二次函數(shù)與特殊四邊形綜合問題

1、二次函數(shù)與特殊四邊形綜合問題一、知識準備： 拋物線與直線形的結合表形式之一是，以拋物線為載體，探討是否存在一些點，使其能構成某些特殊四邊形，有以下常風的基本形式（1）拋物線上的點能否構成平行四邊形（2）拋物線上的點能否構成矩形，菱形，正方形（3）拋物線上的點能否構成梯形。特殊四邊形的性質與是解決這類問題的基礎，而待定系數(shù)法，數(shù)形結合，分類討論是解決這類問題的關鍵二、例題精析【拋物線上的點能否構成平行四邊形】例一、如圖，拋物線與直線交于兩點，其中點在軸上，點的坐標為。點是軸右側的拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點.（1）求拋物線的解析式；（2）若點的橫坐標為，當為何值時，以為頂點的四邊形是平行

2、四邊形？請說明理由。（3）若存在點，使，請直接寫出相應的點的坐標【解答】（1）直線經(jīng)過點, 拋物線經(jīng)過點， 拋物線的解析式為（2）點的橫坐標為且在拋物線上 ，當時，以為頂點的四邊形是平行四邊形 當時，解得：即當或時，四邊形是平行四邊形 當時，解得：（舍去）即當時，四邊形是平行四邊形（3）如圖，當點在上方且時，作,則 PMFCNF， 又 解得：，（舍去） 。同理可以求得：另外一點為【拋物線上的點能否構成矩形，菱形，正方形】例二（2013荊州）如圖，已知：如圖，直線y=x+與x軸、y軸分別交于A、B兩點，兩動點D、E分別從A、B兩點同時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止）；對稱軸過點A且頂點為M的拋物

3、線y=a（xk）2+h（a0）始終經(jīng)過點E，過E作EGOA交拋物線于點G，交AB于點F，連結DE、DF、AG、BG設D、E的運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，運動時間為t秒（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；（2）當t為何值時，四邊形ADEF是菱形？判斷此時AFG與AGB是否相似，并說明理由；（3）當ADF是直角三角形，且拋物線的頂點M恰好在BG上時，求拋物線的解析式考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）首先求出一次函數(shù)y=x+與坐標軸交點A、B的坐標，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的長；（2）由EFAD，且EF=AD=t，則四邊形ADEF為平行四邊形，若ADEF是菱

4、形，則DE=AD=t由DE=2OE，列方程求出t的值；如答圖1所示，推出BAG=GAF，ABG=AGF=30，證明AFG與AGB相似（3）當ADF是直角三角形時，有兩種情形，需要分類討論：若ADF=90，如答圖2所示首先求出此時t的值；其次求出點G的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，得到點M的坐標；最后利用頂點式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；若AFD=90，如答圖3所示解題思路與相同解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1A（1，0），B（0，），OA=1，OB=tanOAB=，OAB=60，AB=2OA=2EGOA，EFB=OAB=60EF=t，

5、BF=2EF=2t，AF=ABBF=22t（2）EFAD，且EF=AD=t，四邊形ADEF為平行四邊形若ADEF是菱形，則DE=AD=t由DE=2OD，即：t=2（1t），解得t=t=時，四邊形ADEF是菱形此時AFG與AGB相似理由如下：如答圖1所示，連接AE，四邊形ADEF是菱形，DEF=DAF=60，AEF=30由拋物線的對稱性可知，AG=AE，AGF=AEF=30在RtBEG中，BE=，EG=2，tanEBG=，EBG=60，ABG=EBGEBF=30在AFG與AGB中，BAG=GAF，ABG=AGF=30，AFGAGB（3）當ADF是直角三角形時，若ADF=90，如答圖2所示：此時A

6、F=2DA，即22t=2t，解得t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）設直線BG的解析式為y=kx+b，將B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）設拋物線解析式為y=a（x1）2+，點E（0，）在拋物線上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+若AFD=90，如答圖3所示：此時AD=2AF，即：t=2（22t），解得：t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）設直線BG的解析式為y=kx+b，將B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）設拋物線解析式為y=a（x1）2+，

7、點E（0，）在拋物線上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+綜上所述，符合條件的拋物線的解析式為：y=x2+x+或y=x2+x+點評：本題是中考壓軸題，涉及二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知識點第（3）問中，有兩種情形存在，需要分類討論，避免漏解【拋物線上的點能否構成梯形】例三. (2008年成都市)如圖，在平面直角坐標系xOy中，OAB的頂點的坐標為（10，0），頂點B在第一象限內(nèi)，且=3，sinOAB=.（1）若點C是點B關于x軸的對稱點，求經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的函數(shù)表達式；（2）在(1)中，拋物線上是否存在一點P，使以

8、P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若將點O、點A分別變換為點Q（ -2k ,0）、點R（5k，0）（k1的常數(shù)），設過Q、R兩點，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為N，其頂點為M，記QNM的面積為，QNR的面積，求的值.解：（1）如圖，過點作于點在中，yxFP3BECDAP2P1O，又由勾股定理，得點在第一象限內(nèi)，點的坐標為點關于軸對稱的點的坐標為設經(jīng)過三點的拋物線的函數(shù)表達式為由經(jīng)過三點的拋物線的函數(shù)表達式為（2）假設在（1）中的拋物線上存在點，使以為頂點的四邊形為梯形點不是拋物線的頂點，過點作直線的平行線與拋物線交于點則

9、直線的函數(shù)表達式為對于，令或而點，在四邊形中，顯然點是符合要求的點若設直線的函數(shù)表達式為將點代入，得直線的函數(shù)表達式為于是可設直線的函數(shù)表達式為將點代入，得直線的函數(shù)表達式為由，即而點，過點作軸于點，則在中，由勾股定理，得而在四邊形中，但點是符合要求的點若設直線的函數(shù)表達式為將點代入，得直線的函數(shù)表達式為直線的函數(shù)表達式為由，即而點，過點作軸于點，則在中，由勾股定理，得而在四邊形中，但點是符合要求的點綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點，使以為頂點的四邊形為梯形（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下yxQOGRMN當拋物線開口向上時，則此拋物線與軸的負半軸交于點可設拋物線的函數(shù)表達式為

10、即如圖，過點作軸于點，當拋物線開口向下時，則此拋物線與軸的正半軸交于點同理，可得綜上可知，的值為三、形成提升訓練1、如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2（1） 求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；（2） P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、 C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由A2、如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式及頂點坐標；（2）設點E（，）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由3： 如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(