抽屜原理典型習(xí)題

1、 抽屜原理規(guī)律：用蘋果數(shù)除以抽屜數(shù)，若除數(shù)不為零，則“答案”為商加1；若除數(shù)為零，則“答案”為商抽屜原則一：把n個(gè)以上的蘋果放到n個(gè)抽屜中，無論怎么放，一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有兩個(gè)蘋果。抽屜原則二：把多于m x n 個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜中，無論怎么放，一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有（m+1）個(gè)蘋果。一、 基礎(chǔ)訓(xùn)練。1、 把98個(gè)蘋果放到10個(gè)抽屜里，無論怎么放，我們一定能找到一個(gè)含蘋果最多的抽屜，它里面至少有_個(gè)蘋果。9810=982、 1000只鴿子飛進(jìn)50個(gè)巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個(gè)含鴿子最多的巢，它里面至少有_只鴿子。100050=203、 從8個(gè)抽屜里拿出17個(gè)蘋果，無

2、論怎么拿，我們一定能拿到蘋果最多的那個(gè)抽屜，從它里面至少拿出_個(gè)蘋果。178=214、 從_個(gè)抽屜中（填最大數(shù)）拿出25個(gè)蘋果，才能保證一定能找出一個(gè)抽屜，從它當(dāng)中至少拿出7個(gè)蘋果。25（4）=6（1）二、 拓展訓(xùn)練。1、 六（1）班有49名學(xué)生，數(shù)學(xué)高老師了解到期中考試該班英語(yǔ)成績(jī)除3人外，均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班至少有4人成績(jī)相同”。王老師說的對(duì)嗎？為什么（49-3）15=3186，87，88，89，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100十五個(gè)數(shù)2、 從1、2、3，100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來，證明這51個(gè)數(shù)中，一定有（1）2個(gè)數(shù)互質(zhì)

3、任一個(gè)奇數(shù)都可以和偶數(shù)成互質(zhì)數(shù)50個(gè)偶數(shù)，任意挑出51個(gè)數(shù)來必會(huì)有奇數(shù)與偶數(shù) （2）有兩個(gè)數(shù)的差是50（1，51）（2，52）（3，53）（49，99）（50，100）50組若取51個(gè)每組可取1個(gè)共50個(gè)，另一個(gè)任意取一個(gè)，就能組成差是505150=113、 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0、1、2、1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)），求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)數(shù)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999.(0+1999)*20002=2000*3=4、 有一批四種顏色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各種信號(hào)，證明：在200個(gè)信號(hào)中至少有四個(gè)信號(hào)完全相同。4*4

4、*4=6420064=38在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的，那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在他們之間剛好有19個(gè)籌碼，為什么？5、 試卷上有4道題，每題有3個(gè)可供選擇的答案，一群學(xué)生參加考試，結(jié)果對(duì)于其中任何三 人都有一道題目的答案互不相同，問：參加考試的學(xué)生最多有多少人？6、 一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有75人參加，滿分為20分，參賽者得分都是整數(shù)，75人的總分是980分，至少有幾分得分相同?7、 某校六年級(jí)學(xué)生有31人是四月份出生的，請(qǐng)證明：至少有兩人在同一天出生。3130=118、 袋子里有四種不同顏色的小球，每次摸出2個(gè)，要保證10次所摸得的結(jié)果是一樣的，至少要摸多少次？(4*3

5、*)(2*1)=6(55)6=919、 一副撲克牌共有54張，從中取出多少?gòu)垼拍鼙ＷC其中必有3種花色。(9)4=219+2=1110、 圖書角剩下科技書和文藝書各4本，現(xiàn)在有4個(gè)學(xué)生來借閱，每人從中借2本，請(qǐng)你證明，必有兩名學(xué)生借閱的圖書完全相同。11、 在一條長(zhǎng)100米的小路一旁種上101棵小樹，不管怎么種，至少有兩棵樹苗之間的距離不超過1米。12、 六年級(jí)有男生57人，證明：至少有兩名男生在同一個(gè)星期過生日。5752=1514、19朵鮮花插入4個(gè)花瓶里，證明：至少有一個(gè)花瓶里要插入5朵或5朵以上的鮮花。194=4313、 某旅行團(tuán)一行50人，隨意游覽甲、乙、丙三地，至少要有多少人游覽的地

6、方完全相同？503=162一.圖形分割例1.在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放13個(gè)點(diǎn).證明：必定存在4點(diǎn)，使得以這4點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積不超過.證：如圖，將正方形分成4個(gè)面積是的矩形，13個(gè)點(diǎn)必有4點(diǎn)落在同一個(gè)矩形中，其面積不超過. 例2.半徑為1的圓內(nèi)任意放7個(gè)點(diǎn)，證明：必有2點(diǎn)，它們間的距離不大于1.證：如圖，將圓分成6個(gè)相等的扇形，7點(diǎn)中必有2點(diǎn)落在同一個(gè)扇形中，易知它們的距離不大于1. 例3.在34的長(zhǎng)方形中，任意放6個(gè)點(diǎn). 證明：必有2點(diǎn)，它們間的距離不大于 . 證：如圖，將長(zhǎng)方形分成5塊，6點(diǎn)中必有2點(diǎn)落在同一塊中，易知它們的距離不大于 . 二.數(shù)的問題例4.任意給出7個(gè)不同整數(shù). 證明

7、：必有2個(gè)整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù). 證：按除以10的余數(shù)將整數(shù)分成10類，將這10類分成如下6組：0（表示除以10余0的所有整數(shù)）；1、9；2、8；3，7；4，6；5. 7個(gè)數(shù)中必有2個(gè)來自同一組，若它們同類，則差是10的倍數(shù)；若不同類，則和是10的倍數(shù). 例5.證明：存在一個(gè)這樣的正整數(shù)，其各位數(shù)碼是0或1，并且是1993的倍數(shù). 證明：考慮如下1993個(gè)數(shù)：10，110，1110， . 若其中有數(shù)是1993的倍數(shù)，則證畢；否則它們除以1993的余數(shù)只能是1，2，1992，必有兩數(shù)除以1993余數(shù)相同，它們的差是1993的倍數(shù)，顯然此差的各位數(shù)碼是0或1. 例6.任意寫一個(gè)數(shù)碼由1、2、

8、3組成的30位數(shù)，從這個(gè)30位數(shù)中任意截取相鄰的3位數(shù)字，可組成一個(gè)3位數(shù). 證明：按上述方式一定可以得到兩個(gè)相同的3位數(shù). 證：一共可截取28個(gè)3位數(shù)，而數(shù)碼由1、2、3組成的三位數(shù)有33=27個(gè)，必有兩數(shù)相同. 例7.任意給定n+1個(gè)小于2n的不同正整數(shù)，證明：必可從中選出3個(gè)數(shù)，使其中兩個(gè)之和等于第三個(gè).證：設(shè)這n+1個(gè)正整數(shù)是a0a1a2an2n，令bk=aka0（k=1，2，n），則b1b2bn2n，考慮a1，a2，an，b1，b2，bn這2n個(gè)正整數(shù)，它們都小于2n，故必有兩數(shù)相等，設(shè)ai=bj（ij，否則ai=bi=aia0，不可能），則ai=aja0，即a0+ai=aj. 三.

9、染色問題例8.對(duì)37棋盤的每個(gè)方格染紅藍(lán)兩色之一. 證明：存在一個(gè)由若干方格構(gòu)成的矩形，其4個(gè)角上的方格同色.證法一：每一列中2格同色，用一條相同顏色的線段連結(jié)這2格的中心，得到7條線段，必有4條同色，設(shè)為紅色. 由于連線方式只有3種（3格中選兩格），必有兩條紅色線段連線方式相同，其所對(duì)應(yīng)的4格構(gòu)成4角都是紅色的矩形. 證法二：第一行至少有4格同色，不妨設(shè)前4格是紅色，若第二行前4格中有兩格紅色，則找到4角同是紅色的矩形；否則至少有3格是藍(lán)色，不妨設(shè)是前3格. 此時(shí)第三行的前3個(gè)必有兩格同色，若是紅色，則其與第一行相同列的兩個(gè)紅格組成4角同是紅色的矩形；若是藍(lán)色，則其與第二行相同列的兩個(gè)藍(lán)格組

10、成4角同是藍(lán)色的矩形. 例9.平面上有6個(gè)點(diǎn)，其中任何3點(diǎn)都不共線，任意兩點(diǎn)間連一條紅色線段或藍(lán)色線段，證明：一定存在一個(gè)同色三角形（三邊顏色相同的三角形）. 證：由某點(diǎn)A出發(fā)的5條線段中必有3條同色，不妨設(shè)AB1、AB2、AB3是紅色，考慮線段B1B2、B1B3、B2B3，若其中有紅色線段BiBj，則ABiBj是紅色三角形；若全是藍(lán)色，則B1B2B3是藍(lán)色三角形. 評(píng)注：如果把點(diǎn)看成元素，染紅色看成是元素間有關(guān)系A(chǔ)，染藍(lán)色看成是元素間沒有關(guān)系A(chǔ)，那么本題可表述為：給定6個(gè)元素，任意2個(gè)元素間或者有關(guān)系A(chǔ)或者沒有關(guān)系A(chǔ)，則一定可以選出3個(gè)元素，它們兩兩間有關(guān)系A(chǔ)或者兩兩間沒有關(guān)系A(chǔ). 比如把元

11、素改成人，2個(gè)元素間的關(guān)系改成彼此認(rèn)識(shí)，則可得到如下有趣命題：世界上任意選6個(gè)人，證明：一定可以從中找出3個(gè)人，他們兩兩認(rèn)識(shí)或兩兩不認(rèn)識(shí). 四.“連續(xù)”問題例10.某學(xué)生用11個(gè)星期做完數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題，他每天至少做一道題，每星期至多做12道題. 證明：一定存在連續(xù)的若干天，他恰好做了21道題. （教程P295/7）證：設(shè)此學(xué)生前i天做xi道題（i=1，2，77），則x1x2x771211=132，令yi=xi+21，則y1y2y77132+21=153，于是x1，x2，x77，y1，y2，y77這154個(gè)數(shù)都153，其中必有兩數(shù)相同，設(shè)xi=yj，則xi=xj+21，xixj=21，即從第j+1天

12、到第i天，他恰好做了21道題. 例11.電視機(jī)修理部某職工在3月份的31天里，每天至少修理一臺(tái)，共修56臺(tái)，證明：他必然在連續(xù)的若干天（包括1天）里，恰好了5臺(tái)電視機(jī). （精講P167/3）證：設(shè)他前i天修了xi臺(tái)（i=1，2，31），則x1x2x31=56，令yi=xi+21，則y1y2y31=56+5=61，于是x1，x2，x31，y1，y2，y31這62個(gè)數(shù)都61，其中必有兩數(shù)相同，設(shè)xi=yj，則xi=xj+5，xixj=5，即從第j+1天到第i天，他恰好修了5臺(tái). 五、雜題例12.有12雙筷子，其中紅色、白色、黑色筷子各4雙（同一雙筷子的兩只筷子同色），從中取出一些筷子，要求有2雙不

13、同顏色的筷子，則至少要取出幾只筷子？解：首先取出10只筷子不能保證，比如8只紅色2只白色. 其次取出11只筷子能保證，這是因?yàn)?1只筷子中必有4只同色，設(shè)為紅色，已有一雙紅色筷子，由于紅色筷子只有8只，故至少有3只筷子是其它二色，又可找到一雙同色筷子. 評(píng)注：解此類問題一般先通過“最壞”情況找到不能成立的最大數(shù)，然后證明此數(shù)+1一定滿足要求. 例13.甲班有48個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)在班級(jí)里都有一些朋友（若甲是乙的朋友，則乙也是甲的朋友）. 證明：至少有兩名同學(xué)，他們?cè)诎嗉?jí)里的朋友人數(shù)一樣多. 證：每個(gè)人在班級(jí)里的朋友人數(shù)只能是0，1，47，但0和47不能同時(shí)取到，因此必有兩人在班級(jí)里的朋友人數(shù)相同. 例14.圍著一張可轉(zhuǎn)動(dòng)的圓桌，均勻地放8把椅子，在桌上對(duì)著椅子放有8人的名片. 8人入座后，發(fā)現(xiàn)