八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十三章 13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題 新人教版

1、第十三章 軸對(duì)稱,13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題,課前預(yù)習(xí),1. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“兩點(diǎn)的所有連線中， .”和“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中， ”等問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題. 2. 如圖13-4-1所示：從A地到B地有三條路可供選擇，其中最近的是第 條路，理由是,線段最短,垂線段最短,兩點(diǎn)之間線段最短,3. 如圖13-4-2,A,B在直線l的兩側(cè)，請(qǐng)?jiān)趌上選取一點(diǎn)P，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，B的距離之和最短，即PA+PB最小. 請(qǐng)問(wèn)這樣選取的理由是 即此時(shí)PA+PB=,兩點(diǎn)之間線段最短,AB,4. 求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和 最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的

2、 ，連接 與 ，則與該直線的交點(diǎn)即為所求. 5. 在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用 、 等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇,對(duì)稱點(diǎn),對(duì)稱點(diǎn),另一個(gè)點(diǎn),軸對(duì)稱,平移,6. 如圖13-4-3，四邊形ABCD中，BAD=120，B=D=90，在BC，CD上分別找一點(diǎn)E和F，使AEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)AEF+AFE的度數(shù)為,120,名師導(dǎo)學(xué),新知1,運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問(wèn)題,運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)，是解決距離之和最小問(wèn)題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個(gè)核 心，所有作法都

3、相同,例1】如圖13-4-4，一個(gè)牧童在小河的南邊A處牧馬，而他正位于他的小屋B處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家. 問(wèn)：馬牽到小河邊什么地方飲水，然后回家所走的路程最短？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出河邊馬飲水的位置,例題精講,解析 本題要在河邊找一點(diǎn)D，使AD+BD最小. 可作出點(diǎn)A關(guān)于河南岸所在直線的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交河岸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是馬飲水的位置. 解 如圖13-4-5，作出點(diǎn)A關(guān)于河的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交河岸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是馬飲水的位置,注意：利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題應(yīng)注意題目要求，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一種方法. 解決這類最值問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)

4、真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求， 導(dǎo)致答非所問(wèn),舉一反三,1 直線l是一條河，A,B兩地相距5 km，A,B兩地到l的距離分別為3 km，6 km，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向A,B兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是(,A,2 直線l是一條河，P，Q是兩個(gè)村莊計(jì)劃在l上的某處修建一個(gè)水泵站M，向P，Q兩地供水現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案（圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道），則所需管道最短的是(,D,3 如圖13-4-6，點(diǎn)P為AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，則PMN周長(zhǎng)為( )

5、 A 4 B 5 C 6 D 7,C,新知2,利用平移確定最短路徑選址,解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題. 在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平 移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來(lái)解決問(wèn)題,例2】如圖13-4-7，兩個(gè)村莊A和B被一條河隔開(kāi)，現(xiàn)要在河上架設(shè)一小橋DC，請(qǐng)你為兩村設(shè)計(jì)橋址，使由A村到B村的距離最?。俣▋珊影秏，n是平行的，且橋要與河垂直），要求簡(jiǎn)單寫(xiě)出作圖過(guò)程并保留作圖痕跡,例題精講,解析 A到B要走的路線是ADCB，如圖13

6、-4-8所示，而DC是定值，于是要使路程最短，只要ADBC最短即可. 此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移DC到AA1，從A1到B應(yīng)是余下的路程，連接BA1的線段即為最短的，此時(shí)不難說(shuō)明點(diǎn)C即為建橋的位置，DC即為所建的橋. 解 (1)如圖13-4-8，過(guò)點(diǎn)A作AA1垂直于河岸，且使AA1等于河寬. (2)連接BA1與河岸的一邊交于點(diǎn)C. (3)過(guò)點(diǎn)C作河岸的垂線交另一條河 岸于點(diǎn)D. 則DC為所建的橋的位置,舉一反三,1 如圖13-4-9，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）(,D,2 如圖13-4-10，要在一條河上架一座橋MN（河的兩岸互相平行，橋與河岸垂直），在如下四種方案中，使得E,