雙因素方差分析

1、雙因素方差分析,例子,有4個(gè)品牌的彩電在5個(gè)地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(品牌因素)和銷售地區(qū)(地區(qū)因素)對(duì)銷售量是否有影響，對(duì)每種品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)對(duì)彩電的銷售量是否有顯著影響？(=0.05,不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù),符號(hào),設(shè)在某實(shí)驗(yàn)中，有二個(gè)因子在變動(dòng)。因子A取r個(gè)不同水平 因子B取s個(gè)不同水平 ,在（ ）水平組合下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果獨(dú)立地服從N（ ）分布。 為了研究方便起見，如單因子方差分析中那樣把參數(shù)改變一下，并令,稱 為一般平均， 為因子A的第i個(gè)水平的效應(yīng)， 為因子B的第j個(gè)水平的效應(yīng)，它們顯然滿足關(guān)系式,雙因素方差分析的基本假定,每個(gè)總體都服從

2、正態(tài)分布 對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自正 態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 各個(gè)總體的方差必須相同 對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總 體中抽取的 觀察值是獨(dú)立的,兩種情況分類,分析兩個(gè)因素(行因素Row和列因素Column)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。 如果兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor without replication)。 如果除了行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因

3、素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor with replication,有交互作用的雙因素方差分析,若 則我們稱 為因子A的第i個(gè)水平與因子B的第j個(gè)水平的交互作用，它們滿足關(guān)系式,為研究交互效應(yīng)是否對(duì)結(jié)果又顯著影響，那么在 （ ）水平組合下至少要做t( )次試驗(yàn)，記其結(jié)果為 ，則,諸 相互獨(dú)立，均服從 分布,這就是有交互作用的方差分析模型,模型一,有交互作用的雙因子方差分析:假設(shè),因子A 原假設(shè): H0: 備擇假設(shè): H1: 至少一個(gè) 不同于0 因子B 原假設(shè): H0: 備擇假設(shè): H1: 至少一個(gè) 不同于0 交互作用 原假設(shè): H0:對(duì)一切i,j有 備擇假設(shè): H1: 至

4、少一個(gè) 不同于0,綜上所述,有交互作用的雙因子方差分析的原假設(shè)為,對(duì)一切i,j有,平方和分解,首先引入下述符號(hào),由模型一可知,總的偏差平方和可以作如下分解,其中各偏差平方和表達(dá)式如下,從中可知 反映了誤差的波動(dòng)； 除反映了誤差的波動(dòng)外還反映了因子A的效應(yīng)的差異，因子B的效應(yīng)的差異，交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng)。我們分別稱它們?yōu)檎`差的偏差平方和，因子A的偏差平方和，因子B的偏差平方和以及交互作用A*B的偏差平方和。 同理可計(jì)算各偏差平方和的自由度，它們分別是,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,在 為真時(shí)， 在 為真時(shí)， 在 為真時(shí),F-檢驗(yàn),根據(jù)上述構(gòu)造的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序，對(duì)給定的顯著性水平 ，當(dāng) 當(dāng) 當(dāng),拒絕,拒絕,拒絕,方差分析表,有交互作用的雙因子方差分析例題,在某化工生產(chǎn)中為了提高收率，選了三種不同濃度，四種不同溫度做試驗(yàn)。在同一濃度與溫度組合下各做兩次試驗(yàn)，其收率數(shù)據(jù)如下面計(jì)算表所列（數(shù)據(jù)均已減去75）。試在0.05顯著性水平下檢驗(yàn)不同濃度、不同溫度以及它們間的交互作用對(duì)收率有無顯著影響,B（溫度,A（濃度,14，10 11，11 13，9 10，12,24）（22） （22） （22,90,8100,9，7 10，8 7，11 6，10,16）（18） (18) (