(完整版)2019年高考真題數學(江蘇卷含答案)(5),推薦文檔

1、2019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1. 本試卷共 4 頁，均為非選擇題(第 1 題第 20 題，共 20 題)。本卷滿分為 160 分，考試時間為 120 分鐘?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2. 答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3. 請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4. 作答試題，必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5. 如需作圖，須用 2b 鉛筆繪、寫

2、清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：樣本數據的方差 s2 = 1x , x , , x12nnn(x - x )2ii=1，其中x = 1 n x nii=1柱體的體積v = sh ，其中s 是柱體的底面積，h 是柱體的高s錐體的體積v = 1 sh ，其中3是錐體的底面積， h 是錐體的高一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分請把答案填寫在答題卡相應位置上1已知集合 a = -1, 0,1, 6， b = x | x 0, x r，則 a i b =.2. 已知復數(a + 2i)(1+ i) 的實部為 0，其中i 為虛數單位，則實數 a 的值是 .3. 下圖

3、是一個算法流程圖，則輸出的 s 的值是 .y =7 + 6x - x24. 函數的定義域是 .5已知一組數據 6，7，8，8，9，10，則該組數據的方差是 .x2- y2b2 = 1(b 0)6. 從 3 名男同學和 2 名女同學中任選 2 名同學參加志愿者服務，則選出的 2 名同學中至少有 1 名女同學的概率是 .7. 在平面直角坐標系 xoy 中，若雙曲線經過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 .8. 已知數列a (n n* ) 是等差數列， s 是其前 n 項和.若 a a + a = 0, s= 27 ，則nn2 589s8的值是 .9. 如圖，長方體 abcd - a1b1c1d

4、1 的體積是 120，e 為 cc1 的中點，則三棱錐 e-bcd 的體積是 .10. 在平面直角坐標系 xoy 中，p 是曲線 y = x + 4 (x 0) 上的一個動點，則點 p 到直線xx+y=0 的距離的最小值是 .11. 在平面直角坐標系 xoy 中，點 a 在曲線 y=lnx 上，且該曲線在點 a 處的切線經過點（-e，-1)(e 為自然對數的底數），則點 a 的坐標是 .12. 如圖，在abc 中，d 是 bc 的中點，e 在邊 ab 上，be=2ea，ad 與 ce 交于點 o .u ur uuuruuur u urab ac = 6 ao ecacab若，則的值是 .，則

5、sin 2d+ 的值是.4 tand= - 2tan d+ 34 13. 已知14. 設 f (x), g(x) 是定義在 r 上的兩個周期函數， f (x) 的周期為 4， g(x) 的周期為 2，g(x) = - 1 ,1 x 2 2k (x + 2), 0 0.若在區(qū)間(0，9上，關于 x 的方程f (x) = g(x) 有 8 個不同的實數根，則 k 的取值范圍是 .二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分 14 分）在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c232（1） 若 a=3c，b=，c

6、osb=，求 c 的值；sin a = cos ba2b，求sin(b + p) 的值（2） 若216（本小題滿分 14 分）如圖，在直三棱柱 abca1b1c1 中，d，e 分別為 bc，ac 的中點，ab=bc 求證：（1）a1b1平面 dec1；（2）bec1e17（本小題滿分 14 分）x2+y2=1(a b 0)a2b2如圖，在平面直角坐標系 xoy 中，橢圓 c:的焦點為 f1（1、0），f2（1，0）過 f2 作 x 軸的垂線 l，在 x 軸的上方，l 與圓 f2: (x -1)2 + y2 = 4a2 交于點 a，與橢圓 c 交于點 d.連結 af1 并延長交圓 f2 于點 b

7、，連結 bf2 交橢圓 c 于點 e， 連結 df125已知 df1=（1） 求橢圓 c 的標準方程；（2） 求點 e 的坐標18（本小題滿分 16 分）如圖，一個湖的邊界是圓心為 o 的圓，湖的一側有一條直線型公路 l，湖上有橋ab（ab 是圓 o 的直徑）規(guī)劃在公路 l 上選兩個點 p、q，并修建兩段直線型道路pb、qa規(guī)劃要求:線段 pb、qa 上的所有點到點 o 的距離均不小于圓 o 的半徑已知點 a、b 到直線 l 的距離分別為 ac 和 bd（c、d 為垂足），測得ab=10，ac=6，bd=12（單位:百米）（1） 若道路 pb 與橋 ab 垂直，求道路 pb 的長；（2） 在規(guī)

8、劃要求下，p 和 q 中能否有一個點選在 d 處？并說明理由；（3） 對規(guī)劃要求下，若道路 pb 和 qa 的長度均為 d（單位：百米）.求當 d 最小時， p、q 兩點間的距離19（本小題滿分 16 分）f (x) = (x - a)(x - b)(x - c), a, b, c r設函數、 f (x) 為 f（x）的導函數（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；274（2）若 ab，b=c，且 f（x）和 f (x) 的零點均在集合 - 3,1, 3 中，求 f（x）的極小值；（3）若 a = 0, 0 2 .【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分請

9、在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.（本小題滿分10分）設 (1+ x)n = a 0 + a1x + a2x2 +l+ a xn , n 4, n n* .已知na2 = 2a a32 4.（1）求n的值；（2）設(1+3)n = a + b 3 ，其中 a, b n* ，求 a2 - 3b2 的值.23.（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xoy中，設點集an = (0, 0),(1, 0),(2, 0),(n, 0)，bn= (0,1), (n,1), cn = (0, 2),(1, 2),(2, 2),l,(n, 2), n n*.令 mn = an

10、u bn u cn .從集合mn中任取兩個不同的點，用隨機變量x表示它們之間的距離.（1）當n=1時，求x的概率分布；2019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數學答 案一、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.8.162.23.51. 1,69.1010.45.4. -1,711. (e, 1)33512.6.7.y = 2x214. 3 , 4 12 1071013.二、解答題15. 本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力.滿分14分.解：（1）因為 a = 3c, b =2, cos b = 2

11、 ，3由余弦定理cos b =所以 c =3 .3（2）因為a2 + c2 - b22 = (3c)2 + c2 - (2)232 3c c，得2acsina=cosba2b，即 c2 = 1 .3a=bsin asin b由正弦定理，得，所以cos b = 2 sin b .cos b=sinb2bb從而cos2 b = (2 sin b)2 ，即cos2 b = 4 (1- cos2 b)，故cos2 b = 4 . 5因為sin b 0 ，所以cos b = 2 sin b 0 ，從而cos b = 2 5 .5sin b + = cos b =2 2 55因此.16. 本小題主要考查直

12、線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分 14 分.證明：（1）因為 d，e 分別為 bc，ac 的中點， 所以 edab.在直三棱柱 abc-a1b1c1 中，aba1b1， 所以 a1b1ed.又因為 ed平面 dec1，a1b1 平面 dec1，所以 a1b1平面 dec1.（2）因為 ab=bc，e 為 ac 的中點，所以 beac.因為三棱柱 abc-a1b1c1 是直棱柱，所以 cc1平面 abc.又因為 be平面 abc，所以 cc1be.因為 c1c平面 a1acc1，ac平面 a1acc1，c1cac=c， 所以 be平面 a

13、1acc1.因為 c1e平面 a1acc1，所以 bec1e.17. 本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分 14 分.解：（1）設橢圓 c 的焦距為 2c.因為 f1(1，0)，f2(1，0)，所以 f1f2=2，c=1.25df 2- f f2 = (5)2- 22= 3又因為 df =，af x 軸，所以 df =11 222 ，122因此 2a=df1+df2=4，從而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.x2 + y2 = 143因此，橢圓 c 的標準方程為.（2）解法

14、一：x2 + y2 = 143由（1）知，橢圓 c： 因為 af2x 軸，所以點，a=2，a 的橫坐標為 1.將 x=1 代入圓 f2 的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y=4.因為點 a 在 x 軸上方，所以 a(1，4).又 f1(-1，0)，所以直線 af1：y=2x+2. y = 2x + 2由(x -1)2 + y2 = 16，得5x2 + 6x -11 = 0x = - 115，解得 x = 1 或.將代入 y = 2x + 2 ，得，b(- 11 , - 12)55y = - 125x = - 115因此y = 3 (x -1)4 y = 3 (x -1).又 f2(1，0

15、)，所以直線 bf2：.4x = 137x2y2+= 1由 43又因為 e 是線段，得 7x2 - 6x -13 = 0 ，解得 x = -1 或.e(-1, - 3)2bf2 與橢圓的交點，所以 x = -1 .將 x = -1 代入y = 3 (x -1)y = - 324，得.因此.解法二：x2 + y2 = 143由（1）知，橢圓 c：.如圖，連結 ef1.因為 bf2=2a，ef1+ef2=2a，所以 ef1=eb， 從而bf1e=b.因為 f2a=f2b，所以a=b， 所以a=bf1e，從而 ef1f2a. 因為 af2x 軸，所以 ef1x 軸.x = -1 x2 + y2 =

16、1因為 f1(-1，0)，由 43，得y = 32 .y = - 32又因為 e 是線段 bf2 與橢圓的交點，所以.e(-1, - 3)2因此.18. 本小題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解：解法一：（1） 過a作 ae bd ，垂足為e.de = be = ac = 6, ae = cd = 8 .由已知條件得，四邊形acde為矩形，因為pbab，所以cos pbd = sin abe = 8 = 4 .pb =bdcos pbd= 12 =1545105所以.因此道路pb的長為15（百米）.（

17、2） 若p在d處，由（1）可得e在圓上，則線段be上的點（除b，e）到點o的距離均小于圓o的半徑，所以p選在d處不滿足規(guī)劃要求.若q在d處，連結ad，由（1）知 ad =ae2 + ed2 = 10 ，從而 cos bad = ad2 + ab2 - bd2 = 7 0 ，所以bad為銳角.2 ad ab25所以線段ad上存在點到點o的距離小于圓o的半徑. 因此，q選在d處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，p和q均不能選在d處.（3） 先討論點p的位置.當obp90時，在pp1b 中， pb p1b = 15 .由上可知，d15. 再討論點q的位置.由（2）知，要使得qa15，點q只有位于點c的右側，才

18、能符合規(guī)劃要求.當qa=15時， cq = qa2 - ac 2 = 152 - 62 = 3 21 .此時，線段qa上所有點到點o的距離均不小于圓o的半徑.綜上，當pbab，點q位于點c右側，且cq= 3 21 時，d最小，此時p，q兩點間的距離pq=pd+cd+cq=17+ 3 21 .因此，d最小時，p，q兩點間的距離為17+ 3 21 （百米）.解法二：（1） 如圖，過o作ohl，垂足為h.以o為坐標原點，直線oh為y軸，建立平面直角坐標系.因為bd=12，ac=6，所以oh=9，直線l的方程為y=9，點a，b的縱坐標分別為3，3. 因為ab為圓o的直徑，ab=10，所以圓o的方程為x

19、2+y2=25.34.從而a（4，3），b（4，3），直線ab的斜率為- 43因為pbab，所以直線pb的斜率為，y = - 4 x - 2533直線pb的方程為.所以p（13，9）， pb = (-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路pb的長為15（百米）.（2） 若p在d處，取線段bd上一點e（4，0），則eo=45，所以p選在d處不滿足規(guī)劃要求.若q在d處，連結ad，由（1）知d（4，9），又a（4，3），y = - 3 x + 6(-4 x 4)4所以線段ad：.415 15 2 在線段ad上取點m（3，），因為 om =32 + 4 32 + 42= 5 ，所

20、以線段ad上存在點到點o的距離小于圓o的半徑. 因此q選在d處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，p和q均不能選在d處.（3） 先討論點p的位置.當obp p1b = 15當obp90時，在pp1b 中，.由上可知，d15. 再討論點q的位置.由（2）知，要使得qa15，點q只有位于點c的右側，才能符合規(guī)劃要求.當qa=15時， 設q（a，9），由 aq =(a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a 4) ，得a= 4 + 3 21 ，所以q（4 + 3 21 ，9），此時，線段qa上所有點到點o的距離均不小于圓o的半徑.綜上，當p（13，9），q（ 4 + 3 21 ，9）時，d最小，此時p，

21、q兩點間的距離pq = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d最小時，p，q兩點間的距離為17 + 3 21 （百米）.19. 本小題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力滿分16分解：（1）因為 a = b = c ，所以 f (x) = (x - a)(x - b)(x - c) = (x - a)3 因為 f (4) = 8 ，所以(4 - a)3 = 8 ，解得 a = 2 f (x) = (x - a)(x - b)2 = x3 -f (x) = 3(x - b) x - 2a + b 3（2） 因為所以從

22、而b = c ，(a + 2b)x2 + b(2a + b)x - ab2 ， 令 f (x) = 0 ，得 x = b 或 x = 2a + b 3a, b, 2a +3因為b ，都在集合-3,1, 3 中，且 a b ，32a + b = 1, a = 3, b = -3所以此時 f (x) = (x - 3)(x + 3)2 ， f (x) = 3(x + 3)(x -1) 令 f (x) = 0 ，得x = -3或 x = 1 列表如下：x(-, -3)-3(-3,1)1(1, +)f (x)+00+f (x)a極大值a極小值a所以 f (x) 的極小值為f (1) = (1- 3)(

23、1+ 3)2 = -32 （3） 因為a = 0, c = 1，所以 f (x) = x(x - b)(x -1) = x3 - (b +1)x2 + bx ，f (x) = 3x2 - 2(b +1)x + b 因為 0 0 ， 則 f (x) 有2個不同的零點，設為 x1, x2 (x1 x2 )由 f (x) = 0 ，得x1 =b +1-b2 - b +13b +1+, x2 =b2 - b +13列表如下：x(-, x1 )x1(x1, x2 )x2(x2 , +)f (x)+00+f (x)a極大值a極小值af (x)所以的極大值 m = f (x1 )解法一：m = f (x)=

24、 x - (b +1)x + bx321111= (3x - 2(b +1)x + b211) xb +1 391 - -2 (b2 - b +1)x +91b(b +1)9=-2 (b2 - b +1)(b +1) 27+b(b +1)9+( b2 - b +1 )3 2 27= b(b +1) - 2(b -1)2 (b +1) + 2 ( b(b -1) +1) 3272727 b(b +1) + 2 4 272727因此m 4 27解法二：因為 0 0.qk -1 k qk因為ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當k=1時，有q1；ln k ln q ln kkk -1當k

25、=2，3，m時，有f (x) = 1- ln xx2xln x (x 1)設f（x）=，則令 f (x) = 0 ，得x=e.列表如下：x(1, e)e(e，+)f (x)+0f（x）極大值f (k )= f (3) = ln 3max3ln 2=ln 8ln 9=ln 32663因為，所以ln k ln q取 q = 3 3 ，當k=1，2，3，4，5時，q kk -1經檢驗知也成立，即 k qk ，因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5數學(附加題)參考答案

26、21. 【選做題】a選修42：矩陣與變換本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎知識，考查運算求解能力滿分10分22a = 31 解：（1）因為 ，= 3 3 +1 231+1 22 3 + 2 22 1+ 2 2115 = 106 a2 = 322 221 31 所以（2）矩陣a的特征多項式為f (d)=d-3-1-2d-2=d2-5d+4.令 f (d) = 0 ，解得a的特征值d1 = 1,d2 = 4 .b選修44：坐標系與參數方程本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力滿分10分22），p4p解：（1）設極點為o.在oab中，a（3， ），b（，32 + ( 2)2

27、- 2 3 2 cos( p - p) =524由余弦定理，得ab=.(3 2, p) 2dsin(d+p) = 3443p（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為b( 2, p)2(3 2 -2) sin(3p - p) = 242又，所以點b到直線l的距離為.c選修45：不等式選講3：1本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力滿分10分解：當x 2 ，解得x2，即x時，原不等式可化為x+2x12，解得x1.x | x 13綜上，原不等式的解集為.22. 【必做題】本小題主要考查二項式定理、組合數等基礎知識，考查分析問題能力與運算求解能力，滿分10分n01+ x)

28、 = c + c(1n解：（1）因為a = c2 = n(n -1) , a = c3 =，nn n+ c xx +ln2x + c，n 4n2n(n -1)(n - 2)2n23n6所以，a = c4 = n(n -1)(n - 2)(n - 3)4n24a2 = 2a a32 4因為， n(n -1)(n - 2)2 = 2 n(n -1) n(n -1)(n - 2)(n - 3)6224所以，解得 n = 5 (1+ 3)n = (1+ 3)5= c0 + c1 3 + c2 ( 3)2 + c3 ( 3)3 + c4 ( 3)4 + c5 ( 3)5555555（2）由（1）知，=

29、a + b 3 解法一：n = 5 a = c0 + 3c2 + 9c4 = 76, b = c1 + 3c3 + 9c5 = 44555555a, b n*因為，所以，從 而 a2 - 3b2 = 762 - 3 442 = -32 解法二：(1- 3)5 = c0 +5 c1 5(- 3) + c2 (5- 3)2 + c3 (-5 3)3 + c4 (-5 3)4 + c5 (-53)5因為 a, b n* ，所以(1-= c0 - c1 3 + c2 ( 3)2 - c3 ( 3)3 + c4 ( 3)4 - c5 ( 3)55555553)5 = a - b 3 因此 a2 - 3b

30、2 = (a + b 3)(a -b 3) = (1+3)5 (1-3)5 = (-2)5 = -32 23. 【必做題】本小題主要考查計數原理、古典概型、隨機變量及其概率分布等基礎知識， 考查邏輯思維能力和推理論證能力滿分10分xxp( x = 1) = 7 = 7 , p( x =2) = 4 =415c215c266解：（1）當 n = 1 時，的所有可能取值是1，2 ，25 的概率分布為，p( x = 2) = 2 = 2 , p( x =5) = 2 = 2c2615c2615（2）設 a(a ，b) 和 b(c ，d ) 是從 mn 中取出的兩個點x n因為 p( x n) = 1- p( x n) ，所以僅需考慮b = d若，則 ab n ，不存在 x n 的取法；的情況ab =(a - c)2 +1 n2 +1若 b = 0 ，d = 1 ，則，所以x n當且僅當ab =n2 +1或 a = n ，c，此時 a = 0 ，c = nab =(a - c)2 + 4 n2 + 4若 b = 0 ，d = 2 ，則x n(n -1)2