拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形。定理拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形。如果函數(shù)f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，a,b上連續(xù)，則必有一(a,b)，使得f()*(b-a)=f(b)-f(a)拉格朗日中值定理的幾何意義。在(a，b)上可導(dǎo)，a,b上連續(xù)是拉格朗日中值定理成立的充分條件。理解這個(gè)定理說的是什么1.在滿足定理?xiàng)l件的前提下，函數(shù)f(x)上必有【一點(diǎn)的切線】與【f（x）在x=a，b處對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)（(a,f(a)和(b,f(b)點(diǎn)的連線平行）。f()=f(b)-f(a)/（b-a），

2、等號(hào)后為x=a，b對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的連線斜率，等號(hào)前為f(x)上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的值，也就是f(x)上一點(diǎn)的斜率，兩斜率相等，兩線平行。這是幾何上的理解方式。2.我們將f(x)函數(shù)求導(dǎo)，得到f(x)，眾所周知f(x)函數(shù)記錄的其實(shí)就是【f(x)函數(shù)在每一個(gè)瞬間的變化狀態(tài)】。即，在x=x1這一瞬間f（x）進(jìn)行了程度為f(x1)的變化，在x=x2這一瞬間f（x）進(jìn)行了程度為f(x2)的變化。函數(shù)由f(a)變化到f(b)的過程，其實(shí)就是f(x)函數(shù)在(a，b)區(qū)間中記錄的變化狀態(tài)的依次累加，就是對(duì)f(x)函數(shù)在(a，b)區(qū)間的值進(jìn)行積分的過程。那么，將這一過程中所有的變化狀態(tài)的值一起取一個(gè)平均，這個(gè)平均值的數(shù)值一

3、定在f(x)的某一點(diǎn)上出現(xiàn)過（即f()），因?yàn)閒(x)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。這個(gè)平均值乘上變化的區(qū)間（a到b）的長度 就等于這個(gè) 變化的變化量【】。即所謂的必有一，使f()*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b區(qū)間上f（x）函數(shù)的變化量】=【a，b區(qū)間內(nèi)f（x）函數(shù)變化狀態(tài)的平均值乘以區(qū)間長度】。這是代數(shù)理解方式。1其它形式拉格朗日中值定理的幾何意義令f(x)為y，則該公式可寫成y=f(x+x)*x (01)上式給出了自變量取得的有限增量x時(shí)，函數(shù)增量y的準(zhǔn)確表達(dá)式， 因此本定理也叫有限增量定理。f(b)-f(a)=f(a+(b-a)（b-a）,01.f(a+h)-f(a)=f(a+h

4、)h,01.定理內(nèi)容若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b滿足以下條件：(1)在a,b連續(xù)(2)在(a,b)可導(dǎo)當(dāng)acb時(shí)，則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)f(c)=f(b)-f(a)/(b-a)；或使公式f(b)-f(a)=f(c)(b-a) 成立，其中acb證明證明:如果函數(shù)f(x)在（a，b）上可導(dǎo)，a,b上連續(xù)，則必有一a,b使得f()*(b-a)=f(b)-f(a)示意圖令f(x)為y，所以該公式可寫成y=f(x+x)*x(01) 上式給出了自變量取得的有限增量x時(shí)，函數(shù)增量y的準(zhǔn)確表達(dá)式，因此本定理也叫有限增量定理。定理內(nèi)容若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b滿足以下條件:(1)在a,b連續(xù)(2)在(a,b

5、)可導(dǎo)則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)c使f(c)=f(b)-f(a)/(b-a)證明:把定理里面的c換成x再不定積分得原函數(shù)f(x)=f(b)-f(a)/(b-a)x.做輔助函數(shù)G(x)=f(x)-f(b)-f(a)/(b-a)(x-a).易證明此函數(shù)在該區(qū)間滿足條件:1.g(a)=g(b)=0;2.g(x)在a,b連續(xù);3.g(x)在(a,b)可導(dǎo).此即羅爾定理?xiàng)l件,由羅爾定理?xiàng)l件即證幾何意義若連續(xù)曲線y=f(x)在A(a,f(a),B(b,f(b)兩點(diǎn)間的每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在1點(diǎn)P(c,f(c),使得該曲線在P點(diǎn)的切線與割線AB平行。物理意義對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，在任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中至少存在一個(gè)位置（或一個(gè)時(shí)刻）的瞬時(shí)速度等于這個(gè)過程中的平均速度。推論如果函數(shù)在區(qū)間Q上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么函數(shù)在區(qū)間Q上是一個(gè)常數(shù)。證明：f(b)-f(