結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法的計(jì)算

1、1,第八章 位移法,2,3,8-1 位移法的基本概念,一. 位移法的基本概念,1. 位移法的基本未知量,EI,EI,如上圖所示的連續(xù)梁，取結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角位移 作為基本未知量，這就保證了AB桿與BC桿在B截面的轉(zhuǎn)角位移的連續(xù)協(xié)調(diào)(,選取結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移或結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移作為位移法的基本未知量,4,2. 位移法求解的基本步驟,5,3）桿端彎矩的表達(dá)式,由結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡條件，可得,4）建立位移法方程，并求解,6,5）作彎矩圖,將求得的 代入桿端彎矩表達(dá)式，得到,7,1）位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)內(nèi)部剛結(jié)點(diǎn)（不包括支座結(jié)點(diǎn)）的轉(zhuǎn)角位移或結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移,2）選取內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的位移作為未知量就已

2、經(jīng)滿足了結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件：位移法的典型方程是力（其中包括力矩）的平衡方程，滿足了結(jié)構(gòu)中力的平衡條件,3）位移法的基本結(jié)構(gòu)可看作為單跨超靜定梁的組合體系。為了順利求解，必須首先討論單跨超靜定梁在荷載及桿端位移作用下的求解問題,小結(jié),8,二.位移法的基本未知量的確定,不把支座結(jié)點(diǎn)的可能位移作為位移法的未知量是因?yàn)?1）為了減少人工計(jì)算時(shí)基本未知量的數(shù)目,2) 單跨超靜定梁的桿端彎矩表達(dá)式中已經(jīng)反映了支座可能位移（轉(zhuǎn)角位移，相對線位移）的影響，如下圖所示,位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)內(nèi)部的剛結(jié)點(diǎn)（不包括支座結(jié)點(diǎn)）的轉(zhuǎn)角 和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移,9,為了減少人工計(jì)算時(shí)基本未知量的數(shù)目，在采用位移法

3、求解時(shí)，確定結(jié)構(gòu)的基本未知量之前，引入如下的基本假設(shè)：對于受彎桿件，忽略其軸向變形和剪切變形的影響,亦即假定桿件在軸向是剛性的，桿件在發(fā)生彎曲變形時(shí)既不伸長也不縮短,10,1剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移的基本未知量 的確定,結(jié)構(gòu)內(nèi)部有多少個(gè)剛結(jié)點(diǎn)就有多少個(gè)結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移被確定為基本未知量，增加附加剛臂。結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移的基本未知量的數(shù)目就是個(gè),11,從兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（沒有線位移的點(diǎn)）引出的兩根無軸向變形的桿件，其交點(diǎn)沒有線位移,采用位移法求解的基本未知量的數(shù)目,結(jié)構(gòu)中獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移,結(jié)構(gòu)內(nèi)部剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移,采用增加附加鏈桿的方法確定獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移的基本未知量,2獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)之間的相對線位

4、移的基本未知量 的確定,若一個(gè)結(jié)構(gòu)須要附加 根鏈桿才能使所有內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)成為不動(dòng)點(diǎn)（沒有任何結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移發(fā)生），則該結(jié)構(gòu)中獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)之間的相對線位移的基本未知量的數(shù)目就是 個(gè),12,增加附加鏈桿,EA = 有限值,13,8-2 等截面直桿的剛度（轉(zhuǎn)角位移）方程,一. 符號規(guī)則,1桿端彎矩,規(guī)定桿端彎矩順時(shí)針方向?yàn)檎鏁r(shí)針方向?yàn)樨?fù),桿端彎矩具有雙重身份,1）對桿件隔離體，桿端彎矩是外力偶，順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù),2）若把桿件裝配成結(jié)構(gòu)，桿端彎矩又成為內(nèi)力，彎矩圖仍畫在受拉側(cè),14,規(guī)定結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角以順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù),3桿件兩端的相對線位移,FP,2結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移,桿件兩

5、端的相對線位移 的正負(fù)號與弦轉(zhuǎn)角的正負(fù)號一致。而以順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù),15,1. 兩端固定的梁:(,二.等截面直桿的剛度（轉(zhuǎn)角位移）方程,16,式中系數(shù)4i、2i、6i/l 稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位桿端位移所需施加的桿端彎矩,由上圖可得,可以寫成為,上式就是兩端固定的梁的剛度（轉(zhuǎn)角位移）方程,17,2. 一端固定，一端滾軸支座的梁,18,3. 一端固定，一端定向滑動(dòng)支座的梁,19,4. 等截面直桿只要兩端的桿端位移對應(yīng)相同，則相應(yīng)的桿端力也相同,1,20,3,2,21,1. 兩端固定的梁,三. 固端彎矩,單跨超靜定梁在荷載作用下產(chǎn)生的桿端彎矩稱為固端彎矩。固端彎矩以順時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

6、逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù),22,2. 一端固定，一端可動(dòng)鉸支座的梁,23,3. 一端固定，一端滑動(dòng)支座的梁,各種單跨超靜定梁的固端彎矩可查教材附表,24,四.正確判別固端彎矩的正負(fù)號,25,8-3 無側(cè)移剛架和有側(cè)移剛架的計(jì)算,一. 采用位移法求解無側(cè)移的剛架,有兩種建立位移法方程的方法,1）直接列方程法：直接利用平衡條件建立位移法的典型方程,2）典型方程法：利用位移法的基本體系來建立位移法的典型方程,26,解,例8-3-1 采用位移法求作圖示剛架的 M 圖，已知各桿的 EI 相同,1. 直接列方程法:直接利用結(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件來建立位移法的一般方程,27,a) 由于荷載引起的固端彎矩,2）列出桿端彎矩

7、的表達(dá)式,10.67,42.67,21.33,10.67,28,b) 由于B 產(chǎn)生的桿端彎矩,B,29,c) 由于D 產(chǎn)生的桿端彎矩,30,疊加以上三種情況下的桿端彎矩，其表達(dá)式為,31,3）建立位移法方程，并求解,由結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)D的平衡條件，可得,32,4）作彎矩圖,0.71,1.78,27.02,25.24,38.76,1.42,11.73,M 圖(,33,2. 典型方程法：利用位移法的基本體系來建立位移法的典型方程,解,1）確定基本未知量的個(gè)數(shù)，并選取基本體系,容易確定此剛架只有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移為基本未知量： 和 ，選取基本體系如下圖所示,基本體系,34,2）列出位移法的典型方程,3）

8、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng),10.67,42.67,21.33,10.67,MP 圖,R1P,R2P,i）作出基本體系的 圖， 圖， 圖,35,2i,4i,2i,4i,r11,r21,2i,i,4i,3i,i,r12,r22,36,ii）求方程中的系數(shù)和自由項(xiàng),4）回代入方程中，求解得,5）采用疊加法作彎矩圖,如前圖所示,37,r11= 8i,r12 = r21 = 2i,r22= 8i,上述剛度系數(shù)實(shí)質(zhì)上是剛結(jié)點(diǎn)附加轉(zhuǎn)動(dòng)約束上產(chǎn)生的反力矩。由于原結(jié)構(gòu)并沒有附加轉(zhuǎn)動(dòng)約束，各附加轉(zhuǎn)動(dòng)約束上的反力矩之和應(yīng)等于零。據(jù)此可以建立位移法典型方程,位移法典型方程的物理意義：剛結(jié)點(diǎn)處附加轉(zhuǎn)動(dòng)約束上的反力矩之和等于零。

9、所以，方程右端恒等于零。位移法典型方程的實(shí)質(zhì)是力的平衡方程,R1P= 10.67,R2P= 32.00,總結(jié),38,1. 直接列方程法:利用平衡條件建立位移法方程,二.采用位移法求解有側(cè)移的剛架,例8-3-2 采用位移法求作圖示剛架的內(nèi)力圖,解,2）列出桿端彎矩表達(dá)式,39,a）固端彎矩,2kN/m,14kN,b） 產(chǎn)生的桿端彎矩,c） 產(chǎn)生的桿端彎矩,40,3）建立位移法方程,并求解,由結(jié)點(diǎn)D的平衡,先考慮DA柱,作隔離體如右圖，求柱端剪力,41,再考慮EB柱,最后,考慮CE梁水平方向的平衡,FSEB,42,解方程組、，得,4）作內(nèi)力圖,43,44,解,1）確定基本未知量的數(shù)目，并選取基本體

10、系,2. 典型方程法：利用位移法的基本體系來建立位移法的典型方程,基本體系,45,2）列出位移法的典型方程,3）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng),i）作出基本體系的,4kN.m,14kN,14kN.m,R1P,R2P = 3,R2P,MP 圖,附加剛臂上的反力矩之和等于零,附加鏈桿上的反力之和等于零,46,r11,2i,i,3 i,r21,r21= 0.75i,47,1.5i,r12,r22,r22= 0.75i,0.75i,圖,0.75i,48,ii）求方程的系數(shù)和自由項(xiàng),r11= 5i， r12 = r21 = 0.75i， r22= 0.75i，R1P = 14，R2P = 3,4）回代入方程中，求解得

11、,5）采用疊加法作彎矩圖,如前圖所示,49,8-4 對稱結(jié)構(gòu)的簡化計(jì)算,結(jié)構(gòu)對稱是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀，支座條件，材料性質(zhì)以及各桿剛度 EA，EI，GA 均滿足對同一個(gè)軸對稱,利用結(jié)構(gòu)的對稱性進(jìn)行簡化計(jì)算，其基本思路是減少采用位移法計(jì)算的基本未知量的個(gè)數(shù),一. 奇數(shù)跨的剛架,分析與對稱軸相交截面的位移條件，從而根據(jù)對稱性取半邊結(jié)構(gòu)時(shí)，該截面應(yīng)加上與位移條件相應(yīng)的支座,50,對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均是對稱的,在取半邊結(jié)構(gòu)時(shí)，C截面加上定向滑動(dòng)支座，此時(shí)應(yīng)將橫梁的線剛度加倍,未知量,取半邊結(jié)構(gòu),2i2,1. 對稱荷載,51,未知量,2i,52,未知量,2i2,53,未知量,2i2,在取

12、半邊結(jié)構(gòu)時(shí)，C截面加上可動(dòng)鉸支座，此時(shí)應(yīng)將橫梁的線剛度加倍,2反對稱荷載,對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均是反對稱的,54,二.偶數(shù)跨的剛架,偶數(shù)跨的剛架不存在與對稱軸相交的截面，其中一根桿件為對稱軸,1. 對稱荷載,未知量,在取半邊結(jié)構(gòu)時(shí)，C截面加上固定支座，此時(shí)應(yīng)將橫梁的線剛度加倍,55,2. 反對稱荷載,56,可以將中間桿件分成慣性矩各為I1/2的兩個(gè)桿件，兩桿件間的跨度為dl，則原結(jié)構(gòu)變?yōu)槠鏀?shù)跨結(jié)構(gòu)。 利用奇數(shù)跨結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的結(jié)論，就可以得到圖示的從中間劈開的半剛架的簡化結(jié)果,57,例8-4-1 試?yán)脤ΨQ性求作圖示對稱結(jié)構(gòu) 的 M 圖,三. 舉例,解,M = 0,

13、結(jié)構(gòu)對稱 非對稱荷載= 正對稱荷載+反對稱荷載,58,M 圖（FP h,M = 0,59,例8-4-2 試?yán)脤ΨQ性求作圖示對稱結(jié)構(gòu) 的 M 圖,解,M = 0,60,M 圖（,61,四.對稱溫度變化時(shí)的求解,1.奇數(shù)跨剛架,取半邊結(jié)構(gòu)求解,62,2偶數(shù)跨剛架,例8-4-3 作下圖a)示結(jié)構(gòu)M圖。剛架各桿為矩形截面，截面高為0.6m，各桿EI相同,解,63,1）各桿兩端相對側(cè)移,桿AB縮短,桿CD伸長,桿BC縮短,則AB、BC桿相對側(cè)移為,64,2）求固端彎矩,相對側(cè)移 產(chǎn)生的固端彎矩為,桿兩端溫差 產(chǎn)生的固端彎矩為,65,3）桿端彎矩表達(dá)式,4）建立位移法方程并求解,66,5）回代求桿端彎矩

14、并畫彎矩圖,在溫度變化作用下，超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與桿件EI 的絕對值成正比,67,8-5 支座移動(dòng)、溫度變化及具有 彈簧支座結(jié)構(gòu)的計(jì)算,一. 支座移動(dòng)時(shí)的位移法求解,解題思路,1）鎖住結(jié)點(diǎn)，即令結(jié)點(diǎn)位移未知量等于零,2）令結(jié)構(gòu)產(chǎn)生已知的支座移動(dòng)，此時(shí)各桿產(chǎn)生固端彎矩,3）令結(jié)構(gòu)分別產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)位移，此時(shí)各桿產(chǎn)生桿端彎矩,4）疊加2)、3)的結(jié)果就求得各桿最終的桿端彎矩,68,例8-5-1 作下圖示結(jié)構(gòu) M 圖,解,1）桿端彎矩表達(dá)式,69,2）建立位移法方程并求解,3）作彎矩圖,70,在支座移動(dòng)作用下，超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與桿件EI的絕對值成正比,M 圖,結(jié)構(gòu)彎矩圖如下圖示,思考題:下圖示剛架結(jié)點(diǎn)B、C有向

15、右位移動(dòng),作結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖,71,二、 彈簧支座的處理,根據(jù)彈簧支座所在的位置，有時(shí)需要增加結(jié)點(diǎn)位移未知量,不增加未知量,72,例8-5-2 求下圖示結(jié)構(gòu) M 圖,1）未知量,解,2）桿端彎矩表達(dá)式,桿端彎矩由三部份組成,73,74,3）建立位移法方程并求解,取隔離體如下圖示，先求剪力FQBA 、 FQCD,75,在彈簧支座A處補(bǔ)充平衡方程,解方程組、，得,76,4）作彎矩圖,77,例8-5-3 作下圖示連續(xù)梁的M圖,1）未知量,解,78,2）桿端彎矩表達(dá)式,79,3）建立位移法方程并求解,取BC桿作為隔離體，求剪力FQCB,80,解方程組、，得,4）作彎矩圖,81,三. 溫度變化時(shí)的計(jì)算,在溫度

16、變化影響下，桿件軸向變形不能忽略,例8-5-4 作右圖示剛架M 圖,解,1）未知量,2）桿端彎矩表達(dá)式,82,桿BA伸長,桿BC伸長,桿BA相對側(cè)移,桿BC相對側(cè)移,83,由相對側(cè)移產(chǎn)生的固端彎矩,由桿兩側(cè)溫差產(chǎn)生的固端彎矩,84,總的固端彎矩為,桿端彎矩表達(dá)式為,85,3）建立位移法方程并求解,取隔離體，求剪力FQBA,86,解方程組、，得,4）作彎矩圖,87,8-6 斜桿剛架的計(jì)算,解帶斜桿的剛架，關(guān)鍵是如何確定斜桿兩端的相對側(cè)移,確定斜桿兩端的相對側(cè)移需要畫位移圖。其思路是：根據(jù)已知兩個(gè)結(jié)點(diǎn)線位移的大小和方向確定第三個(gè)結(jié)點(diǎn)的線位移,如下頁圖示裝置，已知結(jié)點(diǎn)A、B線位移的大小和方向，求結(jié)點(diǎn)

17、C的線位移,88,多邊形 為所求位移圖,89,右圖即為所求的位移圖,作位移圖具體步驟,2）過A作AC垂線，過B作CB垂線，兩垂線交點(diǎn)為C,90,例8-6-1 作圖示剛架M圖,1）未知量,解,2）畫位移圖，確定各桿相對側(cè)移,91,4）建立位移法方程并求解,結(jié)點(diǎn)B,3）桿端彎矩表達(dá)式,92,取AB桿為隔離體，求剪力FQBA,考慮BC部分平衡,93,解方程組、，得,5）作彎矩圖,94,例8-6-2 作圖示結(jié)構(gòu) M 圖,解,95,2）畫位移圖，確定各桿相對側(cè)移,3）桿端彎矩表達(dá)式,4）建立位移法方程并求解,96,考慮ABC部分平衡,取桿BD為隔離體，求剪力FQBD,97,5）作彎矩圖,98,注意帶滑動(dòng)

18、支座單跨斜梁固端彎矩及剛度系數(shù)的求解,99,e,100,8-7 剪力分配法,1）橫梁抗彎剛度EI的剛架（EA總認(rèn)為趨于無窮大,2）鉸接排架中，橫梁EA的結(jié)構(gòu),用位移法求解時(shí)，若結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移未知量中只有線位移而沒有角位移，除少數(shù)情況外，均適用剪力分配法,下列兩類結(jié)構(gòu)可能滿足上述條件,101,102,一、水平結(jié)點(diǎn)荷載作用的情況,例8-7-1 作圖示結(jié)構(gòu) M 圖,解,2）桿端彎矩表達(dá)式,103,3）建立位移法方程并求解,求各柱剪力,k1、k2、k3稱為柱的側(cè)移剛度，在數(shù)值上等于該柱兩端產(chǎn)生相對側(cè)移=1時(shí)柱的剪力值,104,考慮ACE部分平衡,105,4）求各柱剪力并畫彎矩圖,i 稱為剪力分配系數(shù)，且有 =1?？梢?，總剪力FP 按剪力分配系數(shù)確定的比例分配給各柱,106,各柱端彎矩為,M 圖,107,剪力分配法解題步驟,為層總剪力,1）求各柱側(cè)移剛度k,2）求剪力分配系數(shù),3）求各柱剪力并作M 圖,108,例8-7-2 作圖示剛架M圖,1）求各柱側(cè)移剛度,解,令,109,2）求剪