福建師范大學(xué)2020年秋作業(yè)《數(shù)學(xué)建?！菲谀┛荚嘇卷答案

1、數(shù)學(xué)建模期末考試A卷 姓名： 專業(yè)：學(xué)號(hào)： 學(xué)習(xí)中心：$一、判斷題（每題3分，共15分）1、 模型具有可轉(zhuǎn)移性。-（對(duì) ）2、 一個(gè)原型，為了不同的目的可以有多種不同的模型。-（對(duì) ）3、 一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型需滿足模型的適用性和模型的可靠性。-（ 對(duì) ）4、 力學(xué)中把質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間的量綱作為基本量綱。-（ 對(duì)）5、 數(shù)學(xué)模型是原型的復(fù)制品。 - （ 錯(cuò) ）二、不定項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1、下列說法正確的有 AC 。A、評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣的唯一標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐檢驗(yàn)。B、模型誤差是可以避免的。C、生態(tài)模型屬于按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分的模型。D、白箱模型意味著人們對(duì)原型的內(nèi)在機(jī)理了解不清楚。2、建模能力包括

2、 ABCD 。 A、理解實(shí)際問題的能力 B、抽象分析問題的能力C、運(yùn)用工具知識(shí)的能力 D、試驗(yàn)調(diào)試的能力3、按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分的模型有 AE 。A、傳染病模型 B、代數(shù)模型 C、幾何模型 D、微分模型 E、生態(tài)模型4、對(duì)黑箱系統(tǒng)一般采用的建模方法是 C 。A、機(jī)理分析法 B、幾何法 C、系統(tǒng)辯識(shí)法 D、代數(shù)法5、一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型需滿足 AB 。A、模型的適用性 B、模型的可靠性 C、模型的復(fù)雜性 D、模型的美觀性三、用框圖說明數(shù)學(xué)建模的過程。（10分）答：概括的說，數(shù)學(xué)模型就是一個(gè)迭代的過程，其一般建模步驟用框架圖表示如下：四、建模題（每題15分，共60分）1、四條腿長(zhǎng)度相等的椅子放在起伏

3、不平的地面上，4條腿能否同時(shí)著地？解：4條腿能同時(shí)著地（一） 模型假設(shè)對(duì)椅子和地面都要作一些必要的假設(shè)：對(duì)于此題，如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對(duì)這個(gè)問題我們假設(shè):(1)地面為連續(xù)曲面(2)長(zhǎng)方形桌的四條腿長(zhǎng)度相同(3)相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的(4)方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時(shí)接觸到地面。（二）模型建立現(xiàn)在，我們來(lái)證明:如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以長(zhǎng)方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、B、C、D的初始位置在與x軸平行，再假設(shè)有一條在x軸上的線ab,則ab也

4、與A、B，C、D平行。當(dāng)方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線ab與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f() 為A、B離地距離之和，g()為C、D離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設(shè)(1)，f(), g()均為0的連續(xù)函數(shù)嘆由假設(shè)(3),三條腿總能同時(shí)著地，故f() g()=0必成立( )。f(), g()均為0的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)(3),三條腿總能同時(shí)著地，故f() g()=0必成立()。不妨設(shè)f()=0, g()0 (若g(0)也為0,則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn))，于是問題歸結(jié)為:已知f(0), g()均為的連續(xù)函數(shù)，f(0)

5、=0, g(0) 0且對(duì)任意有f() g()=0,求證存在某一0。，使f() g()=0。（三）模型求解證明:當(dāng)日=時(shí)，AB與CD互換位置，故f()0, g()= 0 o作h()= f()-g()，顯然，h()也是的連續(xù)函數(shù)，h()= f()- g() 0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在，0，使得h()=0，即h()= g()。又由于f() g()=0,故必有f()= g()=0,證畢。2、建立模型說明同樣多的面粉，多包幾個(gè)餃子能多包餡，還是少包幾個(gè)餃子能多包餡？解：在餃子皮相對(duì)與餃子餡比較薄的情況下,忽略餃子皮厚度對(duì)餃子體積的影響，每個(gè)餃子能包的餡y=f(x)=kx1.5 其中x為每個(gè)餃子消耗

6、面粉量,k為常數(shù)。所以能包的餡總共有 My/x=Mkx0.5 其中M為總面粉量。顯然這個(gè)函數(shù)在0到正無(wú)窮上是增函數(shù),所以結(jié)論：餃子包越大相同面粉能包的餡越多，少包幾個(gè)餃子能多包餡。3、投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)一百噸需資金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地200平方米，可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)一百噸需資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地100平方米，可獲利潤(rùn)200萬(wàn)元，現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元、場(chǎng)地900平方米，問應(yīng)做怎么樣的組合投資，可使所獲利潤(rùn)最多。解:設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品X百噸,生產(chǎn)B產(chǎn)品Y百噸,則最大利潤(rùn)為Z,則有模型如下：Z=300X+200Y,由題得X、Y需要滿足：200X+300Y140020

7、0X+100Y900畫圖解得X=3.25；Y=2.5時(shí)Z最大，且此時(shí)Z=300*3.25+200*2.5=1475得出，生產(chǎn)A產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品2.5百噸時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為1475萬(wàn)元。4、在某5000個(gè)人中有10個(gè)人患有一種病，現(xiàn)要通過驗(yàn)血把這10個(gè)病人查出來(lái)，若采用逐個(gè)人化驗(yàn)的方法許化驗(yàn)9999次，（這里所需化驗(yàn)次數(shù)是指在最壞情況下化驗(yàn)次數(shù)，如果碰巧，可能首先化驗(yàn)的10個(gè)人全是病人，10次化驗(yàn)就夠了，下面討論的化驗(yàn)次數(shù)均指在最壞情況下的化驗(yàn)次數(shù)）。為了減少化驗(yàn)次數(shù)，人們采用分組化驗(yàn)的辦法，即把幾個(gè)人的血樣混在一起，先化驗(yàn)一次，若化驗(yàn)合格，則這幾個(gè)人全部正常，若混合血樣不合格，

8、說明這幾個(gè)人中有病人，再對(duì)它們重新化驗(yàn)（逐個(gè)化驗(yàn)或再分組化驗(yàn)）。試給出一種分組化驗(yàn)的方法使其化驗(yàn)次數(shù)盡可能地小，不超過1000次。解：解我們給出如下的方法:從1000人中任取64人，把他們的血樣混合化驗(yàn)。一般地，n個(gè)人中有k個(gè)病人，令s使2sn/k2s+1,則從n個(gè)人中任取25個(gè)人一組，當(dāng)n=1000 , k=10時(shí)，25=64若這64人混合血樣合格(化驗(yàn)是陰性) ,則這64個(gè)人正常，可排除，無(wú)需再化驗(yàn)，再?gòu)氖Ｏ挛椿?yàn)的人中任取64個(gè)人，混合血樣化驗(yàn)。若這64人混合血樣不合格(化驗(yàn)呈陽(yáng)性)，說明這64人中有病人。把這64個(gè)人，分為兩組，每組32人。任取一組的混合血化驗(yàn)，即可確定有病人的一組。(即只需化驗(yàn)-次，若化驗(yàn)的這組血樣成陰性，則病人在另- -組。若化驗(yàn)的這組血樣成陽(yáng)性，這組有病人，但此時(shí)，另-組也可能有病人)。作為最壞的可能情形，我們無(wú)法保證另-組的32人中沒有病人，故選定有病。人的一組后，把另一組人退回到未化驗(yàn)的人群中去。把有病人的這組32人，再分為兩組，每組16人，重復(fù)上述過程。即化驗(yàn)- -次，確定有病人的一組，把另一組退回到未化驗(yàn)的人群中。依次下去，直到找到一個(gè)病人為止。至此一-共化驗(yàn)了7次。再?gòu)奈椿?yàn)的人中任取64人