概率論與數(shù)理統(tǒng)計：1.1概率定義及運算

1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,教材： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 上海交通大學(xué)出版社,2,參考書,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 教與學(xué)參考 閻國輝 主編 中國致公出版社 概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題分析與解答 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系編 上海交通大學(xué)出版社,3,概率論的誕生 概率(或然率或幾率) 隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度, 其起源與博弈問題有關(guān). 16世紀(jì)意大利學(xué)者(Girolamo Cardano（15011 576）， Galileo Galilei（15641642）等)開始研究擲骰子等賭博中的一些問題； 1651年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約

2、定賭若干局, 且誰先贏 c 局便算贏家, 若在一賭徒勝 a 局 ( ac ),另一賭徒勝b局(bc)時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本” 為題求教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論這一問題, 共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學(xué)期望。 17世紀(jì)中葉，B. 帕斯卡(法國數(shù)學(xué)家)、C. 惠更斯(荷蘭數(shù)學(xué)家)等,基于排列組合的方法，研究了較復(fù)雜的賭博問題， 解決了“ 合理分配賭注問題” ( 即得分問題,4,對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率論；概率論是數(shù)學(xué)的一個分支,它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律. 使概率論成為數(shù)學(xué)的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.

3、 第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與 管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、 控制論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)等學(xué)科. 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、 整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的 問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策 和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科,5,統(tǒng)計方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué) 知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù) 學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這 樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計 學(xué)是概率論的一種應(yīng)用. 但是它們是兩個并列 的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系,6,本學(xué)科的應(yīng)用,概率統(tǒng)計理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民

4、經(jīng)濟的各個部門中. 例如 1. 氣象、水文、地震預(yù)報、人口控制 及預(yù)測都與概率論緊密相關(guān)； 2. 產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能 否在臨床中應(yīng)用，均需要用到假設(shè)檢驗； 3. 尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實驗設(shè)計和數(shù)據(jù) 處理,7,4. 電子系統(tǒng)的設(shè)計, 火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射都離不開可靠性估計; 5.探討太陽黑子的變化規(guī)律時，時間序列分析方法非常有用; 6. 研究化學(xué)反應(yīng)的時變率，要以馬爾可夫過程來描述; 7. 在生物學(xué)中研究群體的增長問題時提出了生滅型隨機模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程,8,8. 許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、購物排隊、紅綠

5、燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識就是排隊論. 目前, 概率統(tǒng)計理論進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展. 在社會科學(xué)領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題, 都大量采用概率統(tǒng)計方法. 法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace) 說對了: “ 生活中最重要的問題, 其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.” 英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯曾對概率論大加贊美：“ 概率論是生活真正的領(lǐng)路人, 如果沒有對概率的某種估計, 那么我們就寸步難行, 無所作為.,9,在一定條件下必然發(fā)生 的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象,太陽不會從西邊升起,1.確定性現(xiàn)象,可導(dǎo)必連續(xù),水從高處流向低處,實例,自

6、然界所觀察到的現(xiàn)象,確定性現(xiàn)象,隨機現(xiàn)象,確定性現(xiàn)象的特征,條件完全決定結(jié)果,第一章 隨機事件及其概率,10,在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象,稱為隨機現(xiàn)象,實例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀 察正反兩面出現(xiàn)的情況,2. 隨機現(xiàn)象,結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面,隨機現(xiàn)象 。每次試驗前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果 。每次試驗后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個 。在相同的條件下進(jìn)行大量的觀察或試驗時，出現(xiàn)的結(jié) 果有一定的規(guī)律性-稱之為統(tǒng)計規(guī)律性,11,結(jié)果有可能為,1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6,實例3 “拋擲一枚骰子,觀 察出現(xiàn)的點數(shù),實例2 “用同一門炮向同 一目標(biāo)發(fā)射同一

7、種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點的情況,結(jié)果: “彈落點會各不相同,12,實例4 “從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品,其結(jié)果可能為,正品 、次品,實例5 “過馬路交叉口時, 可能遇上各種顏色的交通 指揮燈,實例6 “一只燈泡的壽命” 可長可短,隨機現(xiàn)象的特征,條件不能完全決定結(jié)果,13,2. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性, 但在大量重復(fù)試驗或觀察中, 這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的,問題 什么是隨機試驗,如何來研究隨機現(xiàn)象,說明,1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系 ,

8、其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述,14,1.1 隨機試驗(簡稱“試驗”,15,隨機試驗的特點： 1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可 能結(jié)果； 3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn),說明,1. 隨機試驗簡稱為試驗, 是一個廣泛的術(shù)語.它包 括各種各樣的科學(xué)實驗, 也包括對客觀事物進(jìn) 行的 “調(diào)查”、“觀察”、或 “測量” 等,2. 隨機試驗通常用 E 來表示,實例 “拋擲一枚硬幣,觀 察正面,反面出現(xiàn)的情況,分析,1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行,2) 試驗的所有可能結(jié)果,正面，反面,3) 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn),故為隨機試驗,16

9、,2.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),3.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記 錄出現(xiàn)正品的件數(shù),4. 考察某地區(qū) 10 月份的平均氣溫,5. 從一批燈泡中任取一只,測試其壽命,17,樣本空間、隨機事件,18,一） 樣本空間 實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為 或 S；試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e. 由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件, 記為e,例： 給出E1-E5的樣本空間,二）隨機事件,19,例如 對于試驗E1，以下A 、 B、C即為三個隨機事件: A“至少出一個正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“三次出

10、現(xiàn)同一面”=HHH,TTT C=“恰好出現(xiàn)一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，試驗E5中D“燈泡壽命超過1000小時” x:1000 xT(小時）。 可見，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質(zhì)，且更便于今后計算概率. 還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗E ，當(dāng)試驗的結(jié)果是HHH時，可以說事件A和B同時發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述,20,1.包含關(guān)系 “ A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為AB AB AB且BA,21,三）事件之間

11、的關(guān)系,2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”， 記作AB,n個事件A1, A2, An至少有 一個發(fā)生，記作,22,3.積事件 :A與B同時發(fā)生，記作 ABAB,n個事件A1, A2, An同時發(fā)生，記作 A1A2An,23,4.差事件 ：AB稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生,思考：何時A-B=?何時A-B=A,24,5.互斥（或互不相容）的事件 ：AB,25,6. 互逆的事件 AB , 且AB,26,四）事件的運算律,27,1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(B

12、C) 4、對偶(De Morgan)律,例1：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件,28,例2 化簡事件,解 原式= 作業(yè): 習(xí)題一 2 ，3，5，6,29,30,從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性,事件的概率應(yīng)具有何種性質(zhì),拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ 擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？ 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大,1.2 概率的定義及其運算,一）概率的統(tǒng)計定義,隨機事件：在試驗的結(jié)果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件。比如，拋硬幣試驗中，”徽花向上”是隨機事件；擲

13、一枚骰子中，”出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個隨機事件等。 、頻率：設(shè)A為實驗E中的一個隨機事件，將E重復(fù)n次，A發(fā)生m次，稱f(A)=m/n為事件A的頻率 隨著實驗次數(shù)n的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)比如投勻質(zhì)硬幣實驗，頻率將穩(wěn)定在1/2附近 、統(tǒng)計概率：將事件A的頻率的穩(wěn)定值p作為事件A出現(xiàn)的可能性的度量，即P(A)=p為事件A的統(tǒng)計概率 統(tǒng)計概率的缺點： （）需要大量的重復(fù)試驗 （）得到的是概率的近似值,31,歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時， 出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.50

14、69 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)n增大時， fn(A) 逐漸趨向一個穩(wěn)定值。 可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率,32,頻率的性質(zhì): (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B,33,二) 概率的公理化定義,34,注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義,1.定義 若對隨機試驗E所對

15、應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件： (1) 非負(fù)性: P(A) 0； (2) 規(guī)范性: P()1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率,35,2.概率的性質(zhì) (1) P()=0; (2) 有限可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An,4) 事件差: A、B

16、是兩個事件，則 P(A-B)=P(A)-P(AB,3) 單調(diào)不減性：若事件AB，則 P(A)P(B,36,5) 加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(AB) P(A)+P(B) 對任意事件A、B、C，有,37,該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，An的情形,右端共有 項,38,6) 互補性：P(A)1 P( A );(7) 可分性：對任意兩事件A、B，有 P(B)P(AB)P(AB ),39,例1 某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至

17、少訂有一種報紙的概率,解: 設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報,40,例2 在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率， （2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率,解:設(shè)A取到的數(shù)能被2整除; 取到的數(shù)能被3整除,故,41,例3 某人外出旅游兩天，需要知道兩天的天氣情況，據(jù) 天氣預(yù)報，第一天下雨的概率為0.6, 第二天下雨的概率為0.3, 兩天都下雨的概率為0.1. 求 (1)第一天下雨，第二天不下雨的概率 (2)兩天至少有一天下雨的概率 (3)兩天都不下雨的概率 (4)兩天至少有一天不下雨的概率 解設(shè)

18、A1, A2分別表示第一天下雨與第二天下雨,42,例4 設(shè)A, B是兩事件，P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 問在什么條件下，P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少,43,解,若某實驗E滿足 1.有限性：樣本空間 e1, e 2 , , e n ; 2.等可能性： P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型,三）古典概型與概率,44,設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A) ，以N()記樣本空間 中樣本點總數(shù)，則有 P(A)=N(A)/N(,P(A)具有如下性質(zhì),1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，則

19、 P( A B ) P(A) P(B,古典概型中的概率,45,等可能概型中概率計算應(yīng)注意的基本問題： 明確所作的試驗是等可能概型，有時需要設(shè)計符合問題要求的隨機試驗，使其成為等可能概型 在計算時,常要用到排列和組合的有關(guān)知識 除了直接數(shù)以外，還應(yīng)注意用概率計算的有關(guān)公式，將復(fù)雜問題化為簡單問題,46,排列、組合有關(guān)知識的復(fù)習(xí)： 加法原理：完成一件事情有n類方法，第i類方法中有mi種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法 乘法原理：完成一件事情有n個步驟，第i個步驟中有mi種具體的方法，則完成這件事情共有 種不同的方法,47,排列：從n 個不同的元素中取出m個（不放回地） 按一定的次序排成

20、一排，不同排法的種數(shù)共有 全排列： 可重復(fù)排列：從n個不同的元素中可重復(fù)地取出m個 排成一排, 不同的排法種數(shù)有 不盡相異元素的全排列：n個元素中有m類，第i 類 中有ki個相同的元素，k1+k2+km=n, 將這n個元素按一定的次序排成一排，不同的 排法種數(shù)共有,48,組合：從n 個不同的元素中取出m個（不放回地） 組成一組，不同的分法種數(shù)有 多組組合：把n個不同的元素分成m個不同的組（組編號），各組分別有k1,k2,km 個元素，k1+k2+km=n,不同的分法種數(shù)共有,49,例5:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少? 解:設(shè)A-至少有一個男孩,以

21、H表示某個孩子是男孩,HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,P(A)=N(A)/N()=7/8,50,解：不放回 (method I)E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊，重復(fù)m次 : 記事件A為m個球中有k個白球，則 則,51,例6： 袋中有a只白球，b只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個球（ ),求其中恰有k個( ）白球的概率,method II)E1: 球編號，一次取出m個球，記下顏色 1: 記事件A為m個球中有k個白球，則 因此 不放回地逐次取m個球，與一次任取m個球 算得的結(jié)果相同。稱為

22、超幾何分布,52,有放回地 E2: 球編號，任取一球，記下顏色，放回去， 重復(fù)m次 2: 記事件B為有放回地取m 個球，其中有k個白球，則,53,例7：袋中有a只白球，b只紅球， （1）從袋中不放回地取球k次, 每次一只，求第k次取得的是白球的概率（ ） （2）從袋中不放回地將球一個個取出，直到剩下的球的顏色都相同為止，求剩下的球都是白球的概率 解(1) E: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一 邊，重復(fù)k次 : 記事件A為第k次取得白球，則,54,E1: 球編號，任取一球，記下顏色，放在一邊，將球全部取出 E2: 球不編號，將a + b個球有次序地排成一排，觀察a個白球的排列位置，每種排法都

23、是等可能的。 無放回地取球，P( A) 與k無關(guān),55,2)設(shè)對應(yīng)的事件為B將球全部取出，最后取得白球,56,例8（分組問題）30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。 解:設(shè)A:每組有一名運動員;B: 3名運動員集中在一組,一般地，把n個球隨機地分成m組(nm),要求第 i 組恰有ni個球(i=1,m)，共有分法,57,例9（分球問題）將3個球隨機的放入3個盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少,解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒,58,設(shè)有 k 個不同的球, 每個 球等可能地

24、落入 N 個盒子中（ ）, 設(shè) 每個盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率,1）某指定的 k 個盒子中各有一球,4）恰有 k 個盒子中各有一球,3）某指定的一個盒子沒有球,2）某指定的一個盒子恰有 m 個球(,5）至少有兩個球在同一盒子中,6）每個盒子至多有一個球,例10 （分房模型,59,例4,解,設(shè) (1) (6)的各事件分別為,則,60,61,例10的“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場合,信封,信,鑰匙,門鎖,女舞伴,生日,人,男舞伴,例11 “分房模型”的應(yīng)用,生物系二年級有 n 個人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率,解,為 n 個人的生日均不相同,這相當(dāng)于,本問題中的人可被視

25、為“球”， 365天為,365只“盒子,若 n = 64,每個盒子至多有一個球. 由例10（6,例5,62,63,例6,解,例12 在0,1,2,3, ,9中不重復(fù)地任取四個數(shù)， 求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率,設(shè) A為“能排成首位非零的四位偶數(shù),四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 種可能,而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四,位偶數(shù)有 種取法,所以有利于A發(fā)生的,取法共有 種,解,設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積 能被10整除,設(shè) A1 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5,A = A1 A2,例13 在1,2,3, ,9中重復(fù)地任取 n ( )個數(shù), 求 n 個數(shù)字的乘積能被10整除的概率,64,例7,65,例14 證明: 對任意