高中線性規(guī)劃練習(xí)(含詳細(xì)解答

1、線性規(guī)劃練習(xí)1.“截距”型考題在線性約束條件下，求形如z ax by(a,b R)的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在 y軸上的截距的取值結(jié)合圖形易知，目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得掌握此規(guī)律可以有效避免因畫(huà)圖太草而造成的視覺(jué)誤差1.【2012年高考廣東卷 理5】已知變量X, y滿足約束條件4，則z 3x y的最大值為()1(A)12(B) 11(C)(D)2. (2012年高考遼寧卷 理8)設(shè)變量x,y滿足x-y 100 x+y 20 ,則2x+3 y的最大值為0 y 15A . 20B. 35C.45D . 553.(2012年高考全國(guó)大綱卷 理13)若X, y滿足約束條件

2、0 ，貝U z 3x y的最小值3y4.【2012年高考陜西卷理14】 設(shè)函數(shù)f (x)In x,2xx1,OD是由x軸和曲線y f (x)及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，貝Uz x 2y在D上的最大值為5.【2012年高考江西卷 理8】某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50計(jì)，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2力兀0.55 萬(wàn)元韭菜6噸0.9力兀0.3萬(wàn)元為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn) =總銷售收入 總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位: 畝）分別為（）A . 50, 0B. 30,

3、 20C. 20, 30D . 0, 506. （2012年高考四川卷理9 ）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、 B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是 300元，每桶 乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是 400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中， 要求每天消耗 A、B原料都不超過(guò)12千克.通 過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（）A、1800 元B、 2400 元C、 2800 元D、 3100 元7. （2012年高考安徽卷 理11）若x,y滿足約束條件:x 2y 3 ；貝卩x y的取值范圍為2x y

4、38 . （2012年高考山東卷理5）的約束條件2x4x，則目標(biāo)函數(shù)z=3x y的取值范圍是9 .（2012年高考新課標(biāo)卷理14)32，1C.6x, y設(shè)x, y滿足約束條件:3D. 6，21 ;則z x 2y的取值范圍為3第11頁(yè)共15頁(yè)2 .“距離”型考題10.【2010年高考福建卷設(shè)不等式組 x-2y+30所表示的平面區(qū)域是1，平面區(qū)域是 2與1關(guān)于直線3x 4y 90對(duì)稱，對(duì)于1中的任意一點(diǎn)2中的任意一點(diǎn)B,| AB |的最小值等于（）28A. 一5B.412C.5D.2011.（ 2012年高考北京卷理2）設(shè)不等式組02,2，表示平面區(qū)域?yàn)?D,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原

5、點(diǎn)的距離大于2的概率是3.“斜率”型考題12.【2008年高考福建卷 理8】 若實(shí)數(shù)x、y滿足A.(0,1)B. 0,1C.(1,+13. （2012年高考江蘇卷14 ）已知正數(shù)a,b,c滿足:取值范圍是4. “平面區(qū)域的面積”型考題14.【2012年高考重慶卷 理10】設(shè)平面點(diǎn)集1 |(x,y)(y x)(y 匚),B (x,y)(x 1)15.16.17.,則-的取值范圍是x5cD. 1,(y 1)21 ,則 AIa , cln b a cln c,則-的 aB所表示的平面圖形的面積為（2007年高考江蘇卷 理10）且x 0, y 0，則平面區(qū)域（2008年高考安徽卷 理15）在平面直角坐

6、標(biāo)系xOy ,已知平面區(qū)域A (x,y)|x y 1,B (x y,x y)| (x, y)A的面積為若A為不等式組時(shí)，動(dòng)直線x y a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為（2009年高考安徽卷理7）若不等式組3y表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從一2連續(xù)變化23x,44所表示的平面區(qū)域被直線y kx -分34為面積相等的兩部分，則k的值是7(A)-33(B)74(C)-33(D)4x 0,18. （2008年高考浙江卷理17 ）若a 0,b0,且當(dāng) y 0,時(shí)，恒有ax by 1，則以a ,b為坐x y 1標(biāo)點(diǎn)P（a,b）所形成的平面區(qū)域的面積等于 5. “求約束條件中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃

7、問(wèn)題的約束條件中時(shí),作可行域，要注意應(yīng)用“過(guò)定點(diǎn)的直線系”知識(shí),使直線“初步穩(wěn)定”，再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析才能準(zhǔn)確獲得答案x y 10x 10(為常數(shù))所表示ax y 1019. （2009年高考福建卷 文9）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為D. 3xy 30（x, y）滿足約束條件x2y 30,則實(shí)數(shù)mxmA. - 5B. 1C. 220.【2012年高考福建卷 理9】若直線y2x上存在點(diǎn)的最大值為（)13A .-B. 1C.D . 222x 2y 19 0,21 . （2008年高考山東卷理12 ）設(shè)二元一次不等式組x y 80,所表示的平面區(qū)域?yàn)?/p>

8、 M，使函2x y 14 1，在約束條件 ymx下，目標(biāo)函數(shù)z-x+my 的最大值小于2 ,xy 1則m的取值范圍為A. (1,12)B. (1.2,)C. (1, 3)D - (3,)7.其它型考題3x y 6027.（2009年高考山東卷理12 ）設(shè)x, y滿足約束條件x y 20 ，若目標(biāo)函數(shù)x 0, y 0z ax by（a 0,b0）的值是最大值為12，則-的最小值為（）a bA.256B. 83C. 113D. 42x y 2028. (2010年咼考安徽卷理13 )設(shè)x, y滿足約束條件8x y 40 ,若目標(biāo)函數(shù)x 0 , y0z abx y a 0,b0 的最大值為8，則a

9、b的最小值為線性規(guī)劃問(wèn)題答案解析1.“截距”型考題在線性約束條件下，求形如zax by(a,b R)的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在 y軸上的截距的取值結(jié)合圖形易知,目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.掌握此規(guī)律可以有效避免因畫(huà)圖太草而造成的視覺(jué)誤差1、選B【解析】約束條件對(duì)應(yīng)5 3ABC內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中A(2,2), B(3,2),C(Y,)畫(huà)出可行域,2 2結(jié)合圖形和z的幾何意義易得z 3x y 8,112、選D ；【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標(biāo)函 數(shù)過(guò)點(diǎn)A 5,15時(shí)，2x+3y的最大值為55，故選D.廠1廣3、答案：1【解析】禾U用不等式組，作

10、出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(3,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)最小為 1. 1 4、答案2;【解析】當(dāng)x 0時(shí)，f x , f 11 ,x曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線為yx 1,則根據(jù)題意可畫(huà)出可行域D如右圖:目標(biāo)函數(shù)y當(dāng) x 0, y1時(shí)，z取得最大值25、選B;【解析】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實(shí)踐能力.設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x、y畝，總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為x y 50,1.2x 0.9 y 54, z (0.55 4x 1.2x) (0.3 6y 0.9y) x 0.9y.線性約束條件為x 0

11、,y 0.x y 50,4x 3y 180,即作出不等式組表示的可行域 ，x 0,y 0.易求得點(diǎn) A 0,50 , B 30,20 , C 0,45 .平移直線z可知當(dāng)直線z x 0.9y，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 30,20，即x 30, y 20時(shí)z取得最大值，且Zmax 48 （萬(wàn)元） 點(diǎn)評(píng)：解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為:（1）審題一一仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條件，目標(biāo)函數(shù)是什么?轉(zhuǎn)化設(shè)元.寫(xiě)出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；求解一一關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系;6、答案C【解析】 設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品桶，公司共可獲得利潤(rùn)為 Z元/天，則由已知，得X 2Y122X Y且X

12、012，畫(huà)可行域如圖所示,X桶，乙種產(chǎn)品Z=300X+400Y目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為丫=400這是隨Z變化的一族平行直線，解方程組2xy 122y 12，即 a (4,4 )作答就應(yīng)用題提出的問(wèn)題作出回答.Zmax 1200160028007、答案3,0；【解析】約束條件對(duì)應(yīng)ABC內(nèi)的區(qū)域（含邊界）其中 A(0,3), B(0,-),C(1,1)，畫(huà)出可2行域，結(jié)合圖形和t的幾何意義易得x y 3,08、選A ;【解析】 作出可行域和直線13x y 0,將直線I平移至點(diǎn)（2,0）處有最大值，點(diǎn)（一，3）處2)9=03有最小值，即z 6. 應(yīng)選A.29、答案3,3；解析】約束條件

13、對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲ABC內(nèi)及邊界，其中0(0,0), A(0,1), B(1,2),C(3,0)則 z x 2y 3,32 .“距離”型考題10、選B ；【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖 形間最小距離的求解、基本公式(點(diǎn)到直線的距離公式等)的應(yīng)用， 考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力?！窘馕觥坑深}意知，所求的|AB|的最小值，即為區(qū)域i中的點(diǎn)到直 線3x 4y 90的距離的最小值的兩倍， 畫(huà)出已知不等式表示的平 面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn)(1，1)到直線3x 4y 9 0的距離最小，故|AB|的最小值為|3 14 1 9|24，所以選Bo5評(píng)注：在線性約束條件下，求分別在關(guān)于一直線對(duì)稱的兩個(gè)

14、區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化 為求其中一點(diǎn)(x, y)到對(duì)稱軸的距離的的最值問(wèn)題。結(jié)合圖形易知，可行域的頂點(diǎn)及可行域邊界線上的點(diǎn)是求距離最值的關(guān)鍵點(diǎn)11、選D ；【解析】題目中0 X 2表示的區(qū)域?yàn)檎叫危鐖D所示，而動(dòng)點(diǎn)0 y 2以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分,2 2 1222 2 424因此P4，故選D.2 243. “斜率”型考題12、選C;【解析】如圖，陰影部分為不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，/表示平y(tǒng)Ox第13頁(yè)共15頁(yè)x面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x, y)與原點(diǎn)0(0,0)之間連線的斜率，由圖易知，-1, ，選C.x評(píng)注：在線性約束條件下，對(duì)于形如z 山(a,b R)的目

15、標(biāo)函數(shù)的取值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(x, y)、x a(a,b)之間連線斜率的取值.結(jié)合圖形易知，可行域的頂點(diǎn)是求解斜率取值問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).在本題中，要合理運(yùn)用極限思想，判定 -的最小值無(wú)限趨近于 1.x13、答案e 7 ；【解析】條件5cclnba clnc 可化為:a b 5 c cb 4caec3x設(shè)彳丸y=b，則題目轉(zhuǎn)化為:cc已知x, y滿足yyxey x 0,y 0作出(x, y)所在平面區(qū)域(如圖)，求出y=ex的切線的斜率e，設(shè)過(guò)切點(diǎn)PXo, yo 的切線為 y=ex m m 0 ,，求-的取值范圍.x則=ex=e xoxo，要使它最小，須 m=0 .xoXo,yo處，為e.此時(shí)，

16、點(diǎn)P Xo, yo/fTBA、y=ex上A,B之間.(x, y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí),= 5 - 3嗔y=4 x5y=20y=5 3x4y=205xyy=7x =7 ,12xx的最大值在C處，最大值為7.的取值范圍為x即-的取值范圍是 e, 7a4. “平面區(qū)域的面積”型考題14、選D ;【解析】由對(duì)稱性：y x, y-,(xx1)2 (y 1)21圍成的面積與圖7第17頁(yè)共15頁(yè)1 2 2x,y -,(x 1) (y 1)1圍成的面積相等，得：AI B所表示的平面圖形的面積為x2 2 1 2x,( x 1) (y 1)1圍成的面積既R2 21115、選 B；【解析】令 a x y,b x y，則 x

17、(a b), y (a b),22代入集合A，易得a b 0,a b 0,a1，其所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部1分，則平面區(qū)域的面積為X2 X1 = 1 ,.選B.2評(píng)注：本題涉及雙重約束條件，解題的關(guān)鍵是采用換元的思想去尋求平byA其中：l : x y a,h:x y22:x y 1 .h與l2之乂2當(dāng)a從一2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線l掃過(guò)的平面區(qū)域即為b/T-2O1間的平面區(qū)域，則動(dòng)直線l掃過(guò)A中的那部分平面區(qū)域的面積即為四邊l形BOCD的面積，由圖易知，其面積為：SSvABOSvADC7-2、丨4l 1x2圖616、答案4 ；【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域評(píng)注：本題所求平面區(qū)

18、域即為題設(shè)平面區(qū)域A與動(dòng)直線x y a在a從一2連續(xù)變化到1時(shí)掃過(guò)的平面區(qū)域之間的公共區(qū)域，理解題意，準(zhǔn)確畫(huà)圖是解題的關(guān)鍵17、選A;【解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分X 3y 4 得 A （1，1 ），又 B （ 0，4 ），C （ 0，-）3x y 43S144y kx 與 3x yZABC=-（4-）1 -，設(shè)4的交點(diǎn)為233則由1215SBCD-SABC知Xd- yD23225147，選A.k,k2233x+y=118、答案1 ；【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，要使得恒有ax by 1成立，只須平面區(qū)域頂點(diǎn)代O, B的坐標(biāo)都滿足不等式ax by1，易得0 a

19、1,0 b 1,所以P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于面區(qū)域B所對(duì)應(yīng)的約束條件，從而準(zhǔn)確畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域評(píng)注：本題是線性規(guī)劃背景下的不等式恒成立問(wèn)題，只須考慮可行域的頂點(diǎn)即可作為該試卷客觀題的最后一題，熟悉的題面有效避免了學(xué)生恐懼心理的產(chǎn)生，但這并不等于降低了對(duì)數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法的考查，真可謂簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單5. “求約束條件中的參數(shù)”型考題ax的形式，則此直線必19、選D ;【解析】 作出不等式組 x 1 0所圍成的平面區(qū)域.如圖所示,ax y 10意可知，公共區(qū)域的面積為 2 ; /.|AC|=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1 ,4)代入ax y 得a=3，故選D.點(diǎn)評(píng)：該題在作可行域時(shí)，若能抓

20、住直線方程ax y 1 0中含有參數(shù)特征，迅速與“直線系”產(chǎn)生聯(lián)系，就會(huì)明確ax y 1 0可變形為y 1過(guò)定點(diǎn)(0 , 1)；此時(shí)可行域的“大致”情況就可以限定，再借助于題中的其它條件，就可輕松獲解4 20、選B;分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為含參的線性規(guī)劃，需要畫(huà)出可行域的圖形，含參的直線要能畫(huà)出大致圖像.解答：可行域如圖：所x y 30以，若直線y 2x上存在點(diǎn)(x, y)滿足約束條件 x 2y 30 ,x m3 m 2m，即 m 1。評(píng)注：題設(shè)不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域隨參數(shù)m的變化而變化，先局部后整體是突破的關(guān)鍵圖1221、選C；【解析】區(qū)域 M是三條直線相交構(gòu)成的三角形(如圖) ，其中 A(

21、1,9), B(3,8), C(2,10)，使函數(shù) y ax(a 0, a 1)的圖象過(guò)區(qū)域M，由圖易知a 1，只須區(qū)域M的頂點(diǎn)代B不位于函數(shù)y ax圖象的同側(cè)，即不等式(a 9) (a3 8) 0 (a 0, az1）恒成立，即2 a 9.評(píng)注：首先要準(zhǔn)確畫(huà)出圖形； 其次要能結(jié)合圖形對(duì)題意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；最后要能正確使用 “同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”的規(guī)律.22、選A ;【解析】這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問(wèn)題，作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y ax的圖象,能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界點(diǎn)（2，9）時(shí)，a可以取到最大值 3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)4423、答案0, ；【解析】 如圖10 ,直線I : y mx, li : y x，33由題意，要使得不等式組表示的區(qū)域包含在圓的內(nèi)部，則直線I應(yīng)位于4直線h與x軸之間（包括直線h及x軸），即一 m 0,所以m的34取值范圍是0,.3評(píng)注：由集合之間的包含關(guān)系到對(duì)應(yīng)平面區(qū)域之間的包含關(guān)系是解li、x軸是解決本題第二決本題的第一突破口；另外，在直線I的旋轉(zhuǎn)變化中，確定關(guān)鍵的兩個(gè)特殊位置突破口，這對(duì)考生的想象能力、數(shù)形結(jié)合能力都提出了非常高的要求3 06. “求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題25、選B;【解析】如圖，陰影部分 ABC為題設(shè)約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域