同濟(jì)第六版高數(shù)答案(高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題解答)

1、習(xí)題9-1 1. 設(shè)有一平面薄板(不計(jì)其厚度), 占有xOy面上的閉區(qū)域D, 薄板上分布有密度為m =m(x, y)的電荷, 且m(x, y)在D上連續(xù), 試用二重積分表達(dá)該板上全部電荷Q. 解 板上的全部電荷應(yīng)等于電荷的面密度m(x, y)在該板所占閉區(qū)域D上的二重積分. 2. 設(shè), 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 試?yán)枚胤e分的幾何意義說(shuō)明I1與I2的關(guān)系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=1, y=2以及z=0圍成的立體V的體積. I2表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=0, x=1, y=0, y=

2、2以及z=0圍成的立體V1的體積. 顯然立體V關(guān)于yOz面、xOz面對(duì)稱(chēng), 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重積分的定義證明: (1) (其中s為D的面積); 證明 由二重積分的定義可知, 其中Dsi表示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積. 此處f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, . (2) (其中k為常數(shù)); 證明 . (3), 其中D=D1D2, D1、D2為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域. 證明 將D1和D2分別任意分為n1和n2個(gè)小閉區(qū)域和, n1+n2=n, 作和 . 令各和的直徑中最大值分別為l1和l2, 又l=max(l1l2),

3、 則有 , 即 . 4. 根據(jù)二重積分的性質(zhì), 比較下列積分大小: (1)與, 其中積分區(qū)域D是由x軸, y軸與直線x+y=1所圍成; 解 區(qū)域D為: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此當(dāng)(x, y)D時(shí), 有(x+y)3(x+y)2, 從而. (2)與, 其中積分區(qū)域D是由圓周(x-2)2+(y-1)2=2所圍成; 解 區(qū)域D如圖所示, 由于D位于直線x+y=1的上方, 所以當(dāng)(x, y)D時(shí), x+y1, 從而(x+y)3(x+y)2, 因而. (3)與, 其中D是三角形閉區(qū)域, 三角頂點(diǎn)分別為(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 區(qū)域D如圖所示, 顯然當(dāng)(x

4、, y)D時(shí), 1x+y2, 從而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 . (4)與, 其中D=(x, y)|3x5. 0y1. 解 區(qū)域D如圖所示, 顯然D位于直線x+y=e的上方, 故當(dāng)(x, y)D時(shí), x+ye, 從而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y),故 . 5. 利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值: (1), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 因?yàn)樵趨^(qū)域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 進(jìn)一步可得 0xy(x+y)2, 于是 , 即 . (2), 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp;

5、解 因?yàn)?sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2xsin2y1. 于是 , 即 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; 解 因?yàn)樵趨^(qū)域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是 , 即 . (4), 其中D=(x, y)| x2+y2 4. 解 在D上, 因?yàn)?x2+y24, 所以 9x2+4y2+94(x2+y2)+925. 于是 , ,即 . 習(xí)題9-2 1. 計(jì)算下列二重積分: (1), 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1; 解 積分區(qū)域可表示為D: -1x1, -1y1. 于是 . (2), 其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線x+y=2所圍成的閉

6、區(qū)域: 解 積分區(qū)域可表示為D: 0x2, 0y2-x. 于是 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 . (4), 其中D是頂點(diǎn)分別為(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為D: 0xp, 0yx. 于是, . . 2. 畫(huà)出積分區(qū)域, 并計(jì)算下列二重積分: (1), 其中D是由兩條拋物線, 所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| 0x1, . 于是 . (2), 其中D是由圓周x2+y2=4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| -2y2, . 于是 . (3), 其中D

7、=(x, y)| |x|+|y|1; 解 積分區(qū)域圖如, 并且 D=(x, y)| -1x0, -x-1yx+1(x, y)| 0x1, x-1y-x+1. 于是 =e-e-1. (4), 其中D是由直線y=2, y=x及y=2x軸所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域圖如, 并且D=(x, y)| 0y2, . 于是 . 3. 如果二重積分的被積函數(shù)f(x, y)是兩個(gè)函數(shù)f1(x)及f2(y)的乘積, 即f(x, y)= f1(x)f2(y), 積分區(qū)域D=(x, y)| axb, c yd, 證明這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積, 即 證明 , 而 , 故 . 由于的值是一常數(shù), 因而可提到積分

8、號(hào)的外面, 于是得 4. 化二重積分為二次積分(分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的兩個(gè)二次積分), 其中積分區(qū)域D是: (1)由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 或. (2)由x軸及半圓周x2+y2=r2(y0)所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 , 或. (3)由直線y=x, x=2及雙曲線(x0)所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域如圖所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| (x, y)|,所以 , 或. (4)環(huán)形閉區(qū)域(x

9、, y)| 1x2+y24. 解 如圖所示, 用直線x=-1和x=1可將積分區(qū)域D分成四部分, 分別記做D1, D2, D3, D4. 于是 用直線y=1, 和y=-1可將積分區(qū)域D分成四部分, 分別記做D1, D2, D3, D 4, 如圖所示. 于是 5. 設(shè)f(x, y)在D上連續(xù), 其中D是由直線y=x、y=a及x=b(ba)圍成的閉區(qū)域, 證明:. 證明 積分區(qū)域如圖所示, 并且積分區(qū)域可表示為 D=(x, y)|axb, ayx, 或D=(x, y)|ayb, yxb. 于是 , 或. 因此 . 6. 改換下列二次積分的積分次序: (1); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x,

10、y)|0y1, 0xy, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 . (2); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|0y2, y2x2y, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0x4, , 所以 . (3); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為, 所以 (4); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為, 所以 . (5); 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D=(x, y)|1xe, 0yln x, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為D=(x, y)|0y1, eyx e, 所以 (6)

11、(其中a0) 解 由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域, 如圖. 因?yàn)榉e分區(qū)域還可以表示為 , 所以 . 7. 設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線x+y=2, y=x和x軸所圍成, 它的面密度為m(x, y)=x2+y2, 求該薄片的質(zhì)量. 解 如圖, 該薄片的質(zhì)量為 . 8. 計(jì)算由四個(gè)平面x=0, y=0, x=1, y=1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體的體積. 解 四個(gè)平面所圍成的立體如圖, 所求體積為 . 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所圍成的柱體被平面z=0及拋物面x2+y2=6-z截得的立體的體積. 解 立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈=(x, y)|0x1,

12、0y1-x, 所求立體的體積為以曲面z=6-x2-y2為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積, 即 . 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所圍成的立體的體積. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+y22, 因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對(duì)稱(chēng), 并且被積函數(shù)關(guān)于x, y都是偶函數(shù), 所以 . 11. 畫(huà)出積分區(qū)域, 把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分, 其中積分區(qū)域D是: (1)(x, y)| x2+y2a2(a0); 解 積分區(qū)域D如圖. 因?yàn)镈=(r, q)|0q2p, 0ra, 所以 . (2)(x, y)

13、|x2+y22x; 解 積分區(qū)域D如圖. 因?yàn)? 所以 . (3)(x, y)| a2x2+y2b2, 其中0a0)所圍成的閉區(qū)域; 解 因?yàn)榉e分區(qū)域可表示為D=(x, y)|ay3a, y-axy, 所以 . (4), 其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域(x, y)| a2x2+y2b2. 解 在極坐標(biāo)下D=(r, q)|0q2p, arb, 所以 . 16. 設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線r=2q上一段弧()與直線所圍成, 它的面密度為m(x, y)=x2+y2. 求這薄片的質(zhì)量. 解 區(qū)域如圖所示. 在極坐標(biāo)下, 所以所求質(zhì)量 . 17. 求由平面y=0, y=kx(k0), z=0以及球心在原點(diǎn)、半

14、徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積. 解 此立體在xOy面上的投影區(qū)域D=(x, y)|0qarctank, 0rR. . 18. 計(jì)算以xOy平面上圓域x2+y2=ax圍成的閉區(qū)域?yàn)榈? 而以曲面z=x2+y2為頂?shù)那斨w的體積. 解 曲頂柱體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈=(x, y)|x2+y2ax. 在極坐標(biāo)下, 所以 . 習(xí)題9-3 1. 化三重積分為三次積分, 其中積分區(qū)域W分別是: (1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zxy, 0y1-x, 0x1, 于是 . (2)由曲面z=x2

15、+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域; 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2與z=2-x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1. (4)由曲面cz=xy(c0), , z=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 區(qū)域W的上邊界曲面為曲面cz=xy , 下邊界曲面為平面z=0. 2. 設(shè)有一物體, 占有空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|0x1, 0y1, 0z1, 在點(diǎn)(x, y, z)處的密度為r(x, y, z)=x+y+z

16、, 計(jì)算該物體的質(zhì)量. 解 . 3. 如果三重積分的被積函數(shù)f(x, y, z)是三個(gè)函數(shù)f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘積, 即f(x, y, z)= f1(x)f2(y)f3(z), 積分區(qū)域W=(x, y, z)|axb, cyd, lzm, 證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積, 即 . 證明 . 4. 計(jì)算, 其中W是由曲面z=xy, 與平面y=x, x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zxy, 0yx, 0x1, 于是 . 5. 計(jì)算, 其中W為平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所圍成的四面體. 解 積分區(qū)域可表示為

17、 W=(x, y, z)| 0z1-x-y, 0y1-x, 0x1, 于是 . 提示: . 6. 計(jì)算, 其中W為球面x2+y2+z2=1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 于是 . 7. 計(jì)算, 其中W是由平面z=0, z=y, y=1以及拋物柱面y=x2所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zy, x2y1, -1x1, 于是 . 8. 計(jì)算, 其中W是由錐面與平面z=h(R0, h0)所圍成的閉區(qū)域. 解 當(dāng)0zh時(shí), 過(guò)(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立體W的截面為圓Dz: , 故Dz的半徑為, 面積為, 于是

18、 =. 9. 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W是由曲面及z=x2+y2所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1, , 于是 . (2), 其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域. 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r2, , 于是 . 10. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0r1, 于是 . (2), 其中閉區(qū)域W由不等式x2+y2+(z-a)2a2, x2+y2z2 所確定. 解 在球面坐標(biāo)

19、下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 11. 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W為柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 別解: 用直角坐標(biāo)計(jì)算 . (2), 其中W是由球面x2+y2+z2=z所圍成的閉區(qū)域; 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3), 其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (4), 其中閉區(qū)域W由不等式, z0所確定. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是

20、 . 12. 利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成的立體的體積: (1)z=6-x2-y2及; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2 p, 0r2, rz6-r2, 于是 . (2)x2+y2+z2=2az(a0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分); 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3)及z=x2+y2; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1, r2zr, 于是 . (4)及x2+y2=4z . 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 13. 球心在原點(diǎn)、半徑為R的球體, 在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比, 求這球體的質(zhì)量.

21、 解 密度函數(shù)為. 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0rR, 于是 . 習(xí)題9-4 1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax內(nèi)部的那部分面積. 解 位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊, 其面積是相同的. 由曲面方程z=得, ,于是 . 2. 求錐面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面積. 解 由z=和z2=2x兩式消z得x2+y2=2x, 于是所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為x2+y22x. 由曲面方程得, ,于是 . 3. 求底面半徑相同的兩個(gè)直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積. 解 設(shè)A1為曲面相應(yīng)于區(qū)域D: x2+y2R2

22、上的面積. 則所求表面積為A=4A1. . 4. 設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下, 求均勻薄片的質(zhì)心: (1)D由, x=x0, y=0所圍成; 解 令密度為m=1. 因?yàn)閰^(qū)域D可表示為, 所以 , , , 所求質(zhì)心為 (2)D是半橢圓形閉區(qū)域; 解 令密度為m=1. 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱(chēng)于y軸, 所以. (橢圓的面積), , 所求質(zhì)心為. (3)D是介于兩個(gè)圓r=acosq, r=bcosq(0aa0), z=0; 解 由對(duì)稱(chēng)性可知, 重心在z軸上, 故. (兩個(gè)半球體體積的差), , 所求立體的質(zhì)心為. (3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0. 解 , , , , 所以立體

23、的重心為. 8. 設(shè)球體占有閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2+z22Rz, 它在內(nèi)部各點(diǎn)的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方, 試求這球體的質(zhì)心. 解 球體密度為r=x2+y2+z2. 由對(duì)稱(chēng)性可知質(zhì)心在z軸上, 即. 在球面坐標(biāo)下W可表示為: , 于是 , , 故球體的質(zhì)心為. 9. 設(shè)均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域D如下, 求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: (1), 求Iy; 解 積分區(qū)域D可表示為 , 于是 . 提示: . (2)D由拋物線與直線x=2所圍成, 求Ix和Iy; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 , . (3)D為矩形閉區(qū)域(x, y)|0xa, 0yb, 求Ix和Iy

24、. 解 , . 10. 已知均勻矩形板(面密度為常量m)的長(zhǎng)和寬分別為b和h, 計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 取形心為原點(diǎn), 取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸, 建立坐標(biāo)系. , . 11. 一均勻物體(密度r為常量)占有的閉區(qū)域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所圍成, (1)求物體的體積; 解 由對(duì)稱(chēng)可知 . (2)求物體的質(zhì)心; 解 由對(duì)稱(chēng)性知. . (3)求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 . 12. 求半徑為a、高為h的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(設(shè)密度r=1). 解 建立坐標(biāo)系, 使圓柱體的底面在xOy面上, z軸通

25、過(guò)圓柱體的軸心. 用柱面坐標(biāo)計(jì)算. . 13. 設(shè)面密度為常量m的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域, 求它對(duì)位于z軸上點(diǎn)M0(0, 0, a)(a0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F . 解 引力F=(Fx, Fy, Fz ), 由對(duì)稱(chēng)性, Fy=0, 而 , . 14. 設(shè)均勻柱體密度為r, 占有閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2R2, 0zh, 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0, 0, a)(ah)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力. 解 由柱體的對(duì)稱(chēng)性可知, 沿x軸與y軸方向的分力互相抵消, 故Fx=Fy=0, 而 . 總習(xí)題九 1. 選擇以下各題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: (1)設(shè)有空間閉區(qū)域 W1=(x,

26、 y, z)|x2+y2+z2R2, z0, W2=(x, y, z)|x2+y2+z2R2, x0, y0, z0, 則有_. (A); (B); (C); (D). 解 (C). 提示: f(x, y, z)=x是關(guān)于x的奇函數(shù), 它在關(guān)于yOz平面對(duì)稱(chēng)的區(qū)域W1上的三重積分為零, 而在W2上的三重積分不為零, 所以(A)是錯(cuò)的. 類(lèi)似地, (B)和(D)也是錯(cuò)的. f(x, y, z)=z是關(guān)于x和y的偶函數(shù), 它關(guān)于yOz平面和zOx面都對(duì)稱(chēng)的區(qū)域W1上的三重積分可以化為W1在第一卦部分W2上的三重積分的四倍. (2)設(shè)有平面閉區(qū)域D=(x, y)|-axa, xya, D1=(x,

27、y)|0xa, xya, 則=_. (A); (B); (C); (D)0. 解 (A). 2. 計(jì)算下列二重積分: (1), 其中D是頂點(diǎn)分別為(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為D=(x, y)|0x1, 0yx+1, 于是 . (2), 其中D=(x, y)|0ysin x, 0xp; 解 . (3), 其中D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域; 解 在極坐標(biāo)下積分區(qū)域D可表示為 , 于是 . (4), 其中D=(x, y)|x2+y2R2. 解 因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng), 所以 . . 因?yàn)?, 所以 . 3. 交換下

28、列二次積分的次序: (1); 解 積分區(qū)域?yàn)?, 并且D又可表示為 D=(x, y)|-2x0, 2x+4y-x2+4, 所以 . (2); 解 積分區(qū)域?yàn)?D=(x, y)|0y1, 0x2y(x, y)|1y3, 0x3-y, 并且D又可表示為 , 所以 . (3). 解 積分區(qū)域?yàn)?, 并且D又可表示為 , 所以 . 4. 證明: . 證明 積分區(qū)域?yàn)?D=(x, y)|0ya, 0xy, 并且D又可表示為 D=(x, y)|0xa, xya,所以 . 5. 把積分表為極坐標(biāo)形式的二次積分, 其中積分區(qū)域D=(x, y)|x2y1, -1x1. 解 在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為D=D1+D

29、2+D3, 其中 , , , 所以 . 6. 把積分化為三次積分, 其中積分區(qū)域W是由曲面z=x2+y2, y=x2及平面y=1, z=0所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W: 0zx2+y2, x2y1, -1x1, 所以 . 7. 計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W是兩個(gè)球x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分; 解 兩球面的公共部分在xOy面上的投影,在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為 , 所以 . (2), 其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域; 解 因?yàn)榉e分區(qū)域W關(guān)于xOy面對(duì)稱(chēng), 而被積函數(shù)為關(guān)于z的奇函數(shù), 所以 . (3), 其中W是由xO

30、y面上曲線y2=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區(qū)域. 解 曲線y2=2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的方程為y2+z2=2x. 由曲面y2+z2=2x和平面x=5所圍成的閉區(qū)域W在yOz面上的投影區(qū)域?yàn)?, 在柱面坐標(biāo)下此區(qū)域又可表示為 , 所以 . 8. 求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積. 解 平面的方程可寫(xiě)為, 所割部分在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?, 于是 . 9. 在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上, 要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片, 為了使整個(gè)均勻薄片的質(zhì)心恰好落在圓心上, 問(wèn)接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？ 解 設(shè)所求矩形另一邊的長(zhǎng)度為H,

31、建立坐標(biāo)系, 使半圓的直徑在x軸上, 圓心在原點(diǎn). 不妨設(shè)密度為r=1g/cm3. 由對(duì)稱(chēng)性及已知條件可知, 即 , 從而 , 即 , 亦即 , 從而 . 因此, 接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度為. 10. 求曲拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片(面密度為常數(shù)m)對(duì)于直線y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 拋物線y=x2及直線y=1所圍成區(qū)域可表示為 D=(x, y)|-1x 1, x2y1, 所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 . 11. 設(shè)在xOy面上有一質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片, 占有平面閉域D=(x, y)|x2+y2R2, y0, 過(guò)圓心O垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P, OP=a. 求半圓形薄

32、片對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力. 解 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 0, a). 薄片的面密度為. 設(shè)所求引力為F=(Fx, Fy, Fz). 由于薄片關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng), 所以引力在x軸上的分量Fx=0, 而 , . 習(xí)題 10-1 1. 設(shè)在xOy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧L, 在點(diǎn)(x, y)處它的線密度為m(x, y), 用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分分別表達(dá): (1)這曲線弧對(duì)x軸、對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix, Iy; (2)這曲線弧的重心坐標(biāo), . 解 在曲線弧L上任取一長(zhǎng)度很短的小弧段ds(它的長(zhǎng)度也記做ds), 設(shè)(x, y)為小弧段ds上任一點(diǎn). 曲線L對(duì)于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素分別為 dIx=y2m(x, y)ds,

33、 dIy=x2m(x, y)ds . 曲線L對(duì)于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 , . 曲線L對(duì)于x軸和y軸的靜矩元素分別為 dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds . 曲線L的重心坐標(biāo)為 , . 2. 利用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義證明: 如果曲線弧L分為兩段光滑曲線L1和L2, 則 . 證明 劃分L, 使得L1和L2的連接點(diǎn)永遠(yuǎn)作為一個(gè)分點(diǎn), 則 . 令l=maxDsi0, 上式兩邊同時(shí)取極限 , 即得 . 3. 計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分: (1), 其中L為圓周x=acos t , y=asin t (0t2p); 解 = . (2), 其中L為連接(1, 0)及(0, 1

34、)兩點(diǎn)的直線段; 解 L的方程為y=1-x (0x1); . (3), 其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界; 解 L1: y=x2(0x1), L2: y=x(0x1) . . (4), 其中L為圓周x2+y2=a2, 直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界; 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0xa), L2: x=a cos t, y=a sin t , L3: x=x, y=x , 因而 , . (5), 其中G為曲線x=etcos t , y=etsin t , z=et上相應(yīng)于t從0變到2的這段弧; 解 , . (6),

35、其中G為折線ABCD, 這里A、B、C、D依次為點(diǎn)(0, 0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 G=AB+BC+CD, 其中 AB: x=0, y=0, z=t (0t1), BC: x=t, y=0, z=2(0t3), CD: x=1, y=t, z=2(0t3), 故 . (7), 其中L為擺線的一拱x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)(0t2p); 解 . (8), 其中L為曲線x=a(cos t+t sin t), y=a(sin t-t cos t)(0t2p). 解 . 4. 求半徑為a, 中心角為2j的均勻圓弧(線密度m=

36、1)的重心. 解 建立坐標(biāo)系如圖10-4所示, 由對(duì)稱(chēng)性可知, 又 , 所以圓弧的重心為 5. 設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中012p, 它的線密度r(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz; (2)它的重心. 解 . (1) . (2) , , , , 故重心坐標(biāo)為. 習(xí)題 10-2 1. 設(shè)L為xOy面內(nèi)直線x=a上的一段, 證明: . 證明 設(shè)L是直線x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 則L: x=a, y=t, t從b1變到b2. 于是 . 2. 設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(diǎn)(a, 0)到

37、(b, 0)的一段直線, 證明. 證明L: x=x, y=0, t從a變到b, 所以 . 3. 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分: (1), 其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)(2, 4)的一段弧; 解 L: y=x2, x從0變到2, 所以 . (2), 其中L為圓周(x-a)2+y2=a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界(按逆時(shí)針?lè)较蚶@行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t從0變到p, L2: x=x, y=0, x從0變到2a, 因此 . (3), 其中L為圓周x=Rcost, y=Rsint上對(duì)應(yīng)t從0到的一段弧; 解 . (4), 其中L為圓周x2+y2=a2(按逆時(shí)針?lè)较蚶@行); 解 圓周的參數(shù)方程為: x=acos t, y=asin t, t從0變到2p, 所以 . (5), 其中G為曲線