三線(xiàn)合一判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3）有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。四、直角三

5、角形（一）、直角三角形的性質(zhì) 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余2、在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于304、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半5、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即其它性質(zhì)：1、直角三角形斜邊上的高線(xiàn)將直角三角形分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似。2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積（等面積法）（二）、直角三角形的判定 1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

6、3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（三）直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）五、角的平分線(xiàn)及其性質(zhì)與判定1、角的平分線(xiàn)：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線(xiàn)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。2、角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理：三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)（三角形的內(nèi)心），并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。3、角的平分線(xiàn)的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊

7、距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。六、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定1、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。定理：三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)（三角形的外心），并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。七、反證法八、互逆命題、互逆定理1、在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題。2、如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命

8、題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理，其中一個(gè)定理稱(chēng)為另一個(gè)定理的逆定理。 證明（三）一、平行四邊形 1、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分。（4）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這條直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段的中點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，并且這條直線(xiàn)二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行

9、四邊形（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長(zhǎng)高=ah二、矩形 1、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）矩形的對(duì)邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角都是直角（3）矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分（4）矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱(chēng)軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所在的直線(xiàn)。3、矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行

10、四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長(zhǎng)寬=ab三、菱形 1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角（4）菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱(chēng)軸有兩條，是對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱

11、形4、菱形的面積S菱形=底邊長(zhǎng)高=兩條對(duì)角線(xiàn)乘積的一半四、正方形 （310分） 1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角 （3）正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角（4）正方形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)軸有四條，是對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)和對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)所在的直線(xiàn)。3、正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為b

12、S正方形=五、等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等。（4）等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它只有一條對(duì)稱(chēng)軸，即兩底的垂直平分線(xiàn)。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形（3）對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）六、三角形中的中位線(xiàn)1、三角形的中位線(xiàn)：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。2、三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的一半。3、常用結(jié)

13、論：任一個(gè)三角形都有三條中位線(xiàn)，由此有：結(jié)論1：三條中位線(xiàn)組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線(xiàn)將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線(xiàn)將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線(xiàn)和與它相交的中位線(xiàn)互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線(xiàn)的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。七、有關(guān)四邊形四邊中點(diǎn)問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對(duì)角線(xiàn)相等

14、的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形； 解直角三角形 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)考點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì) （35分） 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 A=30可表示如下： BC=AB C=903、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半 ACB=90 可表示如下： CD=AB=BD=AD D為AB的中點(diǎn)4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上

15、的高線(xiàn)是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)ACB=90 CDAB 6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點(diǎn)二、直角三角形的判定 （35分） 1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？键c(diǎn)三、銳角三角函數(shù)的概念 （38分） 1、如圖，在ABC中，C=90 銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記為sinA，即 銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記為cosA，即銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫

16、做A的正切，記為tanA，即2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù) 30 45 60sincostan14、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=5、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在090之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。┛键c(diǎn)四、解直角三角形 （35） 1、解直角三

17、角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在RtABC中，C=90，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A+B=90（3）邊角之間的關(guān)系： 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圓與三角形、四邊形一樣都是研究相關(guān)圖形中的線(xiàn)、角、周長(zhǎng)、面積等知識(shí)。包括性質(zhì)定理與判定定理及公式。集合：圓：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡：1、到定

18、點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是：以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：線(xiàn)段的中垂線(xiàn)；3、到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是：角的平分線(xiàn)；4、到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；5、到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)在圓內(nèi) dr 點(diǎn)A在圓外直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系:直線(xiàn)與圓相離 dr 無(wú)交點(diǎn) 直線(xiàn)與圓相切 d=r 有一個(gè)交點(diǎn) 直線(xiàn)與圓相交 dR+r外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) d=R+r相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) R-rdR+r內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) d=R-r內(nèi)含（圖

19、5） 無(wú)交點(diǎn) dR-r垂徑定理:垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； （2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： AB是直徑 ABCD CE=DE 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在O中，ABCD圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距相等此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)

20、結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF 圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半即：AOB和ACB是 所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB=2ACB圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧即：在O中，C、D都是所對(duì)的圓周角 C=D推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑即：在O中，AB是直徑 或C=90 C=90 AB是直徑推論3：三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的逆定理。弦切角定理: 弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。即：MN是切線(xiàn)，AB是弦 BAM=BCA圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在O中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C切線(xiàn)的性質(zhì)定理與判定定理（1）判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn) 兩個(gè)條