數(shù)形結(jié)合課題結(jié)題報(bào)告

1、 數(shù)形結(jié)合課題結(jié)題報(bào)告 - 1 - “數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的研究 龍游縣塔石鎮(zhèn)中心小學(xué)課題組 負(fù)責(zé)人：黃秀清成員：徐根 鄭素瑩 柴巧云 鄭麗萍 一、課題的現(xiàn)實(shí)背景與意義 課題研究的現(xiàn)實(shí)背景 眾所周知數(shù)與形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石，可以說(shuō)全部數(shù)學(xué)大體上都是圍繞這兩個(gè)基本概念的提煉、演度、發(fā)展而展開的，在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化。 數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，也使許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往于借用了幾何術(shù)語(yǔ)或運(yùn)用了與幾何的類比從而開拓了新的發(fā)展方向，例如，線性代數(shù)正是借用了幾何中的空間，線性等

2、概念與類比方法，把自己充實(shí)起來(lái)，從而獲得了迅猛的發(fā)展。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不單純是數(shù)的計(jì)算與形的研究，其中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。其中，“數(shù)形結(jié)合”無(wú)疑是比較重要的一種。“數(shù)”與“形”既是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要基礎(chǔ)，它們分別發(fā)展的同時(shí)又互相滲透、互相啟發(fā)著，共同推動(dòng)著數(shù)學(xué)科學(xué)的向前發(fā)展。 研究本課題的現(xiàn)實(shí)意義 在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)與形是不可分離地結(jié)合在一起的，這是直觀與抽象相結(jié)合、感知與思維相結(jié)合的體現(xiàn)。數(shù)與形相結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，也是加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的需要。從表面上看來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容可分為數(shù)與形兩大部分，中學(xué)代數(shù)是研究數(shù)和數(shù)量的學(xué)科，中學(xué)幾何

3、是研究形和空間形式的學(xué)科，中學(xué)解析幾何是把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)研究的學(xué)科，實(shí)際上，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都滲透了數(shù)與形相結(jié)合的內(nèi)容。 著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，作為數(shù)學(xué)老師，應(yīng)能認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的思想所表現(xiàn)出來(lái)的思路上的靈活，過(guò)程上的簡(jiǎn)便。在小學(xué)階段，雖然屬于數(shù)學(xué)的起步階段，但筆者認(rèn)為滲透“數(shù)形結(jié)合”的意義有以下幾點(diǎn)。 首先，懂得 “數(shù)形結(jié)合”的方法就能更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。 第二，懂得“數(shù)形結(jié)合”的方法有利于記憶。學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法后，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性記憶是非常有益的。 第三，懂得“數(shù)形結(jié)合”的方法有利于數(shù)學(xué)能力的提高。如果小學(xué)數(shù)學(xué)教師 - 2

4、- 在教學(xué)中注重“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，那么，就能使學(xué)生學(xué)會(huì)正確思維的方法，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。 第四，“數(shù)形結(jié)合”的方法是聯(lián)結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的一條紅線。布魯納認(rèn)為：“強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，能夠縮小高級(jí)知識(shí)和初級(jí)知識(shí)之間的間隙?！币话愕刂v，小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中要賦予新的涵義。而在中學(xué)數(shù)學(xué)中全部保留下來(lái)的內(nèi)容只有小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及與之有關(guān)的內(nèi)容，而“數(shù)形結(jié)合”是其中重要的方法之一。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的一條紐帶，“數(shù)形結(jié)合”更是連接小學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的一條紅絲帶。 二、國(guó)內(nèi)外關(guān)于同類課題的研究綜述 早在數(shù)學(xué)

5、蔭牙時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過(guò)程中，就把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)了。早在宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系，17世紀(jì)上半時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡幾通過(guò)坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，后來(lái)，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期不得解決的問(wèn)題，如尺規(guī)作圖三大不能問(wèn)題等，最終也是借助于代數(shù)方法得到完滿的解決。 近來(lái)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中研究得很多也比較透徹。雖然“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的研究還是很少，并且也不透徹。但其思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用研究的經(jīng)驗(yàn)與借鑒為本項(xiàng)課題研究打下了良好的基礎(chǔ)。 三、課題研究的理論

6、依據(jù) 思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)間接、概括的反映，反映的是事物的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律性，是人類認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段。思維實(shí)現(xiàn)著從現(xiàn)象到本質(zhì)、從感性到理性的轉(zhuǎn)化，使人達(dá)到對(duì)客觀事物的理性認(rèn)識(shí)。人們通過(guò)思維，可以更深刻地把握事物，預(yù)見(jiàn)事物的發(fā)展進(jìn)程和結(jié)果。小學(xué)生的思維是其智力的核心部分，小學(xué)生思維的發(fā)展，是其智力發(fā)展的標(biāo)志和縮影。發(fā)展小學(xué)生的智力，主要應(yīng)培養(yǎng)和訓(xùn)練他們的思維能力。 小學(xué)生的思維特點(diǎn)是：形象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，但這種抽象邏輯思維仍帶有很強(qiáng)的具體形象性。盡管孩子的抽象思維在逐步發(fā)展，但是仍然具有很大成分的具體形象性.。因此，把比較抽象的幾何定理與代數(shù)公式硬塞給小學(xué)生，一般說(shuō)來(lái)，不易被接受。然而

7、，從小學(xué)三、四年級(jí)以后，有意識(shí)地培養(yǎng)孩子的思維能力，更快地提高他們的思維水平卻是可能的。 數(shù)學(xué)是一門邏輯性、系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科,前面知識(shí)的學(xué)習(xí),往往是后面有關(guān)知識(shí)的孕伏和基礎(chǔ),在新舊知識(shí)的聯(lián)系上是非常緊密的。長(zhǎng)期以來(lái)，于人們忽視 - 3 - 了形象思維在教學(xué)過(guò)程中的作用，使學(xué)科知識(shí)的理解過(guò)程脫離了學(xué)科思維方式的特點(diǎn)，使知識(shí)難以理解。為了培養(yǎng)更聰明和富有創(chuàng)造力的新一代，在教學(xué)中，不可忽視對(duì)學(xué)生的形象思維與邏輯思維的共同開發(fā)。 四、課題界定 “數(shù)形結(jié)合”是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，在數(shù)的問(wèn)題與形的問(wèn)題之間互相轉(zhuǎn)換，使數(shù)的問(wèn)題圖形化，形的問(wèn)題代數(shù)化

8、，從而巧妙地解決貌似困難、復(fù)雜的問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的目的。而在小學(xué)，學(xué)生正處于形象思維與邏輯思維并肩發(fā)展的階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，特別是新教材也滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想，在小學(xué)階段更是培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”的思想好時(shí)期。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識(shí)地溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生逐步樹立起“數(shù)形相結(jié)合”的觀點(diǎn),并使這一觀點(diǎn)扎根到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去,成為運(yùn)用自如的思想觀念和思維工具。 五、課題研究的內(nèi)容及目標(biāo) 課題研究的內(nèi)容 1、小學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)的現(xiàn)狀與分析 針對(duì)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的現(xiàn)狀，分析影響其“數(shù)形結(jié)合”思想的因素，研究出提高學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的相關(guān)措施或策略。 2、“數(shù)形結(jié)合”思想

9、在“數(shù)”、“形”教學(xué)中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)概念反映客觀事物空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性，在某些數(shù)學(xué)概念中運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”能幫助學(xué)生更好的掌握概念。 3“數(shù)形結(jié)合”思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”用得最多的是應(yīng)用題的分析求解中，通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段圖。然而，這并不是唯一的方式。實(shí)際上，在不同的問(wèn)題中，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形。 4、總結(jié)出“數(shù)形結(jié)合”思想在教學(xué)應(yīng)用中的培養(yǎng)方式。 課題研究的目標(biāo) 1、充分發(fā)展學(xué)生的形象思維與邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生全面的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 2、培養(yǎng)學(xué)生具有敏感、主動(dòng)的“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)，能夠根據(jù)需要去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“數(shù)”與“形”，并且利用“數(shù)形結(jié)合”解決相關(guān)問(wèn)

10、題。 3、為中學(xué)及后來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下更扎實(shí)的基礎(chǔ)，有利于推進(jìn)素質(zhì)教育。 六、課題研究的方法與步驟 研究方法 1、文獻(xiàn)研究法：查閱有關(guān)的理論書籍、文章，了解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵、 - 4 - 發(fā)展情況和目前的研究成果等信息，使本課題的研究?jī)?nèi)涵和外延更加豐富，更加明確，更加科學(xué)。 2、調(diào)查分析法：調(diào)查分析本校及周邊小學(xué)的數(shù)學(xué)教師和學(xué)生在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的大致情況，通過(guò)對(duì)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的調(diào)查，了解小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)在“數(shù)形結(jié)合”方面的連結(jié)點(diǎn)及發(fā)展?fàn)顩r。以增加研究的針對(duì)性和實(shí)效性。在每學(xué)期末，采用情景調(diào)查與試卷調(diào)查的方法，檢驗(yàn)科研成效。 3、行動(dòng)研究法：將有關(guān)“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)課堂教

11、學(xué)中的實(shí)踐與研究的初步成果再應(yīng)用于實(shí)踐，是教師們?cè)谡n題實(shí)施過(guò)程中遇到某個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，一起探尋解決問(wèn)題的最好方法，也是本課題研究的主要方法。并在實(shí)踐與研究中不斷調(diào)整、補(bǔ)充、完善。 研究步驟 1、準(zhǔn)備階段 () 第一階段：實(shí)驗(yàn)前調(diào)查分析，學(xué)校組織討論、分析有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)中與學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想培養(yǎng)有關(guān)的素材及因素，發(fā)掘已有的教學(xué)中學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想培養(yǎng)的經(jīng)驗(yàn)，收集、提煉第一手資料。并建立組織、查閱文獻(xiàn)、尋找理論依據(jù)。 第二階段：組織教師學(xué)習(xí)有關(guān)培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想方面的文獻(xiàn)資料，擬定自己的子課題方案，做好開題準(zhǔn)備。 2、實(shí)施階段 () 第一階段：各子課題組實(shí)施研究，收集資料，完成階段性總結(jié)報(bào)告

12、，反思研究過(guò)程并作修正、完善。 第二階段：繼續(xù)實(shí)施研究，在研究中不斷反思修正，對(duì)積累的材料進(jìn)行分析，提煉、整合，定期進(jìn)行學(xué)習(xí)、交流。 3、成果形成階段 () 形成課題研究成果，撰寫研究報(bào)告，編撰有關(guān)課題研究的論文和音像資料，做好結(jié)題鑒定工作。 七、課題研究的成果及其分析 提高學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的策略 目前我們使用的北師大教材，不把數(shù)學(xué)課劃分為“代數(shù)”、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學(xué)課，這樣更有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合。只是，教材雖然從低年級(jí)起就提供了“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的素材供老師們挖掘，但是對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)目標(biāo)過(guò)于隱諱，還不太突現(xiàn)，教學(xué)上沒(méi)有把學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)和能力培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一

13、個(gè)重要目標(biāo)。 大多教師雖已意識(shí)到“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，卻不知怎樣滲透、如何培 - 5 - 養(yǎng)。學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的策略一般只是被動(dòng)的模仿，學(xué)生的這方面認(rèn)知結(jié)構(gòu)不像數(shù)學(xué)知識(shí)那樣系統(tǒng)化。因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助。課題組研究出以下幾點(diǎn)提高學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的策略： 1、在教學(xué)過(guò)程中滲透同一思維原則，充分利用教材，挖掘教材素材。 教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)，是前人認(rèn)識(shí)的成果。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，通過(guò)認(rèn)識(shí)活動(dòng)把前人的認(rèn)識(shí)成果轉(zhuǎn)化為自己的知識(shí)，所以學(xué)習(xí)是一種再認(rèn)

14、識(shí)過(guò)程，學(xué)習(xí)某項(xiàng)知識(shí)所用的思維方式，同前人獲得該項(xiàng)知識(shí)所用的思維方式應(yīng)該是一致的。同一思維的原則，就是前人用什么思維方式獲得的知識(shí)，學(xué)習(xí)時(shí)，要用同一種思維方式去掌握這些知識(shí)?！皵?shù)形結(jié)合”是抽象與直觀，思維與感知的結(jié)合，學(xué)習(xí)時(shí)就要把兩種思維結(jié)合起來(lái)去理解、掌握這些知識(shí)。因此，“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)活動(dòng)中正確地運(yùn)用思維方式，有機(jī)地把兩種思維結(jié)合起來(lái)，是理解掌握知識(shí)的關(guān)鍵。此外，在教學(xué)中常思考：如何在小學(xué)的不同年齡段安排不同的數(shù)形結(jié)合內(nèi)容，以適應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展和幾何直觀能力發(fā)展的需要？ 2、創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生直觀思維的教學(xué)情境。 進(jìn)行思維活動(dòng)要有一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，沒(méi)有已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的參與，就沒(méi)有思維活動(dòng)。

15、“數(shù)形結(jié)合”的學(xué)習(xí)活動(dòng)既有抽象思維，又有形象思維。進(jìn)行抽象思維一般要靠知識(shí)的新舊聯(lián)系，進(jìn)行形象思維主要靠表象的積累。當(dāng)學(xué)生沒(méi)有或缺乏教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的表象積累，或表象模糊的時(shí)候，必須用直觀形象材料強(qiáng)化，充實(shí)孩子的感知，使孩子獲得有關(guān)表象。很多課利用媒體課件創(chuàng)設(shè)更優(yōu)，同時(shí)還提高課堂密度與教學(xué)效率。 3、對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的培養(yǎng)建立起積極評(píng)價(jià)機(jī)智。 “數(shù)形結(jié)合”教學(xué)中也蘊(yùn)含著豐富的情感因素：首先，數(shù)學(xué)知識(shí)是和科學(xué)美感融合在一起的。其次，教師對(duì)教材的體驗(yàn)、感受和對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，通過(guò)教學(xué)對(duì)孩子起了良好的熏陶、感染的作用。第三，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和愛(ài)好，成功解題帶來(lái)的喜悅和愉快的情緒。這種伴隨認(rèn)

16、知學(xué)習(xí)產(chǎn)生的情感，能成為支持和推動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。另一方面，教師應(yīng)對(duì)孩子的學(xué)習(xí)行為及時(shí)給予正確的評(píng)價(jià)，肯定成績(jī)，激起孩子學(xué)習(xí)的熱情和信心。 “數(shù)形結(jié)合”思想在“數(shù)”、“形”教學(xué)中的應(yīng)用 心理學(xué)研究表明，兒童接受具體性文字中的信息比學(xué)習(xí)抽象性文字中的信息容易得多，其原因是于具體名詞能產(chǎn)生心理映像，而兒童利用形象的圖式 - 6 - 學(xué)習(xí)比用純文字推演更有興趣、更容易學(xué)習(xí)。 1、“數(shù)”的教學(xué)借助“形”的直觀、依賴“形”來(lái)操作。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可能小學(xué)低段數(shù)學(xué)教學(xué)中會(huì)出現(xiàn)的更多，剛學(xué)習(xí)“數(shù)”的加減法或乘除運(yùn)算時(shí)，教師如何利用“形”來(lái)幫助學(xué)生理解掌握，還有就是在小學(xué)中高段數(shù)學(xué)教學(xué)中如何運(yùn)用“形”來(lái)探索復(fù)

17、雜的“數(shù)”的關(guān)系。 于概念的抽象與概括性，教學(xué)時(shí)要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認(rèn)識(shí)整數(shù)，在等分圖形中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)等等。同樣，運(yùn)算的概念、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)等等都需要“形”的參與。 數(shù)學(xué)性質(zhì)是關(guān)于規(guī)律性的知識(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)，而形的操作有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”可作如下設(shè)計(jì)：讓學(xué)生用9根小棒擺出三位數(shù)，判斷是否是3的倍數(shù)；8根、6根呢？操作中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，組成的三位數(shù)是否是3的倍數(shù)只與小棒的根數(shù)有關(guān)，而與擺的方式無(wú)關(guān)，根數(shù)就是各數(shù)位上數(shù)的和。又如，“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”、“小數(shù)的性質(zhì)”可以讓學(xué)生在對(duì)圖形的等分中理解。

18、2、“形”的教學(xué)借助“數(shù)”的描述、依賴“數(shù)”來(lái)鞏固。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“形”的學(xué)習(xí)從一年級(jí)到六年級(jí)都有安排，北師大版本稱這一單元為“觀察物體”。小學(xué)低段數(shù)學(xué)注重其“形”的直觀感知即可，其實(shí)到了小學(xué)中高段數(shù)學(xué)就已經(jīng)把“形”與“數(shù)”緊密聯(lián)系起來(lái)了。 在教孩子認(rèn)識(shí)各種圖形時(shí)，“形”具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢(shì)。只有以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力，使兒童更準(zhǔn)確地把握“形”。 如“長(zhǎng)方形”，學(xué)生從圖形中感知獲得的只是“長(zhǎng)長(zhǎng)的”、“方方的”，只有用數(shù)學(xué)語(yǔ)言揭示其特征。又如，長(zhǎng)方形面積計(jì)算，對(duì)長(zhǎng)方形面積大小觀念的建立從

19、定性到定量，從直觀比較到數(shù)方格，從擺小正方形到發(fā)現(xiàn)面積與長(zhǎng)寬的關(guān)系，最終獲得面積計(jì)算公式，使兒童從更深層面上認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形。 幾何圖形的概念因?yàn)橛辛恕皵?shù)”的描述，進(jìn)一步深化了兒童對(duì)“形”的直觀知覺(jué)。幾何圖形的周長(zhǎng)、面積、體積，因?yàn)橛小皵?shù)”的運(yùn)算，用“數(shù)形結(jié)合”方法認(rèn)識(shí)“形”、說(shuō)明“形”的意義可以拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)他們火熱的數(shù)學(xué)思考，有利于學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)“形”的理解，認(rèn)識(shí)到“形”豐富的內(nèi)涵。 “數(shù)形結(jié)合”在解題教學(xué)中的應(yīng)用研究 “數(shù)”與“形”是貫穿整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，更是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué) - 7 - 教學(xué)始終的基本內(nèi)容?！皵?shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合既是數(shù)學(xué)的重要思想，更是解決問(wèn)題的重要

20、方法。 作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一方面對(duì)形的問(wèn)題，用數(shù)的分析加以解決，另一方面對(duì)于數(shù)量間的關(guān)系問(wèn)題，借助形的直觀來(lái)解。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，我們運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想進(jìn)行教學(xué)，即把題中給出的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形，圖直觀地揭示數(shù)量關(guān)系，有利于活躍學(xué)生的思維，拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力，從而促進(jìn)學(xué)生智力的發(fā)展。 1、“數(shù)形結(jié)合”化抽象為直觀，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。 小學(xué)低年級(jí)學(xué)生主要是憑借事物的具體形象來(lái)進(jìn)行直觀思維活動(dòng)的，但小學(xué)應(yīng)用題所明確的數(shù)量關(guān)系通常需要通過(guò)抽象思維來(lái)理解，這是在小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中存在的突出矛盾，如把應(yīng)用題中抽象的數(shù)量關(guān)系用恰當(dāng)?shù)?、形象的圖形表示

21、出來(lái)，就可較好地解決這一矛盾。 案例1：“雞兔同籠”的內(nèi)容，在二年級(jí)有，五年級(jí)也有。如何讓只有二年級(jí)的孩子們理解“雞兔同籠”的問(wèn)題呢？這里運(yùn)用到的一個(gè)基本的學(xué)習(xí)方法就是讓學(xué)生們動(dòng)筆畫一畫，用一個(gè)簡(jiǎn)單的圓形來(lái)代替動(dòng)物的頭，用豎線來(lái)表示動(dòng)物的腳，在畫的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)多了或少了可以馬上就改。比如：雞兔同籠，有6個(gè)頭，xx年級(jí)上冊(cè)“兩步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)，今年種了楊樹168棵，今年種的松樹的棵數(shù)是楊樹的5倍。今年種松樹多少棵？楊樹和松樹共有多少棵？第一個(gè)問(wèn)題是簡(jiǎn)單的，第二個(gè)問(wèn)題在第一個(gè)問(wèn)題解決的基礎(chǔ)上也不難。但教師在教學(xué)時(shí)，要考慮到，要是沒(méi)有第一個(gè)問(wèn)題，直接要我們求第二個(gè)問(wèn)題呢。其實(shí)可以用兩種方法來(lái)解

22、決這個(gè)問(wèn)題，其中用倍比方法解答是學(xué)生比較難 - 8 - 以理解的。這時(shí)，線段圖就起到了一個(gè)很好的輔助作用?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生利用學(xué)過(guò)的知識(shí)畫出下面的圖： 松樹： 楊樹： 是楊樹的5倍 168棵 楊樹與松樹一共有幾棵？ 借助線段圖的直觀作用，學(xué)生一下子就理解了“1+5=6，1686=1008”的意思，根本不需要老師再多加解釋。就這樣，借助一個(gè)簡(jiǎn)單的線段圖，很好地引導(dǎo)學(xué)生理解了兩種數(shù)量之間的關(guān)系，倍比方法也就在輕松之中迎刃而解了。 3、“數(shù)形結(jié)合”化單一為多元，發(fā)展了學(xué)生的多方面數(shù)學(xué)能力。 同樣的內(nèi)容，可以通過(guò)多種形式進(jìn)行練習(xí)，好的形式不僅讓學(xué)生更好地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力與發(fā)散

23、思維。 案例3：結(jié)束“三角形面積”的教學(xué)后，其中設(shè)計(jì)了一題目，三角形的面積是12平方厘米，并且三角形的高比底短，你覺(jué)得這個(gè)三角形的高有幾厘米，底有幾厘米？。對(duì)于這種只給出一個(gè)數(shù)字條件，要求得兩個(gè)問(wèn)題的解，部分學(xué)生開始會(huì)覺(jué)得束手無(wú)策，其實(shí)基本方法就是畫圖想數(shù)字: 832=12c 642=12c 8cm 6cm 3cm 4cm 這不僅對(duì)三角形面積公式要“除2”印象更深了，而且對(duì)圖形也有了數(shù)感。 “數(shù)形結(jié)合”在教學(xué)應(yīng)用中的培養(yǎng)方式 “數(shù)形結(jié)合”思想與其他數(shù)學(xué)思想方法一樣，其形成都不是朝夕之間的，我們將數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)相結(jié)合，數(shù)形結(jié)合思想滲透在整個(gè)教學(xué)內(nèi)容之中。 1、滲透在教學(xué)過(guò)程中適時(shí)滲透

24、數(shù)形結(jié)合思想 以具體知識(shí)為載體，數(shù)形結(jié)合思想融入其中，使學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合有一些初步 的感知和直覺(jué)，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與記憶，培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)記和理解識(shí)記。 - 9 - 通過(guò)這些具體知識(shí)的學(xué)習(xí)和問(wèn)題的解決，使學(xué)生了解數(shù)和形是兩個(gè)不同的側(cè)面，但在一定條件下又能達(dá)到統(tǒng)一。 2、揭示通過(guò)典型例題的分析講解突出數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo) 以教材的相關(guān)內(nèi)容為載體，向?qū)W生點(diǎn)破闡釋，突出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，用數(shù)量關(guān)系研究圖形，把數(shù)轉(zhuǎn)化成形，用形進(jìn)一步掌握數(shù)，使學(xué)生獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，形成技能，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想。 3、強(qiáng)化把教材中滲透數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容系統(tǒng)化 美國(guó)心理學(xué)家斯金納提出：行為之所以發(fā)生變化，是

25、于強(qiáng)化作用，學(xué)生要獲得有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就必須通過(guò)強(qiáng)化。桑代克說(shuō)：一個(gè)已形成的可變連結(jié)，若加以應(yīng)用，就會(huì)變強(qiáng)；一個(gè)已形成的可變連結(jié)，若久不用，就會(huì)變?nèi)?。教學(xué)要注意連續(xù)性，要經(jīng)常地予以強(qiáng)調(diào)，并通過(guò)大量的綜合而達(dá)到靈活運(yùn)用。通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練，有利于學(xué)生掌握如何解決新問(wèn)題的方法，再經(jīng)積累、概括、總結(jié)，不斷獲得創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，從而形成一定的數(shù)學(xué)能力。 八、課題后的反思 1、課題研究過(guò)程中，我們都太專注于“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)課的準(zhǔn)備與研究，而忽視了學(xué)生其他相關(guān)數(shù)學(xué)能力的發(fā)揮。 2、我們的研討教學(xué)大都借助了媒體課件，感覺(jué)并不是所有的課都有這個(gè)必要，因?yàn)榛舜蟀训臅r(shí)間做課件，可有的還不如在黑板上畫一畫那么明了直觀

26、。教學(xué)還應(yīng)從內(nèi)容出發(fā)，而不是為了形式。 2、學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)絕不是孤立的，受其觀察、聯(lián)想、問(wèn)題轉(zhuǎn)化等能力的制約，后繼可以研究數(shù)形結(jié)合思想，如何與其他數(shù)學(xué)思想相輔相成，同步培養(yǎng)以至形成意識(shí)。 主要 - 1 - “數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的研究 龍游縣塔石鎮(zhèn)中心小學(xué)課題組 負(fù)責(zé)人：黃秀清成員：徐根 鄭素瑩 柴巧云 鄭麗萍 一、課題的現(xiàn)實(shí)背景與意義 課題研究的現(xiàn)實(shí)背景 眾所周知數(shù)與形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石，可以說(shuō)全部數(shù)學(xué)大體上都是圍繞這兩個(gè)基本概念的提煉、演度、發(fā)展而展開的，在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化。

27、數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，也使許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往于借用了幾何術(shù)語(yǔ)或運(yùn)用了與幾何的類比從而開拓了新的發(fā)展方向，例如，線性代數(shù)正是借用了幾何中的空間，線性等概念與類比方法，把自己充實(shí)起來(lái)，從而獲得了迅猛的發(fā)展。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不單純是數(shù)的計(jì)算與形的研究，其中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。其中，“數(shù)形結(jié)合”無(wú)疑是比較重要的一種?！皵?shù)”與“形”既是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要基礎(chǔ)，它們分別發(fā)展的同時(shí)又互相滲透、互相啟發(fā)著，共同推動(dòng)著數(shù)學(xué)科學(xué)的向前發(fā)展。 研究本課題的現(xiàn)實(shí)意義 在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)與形是不可分離地結(jié)合在一起的，這是直觀與抽象相結(jié)合、感知與思維相結(jié)合的體現(xiàn)

28、。數(shù)與形相結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，也是加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的需要。從表面上看來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容可分為數(shù)與形兩大部分，中學(xué)代數(shù)是研究數(shù)和數(shù)量的學(xué)科，中學(xué)幾何是研究形和空間形式的學(xué)科，中學(xué)解析幾何是把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)研究的學(xué)科，實(shí)際上，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中都滲透了數(shù)與形相結(jié)合的內(nèi)容。 著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，作為數(shù)學(xué)老師，應(yīng)能認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的思想所表現(xiàn)出來(lái)的思路上的靈活，過(guò)程上的簡(jiǎn)便。在小學(xué)階段，雖然屬于數(shù)學(xué)的起步階段，但筆者認(rèn)為滲透“數(shù)形結(jié)合”的意義有以下幾點(diǎn)。 首先，懂得 “數(shù)形結(jié)合”的方法就能更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。 第二，懂得“數(shù)形結(jié)合

29、”的方法有利于記憶。學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法后，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性記憶是非常有益的。 第三，懂得“數(shù)形結(jié)合”的方法有利于數(shù)學(xué)能力的提高。如果小學(xué)數(shù)學(xué)教師 - 2 - 在教學(xué)中注重“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，那么，就能使學(xué)生學(xué)會(huì)正確思維的方法，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。 第四，“數(shù)形結(jié)合”的方法是聯(lián)結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的一條紅線。布魯納認(rèn)為：“強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，能夠縮小高級(jí)知識(shí)和初級(jí)知識(shí)之間的間隙?！币话愕刂v，小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中要賦予新的涵義。而在中學(xué)數(shù)學(xué)中全部保留下來(lái)的內(nèi)容只有小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及與之有關(guān)的內(nèi)容，而“數(shù)形結(jié)合

30、”是其中重要的方法之一。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的一條紐帶，“數(shù)形結(jié)合”更是連接小學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的一條紅絲帶。 二、國(guó)內(nèi)外關(guān)于同類課題的研究綜述 早在數(shù)學(xué)蔭牙時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過(guò)程中，就把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)了。早在宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系，17世紀(jì)上半時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡幾通過(guò)坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，后來(lái)，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期不得解決的問(wèn)題，如尺規(guī)作圖三大不能問(wèn)題等，最終也是借助于代數(shù)方法得到完滿的解決。 近來(lái)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中研究得很多

31、也比較透徹。雖然“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的研究還是很少，并且也不透徹。但其思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用研究的經(jīng)驗(yàn)與借鑒為本項(xiàng)課題研究打下了良好的基礎(chǔ)。 三、課題研究的理論依據(jù) 思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)間接、概括的反映，反映的是事物的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律性，是人類認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段。思維實(shí)現(xiàn)著從現(xiàn)象到本質(zhì)、從感性到理性的轉(zhuǎn)化，使人達(dá)到對(duì)客觀事物的理性認(rèn)識(shí)。人們通過(guò)思維，可以更深刻地把握事物，預(yù)見(jiàn)事物的發(fā)展進(jìn)程和結(jié)果。小學(xué)生的思維是其智力的核心部分，小學(xué)生思維的發(fā)展，是其智力發(fā)展的標(biāo)志和縮影。發(fā)展小學(xué)生的智力，主要應(yīng)培養(yǎng)和訓(xùn)練他們的思維能力。 小學(xué)生的思維特點(diǎn)是：形象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，但這種

32、抽象邏輯思維仍帶有很強(qiáng)的具體形象性。盡管孩子的抽象思維在逐步發(fā)展，但是仍然具有很大成分的具體形象性.。因此，把比較抽象的幾何定理與代數(shù)公式硬塞給小學(xué)生，一般說(shuō)來(lái)，不易被接受。然而，從小學(xué)三、四年級(jí)以后，有意識(shí)地培養(yǎng)孩子的思維能力，更快地提高他們的思維水平卻是可能的。 數(shù)學(xué)是一門邏輯性、系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科,前面知識(shí)的學(xué)習(xí),往往是后面有關(guān)知識(shí)的孕伏和基礎(chǔ),在新舊知識(shí)的聯(lián)系上是非常緊密的。長(zhǎng)期以來(lái)，于人們忽視 - 3 - 了形象思維在教學(xué)過(guò)程中的作用，使學(xué)科知識(shí)的理解過(guò)程脫離了學(xué)科思維方式的特點(diǎn)，使知識(shí)難以理解。為了培養(yǎng)更聰明和富有創(chuàng)造力的新一代，在教學(xué)中，不可忽視對(duì)學(xué)生的形象思維與邏輯思維的共同開發(fā)

33、。 四、課題界定 “數(shù)形結(jié)合”是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，在數(shù)的問(wèn)題與形的問(wèn)題之間互相轉(zhuǎn)換，使數(shù)的問(wèn)題圖形化，形的問(wèn)題代數(shù)化，從而巧妙地解決貌似困難、復(fù)雜的問(wèn)題，達(dá)到事半功倍的目的。而在小學(xué)，學(xué)生正處于形象思維與邏輯思維并肩發(fā)展的階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，特別是新教材也滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想，在小學(xué)階段更是培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”的思想好時(shí)期。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識(shí)地溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生逐步樹立起“數(shù)形相結(jié)合”的觀點(diǎn),并使這一觀點(diǎn)扎根到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去,成為運(yùn)用自如的思想觀念和思維工具。 五、課題研究的內(nèi)容及目標(biāo) 課題研究的內(nèi)容

34、 1、小學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)的現(xiàn)狀與分析 針對(duì)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的現(xiàn)狀，分析影響其“數(shù)形結(jié)合”思想的因素，研究出提高學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的相關(guān)措施或策略。 2、“數(shù)形結(jié)合”思想在“數(shù)”、“形”教學(xué)中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)概念反映客觀事物空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性，在某些數(shù)學(xué)概念中運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”能幫助學(xué)生更好的掌握概念。 3“數(shù)形結(jié)合”思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”用得最多的是應(yīng)用題的分析求解中，通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段圖。然而，這并不是唯一的方式。實(shí)際上，在不同的問(wèn)題中，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形。 4、總結(jié)出“數(shù)形結(jié)合”思想在教學(xué)應(yīng)用中的培養(yǎng)方式。 課題研究的目標(biāo) 1、充分

35、發(fā)展學(xué)生的形象思維與邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生全面的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 2、培養(yǎng)學(xué)生具有敏感、主動(dòng)的“數(shù)形結(jié)合”意識(shí)，能夠根據(jù)需要去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“數(shù)”與“形”，并且利用“數(shù)形結(jié)合”解決相關(guān)問(wèn)題。 3、為中學(xué)及后來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下更扎實(shí)的基礎(chǔ)，有利于推進(jìn)素質(zhì)教育。 六、課題研究的方法與步驟 研究方法 1、文獻(xiàn)研究法：查閱有關(guān)的理論書籍、文章，了解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵、 - 4 - 發(fā)展情況和目前的研究成果等信息，使本課題的研究?jī)?nèi)涵和外延更加豐富，更加明確，更加科學(xué)。 2、調(diào)查分析法：調(diào)查分析本校及周邊小學(xué)的數(shù)學(xué)教師和學(xué)生在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的大致情況，通過(guò)對(duì)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的調(diào)查，了解小學(xué)數(shù)學(xué)與初中

36、數(shù)學(xué)在“數(shù)形結(jié)合”方面的連結(jié)點(diǎn)及發(fā)展?fàn)顩r。以增加研究的針對(duì)性和實(shí)效性。在每學(xué)期末，采用情景調(diào)查與試卷調(diào)查的方法，檢驗(yàn)科研成效。 3、行動(dòng)研究法：將有關(guān)“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)踐與研究的初步成果再應(yīng)用于實(shí)踐，是教師們?cè)谡n題實(shí)施過(guò)程中遇到某個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，一起探尋解決問(wèn)題的最好方法，也是本課題研究的主要方法。并在實(shí)踐與研究中不斷調(diào)整、補(bǔ)充、完善。 研究步驟 1、準(zhǔn)備階段 () 第一階段：實(shí)驗(yàn)前調(diào)查分析，學(xué)校組織討論、分析有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)中與學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想培養(yǎng)有關(guān)的素材及因素，發(fā)掘已有的教學(xué)中學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想培養(yǎng)的經(jīng)驗(yàn)，收集、提煉第一手資料。并建立組織、查閱文獻(xiàn)、尋找理論依據(jù)。 第二階段：組織教師學(xué)習(xí)有關(guān)培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想方面的文獻(xiàn)資料，擬定自己的子課題方案，做好開題準(zhǔn)備。 2、實(shí)施階段 () 第一階段：各子課題組實(shí)施研究，收集資料，完成階段性總結(jié)報(bào)告，反思研究過(guò)程并作修正、完善。 第二階段：繼續(xù)實(shí)施研究，在研究中不斷反思修正，對(duì)積累的材料進(jìn)行分析，提煉、整合，定期進(jìn)行學(xué)習(xí)、交流。 3、成果形成階段 () 形成課題研究成果，撰寫研究報(bào)告，編撰有關(guān)課題研究的論文和音像資料，做好結(jié)題鑒定工作。 七、課題研究的成果及