隱函數的導數

1、第二章 導數與微分,第五節(jié) 隱函數及由參數方程所確定的函數的導數,一、隱函數的導數,二、由參數方程所確定的函數的導數,三、相關變化率,四、數學建模的實例,一、隱函數的導數,函數y=f(x)表示變量y與x之間的對應關系，這種對應關系的表示形式是多種多樣的,例如：從下圖中可以看到，對每一個x通過這條曲線都能有唯一的y與之對應,因此我們說這條曲線(或者方程x2+y3+siny=2)確定了一個函數y=f(x,稱其為由該方程確定的隱函數,則稱方程,在區(qū)間,一、隱函數的導數,如果在一定條件下，對于某區(qū)間I上的任意一個值x,一般地,通過方程 相應地總有滿足這個方程的唯一的實數y,則稱方程 在區(qū)間I上確定了一

2、個隱函數,存在,相應的，諸如,等由自變量x的解析式表示的函數稱作顯函數,隱函數 能化為顯函數嗎,由方程 不能解出y來，因此該隱函數不能顯化,把一個隱函數化為顯函數，就稱隱函數顯化,例如,并不是任意一個隱函數都能顯化的,我們關心的是，若方程在某區(qū)間內確定了一個可導的隱函數，能否不對它進行顯化而直接由方程求出它的導數呢,例1 求方程 確定的隱函數 在 點的導數,解 用 替換 中的 y，得,方程兩邊同時對 求導數，得,解方程即可求得,解這個關于 的方程，得,即,注意到 y 是 x 的函數這一事實，我們可以不必像上邊那樣去作代換，而直接將方程兩邊同時對 x 求導數，有,由方程 可知，當 時， ，因此,

3、這一步需要特別注意什么問題,你注意到隱函數導數的表示式的特點了嗎,求隱函數在某一點處的導數時應特別注意什么,總結一下求隱函數的一階導數可分哪幾步,例2 求方程 所確定的隱函數 的導數,整理得,解 方程兩邊同時對 求導數，利用復合函數的求導法則（注意，這里 是 的函數），得,于是有,1. 方程左右兩邊對x求導(注意y是x的函數, 因此對y的函數求導時要用復合函數求導法則). 2. 解方程，求出y (注意y表達式中即含有x，也含有 y,例3 求橢圓 上點 處的切線方程,解 由導數的幾何意義知道，所求切線的斜率為該方程所確定的隱函數在點 處的導數,解得,原方程兩邊分別對 x 求導，得,因此，所求切線

4、斜率,從而，所求的切線方程為,討論：要求切線方程，關鍵要找到什么,下面又應怎么辦,解 由隱函數的求導法，得,于是,例4 求由方程 所確定的隱函數的二階導數,上式兩邊再對 求導，得,將上邊求得 的結果代入，得,下面應怎么辦,您看求隱函數的二階導數的步驟可分幾步？其中需要特別注意什么,1. 方程左右兩邊對x求導(注意y是x的函數). 2. 解方程，求出y的表達式. 3. y的表達式(或求導后方程)左右再對x求導(注意y和y都是x的函數). 4. 將y代入到上面求出的y中(注意y表達式中即含有x，也含有 y,于是,解 將方程的兩邊取對數，得,例5 求 的導數,上式兩邊對 求導，注意到 是 的函數 ，

5、得,隱函數,討論: 這是一個冪指函數, 既不能按照冪函數求導, 也不能按照指數函數求導. 你想怎么解決這個矛盾,對數 求導法,若方程左右兩邊同時取對數, 能解決問題嗎,由這個方程能說 y是 x 的函數嗎,于是,例6 求 的導數,解 將方程的兩邊取對數（假定 ），得,上式兩邊對 求導，注意到 是 的函數 ，得,于是,討論: 這個題目復雜嗎？原因是什么？如果能“積化和差”好求導嗎？怎么能“積化和差”,當 時,當 時,用同樣的方法可得與上面相同的結果,總結一下，什么時候適合使用“對數求導法”,1. 冪指函數求導數； 2. 函數為多個因子的乘積,求一般冪指函數 的導數時，同樣可以用上述 “對數求導法”

6、但注意到 ，也可以利用復合函數求導法則求導如,二、由參數方程所確定的函數的導數,實例：拋射體的運動軌跡,其中g為重力加速度，t為時間,某時刻 t 時，炮彈在鉛垂平面內所在位置的橫坐標 x 與縱坐標 y，它們都與 t 存在函數關系. 如果把對應于同一個 t 的 x,y 的值看作對應的，這樣就得到 x 與 y 之間的函數關系,利用代入消元法，消去參數 t 得到,則稱此函數關系所表達的函數為由上述參數方程所確定的函數,下面我們來研究求參數方程所確定的函數的導數,一般地，若參數方程,確定了y與x之間的函數關系,如果在上述參數方程中函數 具有單調連續(xù)的反函數,并且 與函數 可以構成復合函數，其中t 為中

7、間變量,于是,由一階微分形式的不變性，有,再由 ，利用反函數求導法則得,代入 得,與 可以構成復合函數,定理1(參數方程求導法則)設參數方程,若 在區(qū)間 內可導，并且,中， 具有單調連續(xù)的反函數 ，并且,則有,參數方程求導計算公式,例7 求由參數方程,解,所確定的函數 的微商,例8 已知橢圓的參數方程為,求它在 相應的點處的切線方程,曲線在點 的切線斜率為,由直線的點斜式方程，可得所求的切線方程為,即,討論: 求一點處的切線需要知道什么？由 我們能知道什么,若 皆二階可導，有,設函數的參數方程為,利用參數方程求二階導數,參數方程的一階導數為,對一階導數關于x求導,其變量t應看作中間變量,而按照

8、復合函數求導法,由于,因此,在實際計算時，通常利用,不必刻意去記公式,因此,例10 求由擺線的參數方程 所確定的函數 的二階導數,總結一下，求參數方程確定的函數的二階導數應該注意什么呢,而 與 又都,三、相關變化率,設變量y與x之間存在著函數關系y=f(x,都是（對它們的自變量 ）可導的,這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率,是第三個變量 的函數：,如果函數,那么由于 與,因此二者分別相對于 的變化率,之間存在依賴關系,之間也一定存在著依賴關系,我們要研究的相關變化率問題就是要研究變化率 , 之間的關系，從而利用其中的一個求出另外的一個,若變量x,y之間的關系是y=f(x)，由復合函數求導法則

9、，得 , 之間的關系為,即,解,已知梯子下端滑動的速率，欲求上端下滑的速率我們必須首先建立梯子上端下滑的位移與下端離開墻腳的位移之間的關系,例11 有一長度為5米的梯子鉛直的靠在墻上假設其下端沿地板離開墻腳而滑動，當其下端離開墻腳1.4米時，其下端滑動的速率為3米/分問此時梯子上端下滑的速率為多少,設梯子上端下滑的位移為 米時下端離開墻腳的位移為x米，如圖所示，有,討論: 要求的是誰對誰的相關變化率？已知的是誰對誰的相關變化率？首先應該做什么工作,這就得到了 ，關于 的導數之間的關系由 米時， 米/分，將它們代入上式，得,所以這時梯子上端下滑的速率為0.875米/分,將 的兩邊關于 分別求導，得,上端下滑的速率與下端離開墻腳的速率分別