202X版高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：3.1三角函數(shù)的概念（蘇教版·數(shù)學(xué)理）

1、第一節(jié) 三角函數(shù)的概念,高考指數(shù),1.角的有關(guān)概念,即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：角為銳角是角為第一象限角的什么條件？ 提示：充分不必要條件，因?yàn)殇J角為大于0小于 的角，而第 一象限角的范圍為(2k，2k+ )(kZ,2)判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“”). 第一象限角一定是銳角( ) 小于90的角一定是銳角( ) 鈍角一定是第二象限角( ) 第一象限角一定不是負(fù)角( ) 【解析】不正確，如=390;不正確，如=0;正確；不正確，如=-315. 答案：,2.弧度的概念與公式 在半徑為r的圓中,把長(zhǎng)度等于_的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用1 rad表示,弧長(zhǎng)l=_,半徑,r,即時(shí)應(yīng)用】

2、 (1) 的度數(shù)為_. (2)半徑為5的圓中長(zhǎng)為10的弧所對(duì)的圓心角大小為_. (3)扇形的半徑為2，圓心角為120，扇形面積為_. 【解析】(1) (2) (3) 答案：(1)15 (2)2 rad (3,3.任意角的三角函數(shù) (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo) 是(x,y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r= 0)，規(guī)定：比值 _叫做的正弦，記作sin，即sin=_； 比值_叫做的余弦，記作cos,即cos=_； 比值_(x0)叫做的正切，記作tan,即tan=_. (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦 線的起點(diǎn)都在_上，余弦線的起點(diǎn)都是_，正切線的起

3、點(diǎn) 都是_,x軸,原點(diǎn),1，0,即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：如何用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大??？ 提示:三角函數(shù)線的長(zhǎng)度表示三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù),2)已知角終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，-4)，則sin=_,cos=_,tan=_. 【解析】 答案,終邊相同的角 【方法點(diǎn)睛】 終邊相同的角的應(yīng)用 (1)與角終邊相同的角可表示為|=+360k，kZ， 利用這一關(guān)系可解決已知所在的象限，求 所在象限的問(wèn)題. (2)利用該關(guān)系時(shí)，一定是360的整數(shù)倍與k(kZ)的乘積而 不是其他數(shù)值,提醒】若出現(xiàn)180k(kZ)時(shí)需對(duì)k的值討論然后確定象限,例1】已知角是第一象限角，確定2， 所在

4、的象限. 【解題指南】先依據(jù)所在的象限借助終邊相同角的表示，給出 角的范圍，在此基礎(chǔ)上求出 及2的范圍，最終明確2, 所在象限,規(guī)范解答】是第一象限角，k2k2+ (kZ).k42k4+(kZ), 即2k222k2+(kZ), 2的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上. k (kZ), 當(dāng)k=2n(nZ)時(shí),2n (nZ,的終邊在第一象限.當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),(2n+1) (2n+1)+ (nZ),即2n+ 2n+ (nZ), 的終邊在第三象限. 綜上， 的終邊在第一象限或第三象限,反思感悟】1.已知角所在象限，應(yīng)熟練地確定 所在象 限,2.在解決這類問(wèn)題時(shí)一定要注意分類討論思想的

5、應(yīng)用，而且要討論全面,變式訓(xùn)練】已知角是第二象限角，試確定 所在的象限. 【解析】角為第二象限角， 2k+ 2k+(kZ), (kZ). 當(dāng)k=3n(nZ)時(shí)， (nZ), 的終邊在第一 象限. 當(dāng)k=3n+1(nZ)時(shí)，2n+ 2n+(nZ), 的終邊 在第二象限,當(dāng)k=3n+2(nZ)時(shí)， (nZ), 的終邊 在第四象限. 綜上， 的終邊在第一象限、第二象限或第四象限,變式備選】若角與的終邊在一條直線上，則與的關(guān)系是_. 【解析】當(dāng)、的終邊重合時(shí)， =+k2,kZ. 當(dāng)、的終邊互為反向延長(zhǎng)線時(shí)， =+k2=+(2k+1),kZ. 答案：=+k2，kZ或=+(2k+1),kZ,弧度制的應(yīng)用

6、【方法點(diǎn)睛】 弧度制的應(yīng)用 (1)引進(jìn)弧度制后，實(shí)現(xiàn)了角度與弧度的相互轉(zhuǎn)化，在弧度制下 可以應(yīng)用弧長(zhǎng)公式：l=r|，扇形面積公式： 計(jì)算弧長(zhǎng)和扇形的面積利用弧度制比角度制更簡(jiǎn)捷、方便. (2)應(yīng)用上述公式時(shí),要先把角統(tǒng)一為用弧度制表示. 【提醒】弧度制和角度制不能混用，解決問(wèn)題時(shí)要先統(tǒng)一,例2】已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長(zhǎng)為l. (1)若=60，R=10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l. (2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ (3)若= ，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積,解題指南】(1)可直接用弧長(zhǎng)公式，但要注意用弧度制. (2)可用弧長(zhǎng)或半徑表

7、示出扇形面積，然后確定其取最大值時(shí)的半徑和弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓心角. (3)可直接利用公式求解,規(guī)范解答】(1) (cm). (2)由已知得：l+2R=20, 所以 =10R-R2=-(R-5)2+25， 所以R=5 cm時(shí)，S取得最大值25， 此時(shí)l=10 cm，=2 rad,3)設(shè)弓形面積為S弓.由題知,互動(dòng)探究】將本例第(1)小題中的R=10 cm改為扇形的弓形弦 再求弧長(zhǎng)l. 【解析】因?yàn)閳A心角=60， 所以,反思感悟】1.弧度制下的弧長(zhǎng)、扇形面積公式與角度制下 的弧長(zhǎng)公式 扇形面積公式 有著必然的內(nèi)在聯(lián) 系. 2.在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)要注意合理的利用圓心角 所在的三角形,變式備

8、選】扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦AB的長(zhǎng) 【解析】設(shè)扇形的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm，圓心角的弧度數(shù)為，則有 由 得2，|AB|2sin1(cm,三角函數(shù)的定義 【方法點(diǎn)睛】 1.三角函數(shù)定義的理解 在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P(x, y)是角終邊上任意一點(diǎn)，且 |PO|r，則,2.定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問(wèn)題.若直線的傾斜角為特殊角，也可

9、直接寫出角的三角函數(shù)值,例3】已知角的終邊在直線3x+4y=0上，求sin,cos, tan的值. 【解題指南】在直線上設(shè)出點(diǎn)，求出所設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，求得三角函數(shù)值，因?yàn)樗O(shè)點(diǎn)可在不同象限，所以需要討論,規(guī)范解答】角的終邊在直線3x+4y=0上， 在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t0), 則x=4t,y=-3t, 當(dāng)t0時(shí)，r=5t,當(dāng)t0時(shí)，r=-5t,反思感悟】任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的區(qū)別、聯(lián)系及實(shí)質(zhì) (1)區(qū)別：銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比來(lái)定義的. (2)聯(lián)系：銳角三角函數(shù)是任意角的三角函數(shù)的一種特例，它們

10、的基礎(chǔ)是建立于相似或直角三角形的性質(zhì). (3)實(shí)質(zhì)：由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過(guò)程,變式訓(xùn)練】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P( ，m)(m0)，且sin= 試判斷角所在的象限，并求cos和tan的值 【解析】由題意，得 m0, 故角是第二或第三象限角 當(dāng) 當(dāng),變式備選】已知角的終邊過(guò)點(diǎn)(a,2a)(a0)，求的三角函數(shù)值. 【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)(a，2a)(a0)， 所以 |a|，x=a,y=2a, 當(dāng)a0時(shí),易錯(cuò)誤區(qū)】三角函數(shù)定義的應(yīng)用誤區(qū) 【典例】(2011江西高考)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊 為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin= 則y=_,解題指南】根據(jù)三角函數(shù)定義列出等式求出y. 【規(guī)范解答】 答案：-8,閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議,1.(2011上海高考改編)若三角方程sinx=0與sin2x=0的解集分 別為E，F(xiàn),則集合E，F(xiàn)的關(guān)系為_. 【解析】因?yàn)閟inx=0，sin2x=0，所以角x和角2x的終邊都在x軸 上，所以E=x|x=k,kZ，F(xiàn)=x|x= ,kZ，所