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文檔簡介

1、巧用向量方法求解決最值問題梁常東1 蔣曉云2（1欽州師專數(shù)學與計算機科學系 廣西 欽州 2桂林師專數(shù)學與計算機科學系 廣西 桂林 ）在中學數(shù)學中，對某些代數(shù)式的最值問題通常使用湊配技巧（如配方法）求解，現(xiàn)在高中數(shù)學增加了向量內容，我們使用向量方法求解最值問題，特別是一些無理式的最值問題，可以大大簡化解題過程，提高解題效率，收到事半功倍的效果。1 利用向量的數(shù)量積求最值設向量，則的數(shù)量積為：，從而有：,當且僅當 （1）,當且僅當 （2）完全類似地，設向量，則的數(shù)量積為：，從而也有：,當且僅當；，當且僅當。在求解某些初等代數(shù)最值問題時，根據(jù)條件和結論的特點，將其轉化為向量形式，利用向量的數(shù)量積，往

2、往能避免繁雜的湊配技巧，使解答過程直觀又易接受，下面舉例說明：例1設R+,且,求函數(shù) 的最小值。解:設,由定義有：從而 =,當且僅當同向,即時取等號，所以當時，取得最小值20。例2 設 且,求函數(shù)y=的最小值。解: 設,則當且僅當同向時,即取等號，所以當時，y取得最小值。 例3 若,且，求 的最小值。解：設 （*）即，當時，（*）后一個不等式取等號，這時剛好取得最小值。2 利用向量的三角不等式求無理多項式的最值向量三角不等式主要有以下四個: (1),當且僅當同向時取等號；(2),當且僅當反向時取等號；(3),當且僅當反向時取等號；(4),當且僅當同向時取等號。利用這些不等式來求一類無理式的最值，常可以簡化運算，收到事半功倍的效果。關鍵是注意它們在什么條件下等號成立。例4 當為何值時，函數(shù)有最小值，并求出這個最小值。 分析：因函數(shù)含有無理式，利用湊配技巧來求最值比較麻煩，下面利用向量的數(shù)量積來求解。 解: 將函數(shù)變形為，設，則有=，當且僅當反向，即時取等號；所以時，原函數(shù)的最小值為5。例5 已知實數(shù)滿足條件，求的最大值。解: , 令 則 （*）總有當且僅當反向，即時（*）取等號，即當，時，有最大值為，且，這時=取到最大值。 例6 已知是小于1的數(shù)，求的最小值。分析: 因為，問題轉化為如何設，使，且中不含，還要保證這4

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