橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

1、v1.0可編輯可修改橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1.橢圓定義：（1） 第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F,、F2的距離之和為常數(shù) 2a（2a | F2F2 |）的動(dòng)點(diǎn)P的 軌跡叫橢圓，其中兩個(gè)定點(diǎn)F,、F2叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)PF,|PF22aF1F2時(shí)，P的軌跡為橢圓；當(dāng)PF, PF2 2a F,F2時(shí)，P的軌跡不存在；當(dāng)PF,|PF22aF1F2時(shí)，P的軌跡為 以F,、F2為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F與定直線1（定點(diǎn)F不在定直線I上）的距離之比是常 數(shù)e（ 0 e ）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義，可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的方程與幾何性

2、質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2m 缶，(a b 0)2 2占(a b 0)性質(zhì)參數(shù)關(guān)系a2 b2 c2焦占八 、八、(c，0)，( c，0)(0，c)，(0，c)焦距2c范圍|x| a，|y | b|y| a，|x| b頂點(diǎn)(a,0),(a,0),(0, b)，(0，b)(0, a),(0,a),( b,0),(b,0)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率ce 一 (0J) a準(zhǔn)線2 axc2 a yc2 23.點(diǎn)P（x，y。）與橢圓篤與y a bb 0）的位置關(guān)系：2 22 222當(dāng)z y_ ,時(shí)，點(diǎn)p在橢圓外；當(dāng)y_ ,時(shí)，點(diǎn)p在橢圓內(nèi)；當(dāng)L ,時(shí)，點(diǎn)P在a2 b2a2 b2a2 b2橢圓上；4.直線與

3、橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交0；直線與橢圓相切0；直線與橢圓相離0例題分析：題1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0) 、(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；35兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0， 2)和(0,2 )且過(guò)(，一).2 2(3) 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-3 , 0) , (3 , 0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5 , 0).(4) 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0 , 5) , (0 , -5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26.(5) 焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為 P(0， 10) , P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.17解: (1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 X軸上，所

4、以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(ab 0)2 2xy2, 2ab2aab210,2c 85,c 42 2 2a c 542所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為2259因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2ab2(a b 0)由橢圓的定義知,2a3)2 (； 2)2(3)2 (5 2)2 + ( 3)2 2 、 23 J10 1U10 2/102 2a ,10 又 c 22 2 2b a c 10 462 2所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為110 6另法：t b2 a2 c2 a24可設(shè)所求方程2y2a2x1，后將點(diǎn)a 4353 ,-)的坐標(biāo)代入可求出 a，從而求2 2出橢圓方程+(3) T橢圓的焦點(diǎn)在 x軸上，所以設(shè)它的

5、標(biāo)準(zhǔn)方程為:2 2篤與1(a b 0)a b- 2a (5 3)20. (5 3)2010, 2c=6. a 5, c 32 2 2 2 2b a c 53162 2所求橢圓的方程為：1.2516橢圓的焦點(diǎn)在 y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2ax2b21(ab 0).- b2 a2 c2144.所求橢圓方程為:2 2y x169144(5)T橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2y_b21(ab 0) p(o,io)在橢圓上,a =io又 P到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2,C ( 10)=2,C=8.- b2 a2 c2 36.2 2所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.10036題2。已知B, C

6、是兩個(gè)定點(diǎn)，丨BC|= 6，且 ABC的周長(zhǎng)等于16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：以BC所在直線為x軸，BC中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)A（x,y），根據(jù)已知條件得|AB|+|AC|=10 *再根據(jù)橢圓定義得a 5,c3,b4.所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為2516（y豐0）（特別強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)）所示的平面直角坐標(biāo)系，2M為重心，則|MB+| MC=X339=26.M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，故所求橢圓方程為2 x2y1 ( y 豐 0)-16925根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)因?yàn)锳ABC的頂點(diǎn)，故點(diǎn) A不在x軸上，所以方程中要注明y豐0的條件.題3。在 ABC中，BC=24, AC AB的兩條中線之和為 39

7、, 求厶ABC的重心軌跡方程.分析：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立如圖題4。已知x軸上的一定點(diǎn)A ( 1,0 ), Q為橢圓2y 1上的動(dòng)點(diǎn)，求 AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x, y），則Q的坐標(biāo)為（2x 1,2y）.2因?yàn)辄c(diǎn)Q為橢圓y21上的點(diǎn),4-222 4y21所以有(2x 1)(2y)2 1，即(x4所以點(diǎn)M的軌跡方程是（x I）2 4y2題5。長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為-,3求點(diǎn)M的軌跡方程.55解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x, y），則A的坐標(biāo)為（二x,0）* B的坐標(biāo)為（0 - y）.3 2因?yàn)閨AB| 2，所

8、以有 (5x)2 (5 y)2 4，即 25 x2 25 y2 43 294所以點(diǎn)M的軌跡方程是空x2 25 y24 *94yB0A2題6。已知定圓x y 6x 550，動(dòng)圓M和已知圓內(nèi)切且過(guò)點(diǎn)P（-3，0），求圓心M的軌跡及其方程+分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值.根據(jù)圖形,用數(shù)學(xué)符號(hào)表示此結(jié)論:MQ8 MP卜上式可以變形為 MQMP8，又因?yàn)镻Q 68，所以圓心M的軌跡是以P, Q為焦點(diǎn)的橢圓+解已知圓可化為：x 3 2 y2 64M （x, y），貝V MP為半徑*又圓M圓心Q（3, 0）, r 8，所以P在定圓內(nèi).設(shè)動(dòng)圓圓心為和圓Q內(nèi)切，所以MQ 8 MP即 MQ MP8

9、,故M的軌跡是以P, Q為焦點(diǎn)的橢圓,且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以2a 8 ,b27,故動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程是:2 2x y167一4題7o ABQ的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 B（0,6）和Q0 , -6）,另兩邊AB AC的斜率的乘積是-,9求頂點(diǎn)A的軌跡方程選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對(duì)應(yīng)曲線后舍點(diǎn)的解題意思,解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo);為(x,y).依題意得 y6 y64XX922頂點(diǎn)A的軌跡方程為X-1(y813622說(shuō)明：方程Xy_1對(duì)應(yīng)的橢圓與8136(0 , 6)應(yīng)舍去.22題& P為橢圓Xy1上的點(diǎn)，且2 59解：由題意，得(5-X0)254(5X。)55 - 79、“ 5.

10、7P的坐標(biāo)為（,),( ,44422題9橢圓y-1上不同三點(diǎn)A（59等差數(shù)列，求證X1X28.練根據(jù)條件對(duì)一些點(diǎn)進(jìn)行取舍6).2=64y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為（0,6）與P與F1, F2的連線互相垂直，求 P7 25X0育，y81165.795 -. 79、,),( ,)44449Xi, yj, B(4, ),C(X2, y2)與焦點(diǎn) F(4,0)的距離成54 44證明：由題意，得(5X1)(5X2) = 2 (54)X1 X2 85 55題10.設(shè)P是以0為中心的橢圓上任意一點(diǎn),與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切2證明：設(shè)橢圓方程為務(wù)a2y_b21,( ab 0),焦半徑F2P是圓Oi的直徑,F

11、2為右焦點(diǎn)，求證：以線段 F?P為直徑的圓則由aPF22a PF2OOi知，兩圓半徑之差等于圓心距,所以，以線段F2P為直徑的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切題11。已知橢圓的焦點(diǎn)是F, 1,0), F2(1,0) , P為橢圓上一點(diǎn)，且| F,F2 |是| PF, |和|PF?丨的等差中項(xiàng)(1) 求橢圓的方程; 若點(diǎn)P在第三象限，且/ PF1F2 = 120,求tan F1PF2.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題解: (1)由題設(shè)I PF1I + 1 PF? 1=2| FF I 2a 4 , 2c=2,b=、.32橢圓的方程為42y-1.3F1F2*x/(

12、2)設(shè)/ F1PF2則/ PF2 F1 = 60 9由正弦定理得:F1F2 sinPF2I由等比定理得:sin2sin整理得:IPF1_sin 120si n(60)PF1PF?sin120sin (60)-2 sin(60 )25 sin , 3 (1 cos )sin1 cos山故tan5 2題12.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線 y=x+1與橢圓相交于點(diǎn) P和點(diǎn)Q且OPL OQ I PQ=也0，求橢圓方程22 2解：設(shè)橢圓方程為 mx+ny=1 (n0, n0),設(shè) P (X1, y1), Q( X2, y2),解方程組y=x+1,mX+ny 2=1.2消去y,整理得(

13、葉n) x+2nx+n仁0.2A =4n 4 ( m+n) (n 1) 0，即 m+n mn0, OPLOQ xiX2+yiy2=0,即 X1X2+ (Xi+1) (X2+I) =0, 2x1X2+ (Xi +X2) +1=0，二，?2_ 2n +1=0.m n m nnrn=2.由弦長(zhǎng)公式得4(m n mn)，將m+n=2代入，得3 m- n=-.4(m n)2C 1 m=, 2 解得13橢圓方程為+ -y2=122y_=1.22 2題13.直線l過(guò)點(diǎn)M( 1, 1),與橢圓 + =1相交于A B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M43試求直線l的方程.解：設(shè) A (X1, yj、B (X2, y2),2

14、2則乞+比=1,4 32 2 乞+里=14 3，得(X1X2)(X1 x2)+ (y1 y2)(y1y2)_043y1y2.3= X1X2X1X24y1y2又 M為AB中點(diǎn), X1 +X2=2, y1+y2=2.直線i3的斜率為一-.4直線i3的方程為y 仁一(x 1),4即 3x+4y7=0.題14。已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) 0, 個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 0,1 ,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的 四邊形為正方形，直線I與y軸交于點(diǎn)(0, m ,與橢圓C交于相異兩點(diǎn) A B,且AP 3PB .(1)求橢圓方程；(2 )求m的取值范圍.【解題思路】通過(guò) AP 3PB，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與

15、系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式解析(1)由題意可知橢圓C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可設(shè)2 2C：y_ 冬C ： 2 .2 a b1(ab 0)由條件知a 1且b c ,又有a2b2 c2，解得 a 1 , b故橢圓C的離心率為e -a.2其標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)設(shè) l 與橢圓 C交點(diǎn)為 A (X1, y1), B (X2, y2)y = kx + m2222 2得(k + 2) X + 2kmx+( m 1 )= 02x + y = 1A=( 2km 22m11因入=3 kz 0 k = 2_ 0,. 1m 或 n2m2成立，所以(*)成立1 1即所求m的取值范圍為(一1， ?U( -, 1) 4 (

16、k2+ 2) (m 1)= 4 (k2 2rn + 2) 0 (*)2 kmm 1X1+ X2=嚴(yán)，X1X2= kT2X1+ X2= 2X2 t AP = 3 PB . X1 = 3X2 2X1X2= 3x22 2 km 2 m 1消去 X2，得 3 ( X1 + X2)+ 4X1X2= 0,. 3 ()+ 42 = 0 整理得 4k2m+ 2m k2 2= 0221212 2 2mm =時(shí)，上式不成立；mz時(shí)，k =2-,444m 1題15。設(shè)x、y R, i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi) x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi +(y+2)j，b=xi+( y - 2) j，且 | a|+| b

17、|=8.(1) 求點(diǎn)M( x, y)的軌跡C的方程.(2) 過(guò)點(diǎn)(0, 3)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)OP = OA + OB，是否存在這樣的直線l，使得四邊形 OAP昵矩形若存在，求出直線 l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.(1)解法一： a=xi + (y+2) j , b=xi + (y- 2) j，且 | a|+| b|=8 ,點(diǎn)M(x, y)到兩個(gè)定點(diǎn) Fi (0, - 2) , F2 ( 0 , 2)的距離之和為 8.2 2軌跡C為以Fl、F2為焦點(diǎn)的橢圓，方程為 + =1.12 16解法二：由題知，x2 (y 2)2+.x2 (y 2)2 =8,移項(xiàng)，得.x2(y 2)2=

18、8- , x2(y2)2 ,兩邊平方，得2 2 2x+ (y+2) =X +(y-2) 2-16 . x2(y2)2 +64,整理，得 2 x2(y 2)2 =8- y,兩邊平方，得 4 x2+ (y-2) 2 = (8- y) 2,2 2展開(kāi)，整理得+Z=1.12 16(2).T過(guò)y軸上的點(diǎn)(0, 3),若直線I是y軸，則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)/ OP=OA + OB=0, P與O重合，與四邊形 OAPB矩形矛盾y=kx+3,12 16直線I的斜率存在設(shè)I方程為y=kx+3, A (X1, yj, B (X2, y2),2222消 y 得(4+3k)x+18kx - 21=0.此時(shí)，A =

19、( 18k )- 4 (4+3k )18k21(-21) 0 恒成立，且 X1+X2= , X1X2=4 3k24 3k2v1.0可編輯可修改1+11i/ OP=OA + OB四邊形 OAPB是平行四邊形.若存在直線I，使得四邊形 OAPB是矩形，貝U OAL OB 即 OA OB=0. OA=（xi，yi），OB=（ X2, y2）. OA OB =xiX2+yiy2=0,即（1+k?） xiX2+3k （xi +X2） +9=0,即（i+k） ） +3k ） +9=0,即 k2=?，得 k= 二.4 3k24 3k2i64存在直線I : y= 5 x+3，使得四邊形 OAPB!矩形.4橢圓

20、作業(yè)班級(jí)：姓名： 題i6。選擇題2 2i. 已知Fi、F2是橢圓 +=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) Fi的直線與橢圓交于 M N兩點(diǎn)，則i6 9 MNF的周長(zhǎng)為.16C解析：利用橢圓的定義易知 B正確.答案：B22. 橢圓 +y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Fi、F2,過(guò)Fi作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)4B.3C.交點(diǎn)為P,則| PF2 |等于+y2=i,4ii解法一：（如下圖）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 Fi,左焦點(diǎn)為F2,過(guò)Fi垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P.v1.0可編輯可修改x221 F1( , 3 , 0).設(shè) P ( 3 , yp)代入 一 +y =1，得 yp=,211二 P ( V3, -)

21、, | PF|=-22又T | PF2|+| PF|=2 a=4,/ | P|=4 |PF|=4 丄=72 2F2,已知圓F2經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且3. 設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓與橢圓相交于M點(diǎn)，若直線MF恰與圓F2相切,則該橢圓的離心率 e為A. -1 3 1,3C.D.32解析：易知圓F2的半徑為/ 、 2 2 2c, (2a c) +c =4c ,(-)2+2ac(-)2=0,a=.3 1.a25答案：A2x4.已知P為橢圓亠252y_161上的一點(diǎn)，M ,N分別為圓(x3)22y 1和圓(x 3)24上的點(diǎn),則 PMPN的最小值為(A. 5B.715解析B.兩圓心C、

22、D恰為橢圓的焦點(diǎn),| PC | | PD | 10 , PMPN的最小值為10-1-2=75. 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)， 今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑不計(jì))，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是A. 4aB. 2(a c)C. 2(a+c)D.以上答案均有可能解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況：(1) A CA,此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a c);A B D B A,此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a+c);(3) A P B Q

23、 A此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為4a,故選D2 2X y1. 已知Ft F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) Fi的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)若259F2 A F2B 12，貝V AB =解析ABF2的周長(zhǎng)為4a 20 , AB =82. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 2 2解析：橢圓方程化為 +=1.2 2k焦點(diǎn)在y軸上，則-2,即k0,. 0k b 0)上任意一點(diǎn),P與兩焦點(diǎn)連線互相垂直,解析：4 5225由橢圓方程可得 a=5, b=3, c=4, e=_，準(zhǔn)線方程為x= 一= 一5 44答案：4 丄25 x=5 4223. 橢圓 + =1的離心率是259，準(zhǔn)線方程是

24、2 2且P到兩準(zhǔn)線距離分別為 6、12，則橢圓方程為 解析：利用橢圓的兩個(gè)定義結(jié)合勾股定理來(lái)求.2 2答案: + 二=145202 25. 點(diǎn)P在橢圓 + =1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P259的橫坐標(biāo)是.解析：利用第二定義25答案：仝126. 已知R為橢圓的左焦點(diǎn)，A B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF丄F1A, PO/ AB( 0為橢圓中心)時(shí)，求橢圓的離心率 .剖析：求橢圓的離心率，即求 -，只需求a、c的值或a、c用同一個(gè)量表示.本題沒(méi)有 a具體數(shù)值，因此只需把 a、c用同一量表示，由 PF丄FiA, PO/ AB易得b=c, a=2 b.2 2

25、解：設(shè)橢圓方程為 X2 + =1 ( ab0), Fi (- c, 0), c2=a2 b2,a2 b2則 P ( c, b. 1 c2),即 P ( c ,).V aaAB/ PQ 二 kAE=kop,即b =L . /. b=c.a acc2 =、2 b,cb2e= = _j a2b27.2如圖，把橢圓252I 1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸16的垂線交橢圓的上半部分于p , P2 , P3, F4 , P5 , R,P7 七個(gè)點(diǎn),F 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則PF解析P2FP3FP4F由橢圓的對(duì)稱性知:F5FPFP6FP7FP7FPeFP3FF5F 2a 35 .題18.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

26、程1.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直,且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為 4. 2 4,求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,b,c的式子“描述”出來(lái)解析設(shè)橢圓的方程為2x 2 a2 y_ b22嶺1(a ab 0),b c4( 21),.22b c解之得：a24.2 , b=c = 4.則所求的橢圓的方程為322y1621或162L 1.322.已知方程x2 cos y2sin 1,(0,),討論方程表示的曲線的形狀解析當(dāng)(0,)時(shí)，sin cos，方程表示焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓，當(dāng) 一時(shí)，sin cos ，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，4當(dāng)(才

27、2)時(shí)，sin cos，方程表示焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓3. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程2 2 2 2解析a c 3 a 2， b 3，所求方程為乞+工=1或+=1. a 2cc J31299124. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是 .、3，求這個(gè)橢圓方程.解：由題設(shè)條件可知a=2c, b= , 3 c,又 a c= . 3，解得 a2=12, b2=9. 所求橢圓的方2程是122+ 2_=12 2卡x y或一+ 912=1.2 2題19。已知實(shí)數(shù)x,y滿

28、足1,求x242y2 x的最大值與最小值【解題思路】把x2y2 x看作x的函數(shù)解析由1得y22丄x2 ,422題20。橢圓x216-1上的點(diǎn)到直線I:90的距離的最小值.21 2 x202x 22 x2yx1 2 x21 2x 2(X 1)22i，x 2,2x1時(shí),x2y23x取得最小值一，當(dāng)2x 2時(shí),x2y2x取得最大值6【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)解析在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè) P( 4cos ,3sin ).那么點(diǎn)P到直線I的距離為:v1.0可編輯可修改227|4cos3si n121,12 122題21。已知橢圓篤a2 . 2.(a b0)與過(guò)點(diǎn)A(2 ,0) ,

29、B(0 , 1)的直線I有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率解析直線I的方程為:.31x2求橢圓方程由已知.a2 b2aa24b22y1x2得:(b2a2 )x2a2xa2a2b20a4(4ba2)(a2a2b2)0，即a24 4b2122 y- 1122題22。已知A、B分別是橢圓篤a由得:a22,b2故橢圓2E方程為22 y b21的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P( 1,上Z)2在橢圓上，線段 PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。(2)點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC 求 Sin A Sin B 的值。 sin C(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;解析(1)v點(diǎn)M是線段PB的中點(diǎn)

30、OM是厶PAB的中位線又 OM AB PA AB1 1a2 2b22 2 2a b c解得 a22,b21,c2 1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y =1v1.0可編輯可修改(2)v點(diǎn)C在橢圓上，A B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)二 AC+ BC= 2a= 2 /2 , AB= 2c= 2在厶ABC中，由正弦定理,BC AC ABsin A sin B sin C.sin A sin B = BC AC 22污snC AB V 題23。已知長(zhǎng)方形 ABCD,AB=2.2 ,BC=1.以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖 8所示的平面直角坐標(biāo)系xoy.(I )求以A B為焦點(diǎn)，且過(guò) C D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )過(guò)點(diǎn)P(

31、0,2)的直線|交(I )中橢圓于M,N兩點(diǎn)，是否存在直線l ,使得以弦MN為直徑的 圓恰好過(guò)原點(diǎn)若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由JDl yICAOB解析(I )由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為,2,0 , . 2,0 , . 2,1圖82 2設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是篤爲(wèi) 1 a b 0 a b則 2a AC BC22.21 0 2 . 2 2 2 1 0 242.2a 2b2a2c2422.22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x1.42(n)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為y kx 2 k 0設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 x1, y1 , x2, y2 -y kx 2聯(lián)立方程：22x2 2y24

32、消去y整理得，1 2k2 x2 8kx 4024有 x-ix28k1 2k2，XlX2421 2k2若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則0MON ,所以 x-ix2 y1 y20,所以,x1x2kx12 kx22k2 x1x22 k x-ix2所以,41 k21 2k2嶋41 2k即81 2k4k； 0,得 k22,k所以直線I的方程為y 、2x2,或y.2x 2.所以存在過(guò)P(0,2)的直線I : y2使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)題24。如圖，在 Rt ABC中，/ CAB=90 , AB=2, AC。一曲線 E過(guò)點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在曲2線E上運(yùn)動(dòng)，且保持I PA+I PB的值不變，直線I經(jīng)過(guò)A與

33、曲線E交于M N兩點(diǎn)。(1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；(2) 設(shè)直線l的斜率為k，若/ MBF為鈍角，求k的取值范圍。解：(1 )以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 則A (- 1, 0), B( 1,0)由題設(shè)可得v2_2v 2 2J231 2 l|PA| |PB| |CA| |CB| y22( 2 )2-2 22 2動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為務(wù)% 1(a b 0),a b則 a 2,c 1.ba2 c2 12曲線E方程為y212(2)直線MN的方程為yk(x 1),設(shè)M (x1, y1),設(shè)M (x1, y1,), N(x2,y2)y k(x 1)2222由 22 得(1 2k2)x2 4k2x 2(k2 1