不等式地性質(zhì)與一元二次不等式

1、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 1、兩個實數(shù)比較大小的方法 a?b ?a 1 b? b ab0?a ?a?b 0ab?a b a1? (a作商法R，b0) ；(1)作差法 (a，bR)(2) b?b?a ab0a?b1?a b 不等式的基本性質(zhì)、2性質(zhì) 性質(zhì)容 特別提醒 對稱性 b?b? 傳遞性 c?ac ab，b? 可加性bc ba?ac? 可乘性 bc?ac!錯誤注意c的符號 ?acbd !錯誤? 同向同正可乘性 ?acbd !錯誤? 可乘方性 nn(nbNb0?a) a 可開方性 nn) Nnab0?ab(a，b同為正數(shù) 3、不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì)： 1111ab111ab

2、，ab0?；a0b?b0,0c.；0axb或axb0?b0，m0，則， bmbmamamabab(bm0)；0) bbaambmmamba 4、“三個二次”的關(guān)系 24ac 判別式b 00 0)的圖像 2a0)bxcax0(的根 有兩相異實根) x0)0(acaxbx 的解集x|xx 21b x|xa2x|xR 20)0(axbxca 的解集 |xx0()()0型不等式的解法 不等式 解集b a b a ax或bx或a0 bx()ax( ?b)0 (xa)(x ax x|bx|axb 口訣：大于取兩邊，小于取中間 選擇題：) ，則下列不等式中不成立的是( 設(shè)ab C|a|b D.abA. ab

3、aba1111成立，即不成立 有解析 由題設(shè)得aab0， aabbaa ln3ln4ln5若a，b，c，則( ) 534Aabc Bcba Ccab Dba1，bc，即cc都是正數(shù)，b64b；a 易知解析 a，b， 62581a4ln3c4ln5 若a，bR，若a|b|0，則下列不等式中正確的是( ) 33220 a0 解析 由a|b|0知，a|b|， 當(dāng)b0時，ab0成立， 當(dāng)b0時，ab0成立，abb成立的充分而不必要的條件是( ) 2233 baD baC 1 baB 1 baA成立的充分而不必要abb不能得出ab1，使解析 由ab1，得ab1b，即ab，而由a1. b的條件是a b11

4、a1) ( ，N，則已知0aN BM0，MN，1a0,1b0,10 0b Daccab Ccba Acba B2)(a22. b0，4解析 cb4aac 2a，ba1，又bc64a3a2b222231(a1a22. ab，c)0，babaa 42 ) 2，則A，Ba1的大小關(guān)系是a，B(a2a設(shè)a2，A DABB CA AAB BAB A，顯然a412aa，B2a2a222222 A解析 B ) 的大小關(guān)系是( a1，則M與N，已知a，a(0,1)，記MaaNa211122 D不確定 MN M NAMN C aaaa(aaa1)aaaNM解析 (aa1a1)(1)(1)(，1)21221212

5、12121又a(0,1)，a(0,1)，a10，a10，即MN0，MN. 211122 x122x1)，則m，)(xn的大小關(guān)系為( (x1)(x) 1)，n(xR已知x，m 22Amn Bmn Cmn Dm0. m 22222則有xR時，mn恒成立 已知a，b，c滿足cba，且ac0，那么下列選項中一定成立的是( ) 22 cb 0 b ac Bc(a)Aab解析 由cba且ac0知c0，由bc得abac一定成立 cccc；log(ac)log(bc) b1，c，給出下列三個結(jié)論：；ab abba其中所有的正確結(jié)論的序號是( ) A B C D 11， 1知由不等式性質(zhì)及解析 a bacc又

6、c ba構(gòu)造函數(shù)yx，cb1，a，知正確； ccbb1，cbc1，log(ac)log(ac)log(bc)，知正確 aab 20”是“ab”的(b)a ) 設(shè)a，bR，則“(aA充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 20?a0且ab，充分性成立；解析 由(ab)a 由ab?ab0，當(dāng)0ab時?/(ab)a20，必要性不成立 設(shè)(0，)，0，則2的取值圍是( ) 32255A(0，) B(，) C(0，) D(，) 6666，. ，20解析 由題設(shè)得02，0 363366 2x0，集合若集合AA(1,3) B(，1) C(1,1) D(3,1) 解析 依題意

7、，可求得A(1,3)，B(，1)，AB(1,1) 2x20，Qx|log(x1)1，則(?P)Q等于(x已知集合Px| ) R2A2,3 B(，13，) C(2,3 D(，1(3，) 解析 依題意，得Px|1x2，Qx|1x3，則(?P)Q(2,3 R 11?22，?bxa0的解集是( ，則不等式x ) 已知不等式ax的解集是bx10 32?1111?，? ，) C. D. ，A(2,3) B(2)(3 2323?1b1111?，0的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得，是方程axbx12?由題意知 解析 322a23?11?，解得a6，b5，不等式xbxa0即為x5x60，解集為(2,3) 22? 3

8、a? 32kx0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值圍為( 若一元二次不等式2kx ) 8A(3,0 B3,0) C3,0 D(3,0) 3kx20kx對一切實數(shù)x都成立， 解析 2 8 ?，02k?解之得3k則必有0. 3?k422k，0，則a的取值圍是R，ax( ) 設(shè)a為常數(shù)，任意xA(0,4) B0,4) C(0，) D(，4) ?，0a?0，則必有2?ax，R任意x解析 f(1)(設(shè)函數(shù)fx)的解集是，0，xx6?) (2， B(3,1)，3,1)(3) A(1,3) D(，3) (3，) (C1,1) ?，3. 1或x或解得334x2?，63xx? ，xx2， 0?2?) x 的解集為(

9、)已知函數(shù)f(x則不等式f(x)，x02，x? 1,2 C2,1 D A1,1 B2,2 x)(的圖像，如圖，由圖知fx1,1的解集為22xf作出函數(shù) 解析y和函數(shù))x(y 2?) 10 ，則實數(shù)a的取值圍是(若集合Ax|axax4 a Da|0 Ca|0a4 |0Aaa4 Ba|0a0?4 4，0a得0a?時，由0由題意知a0時，滿足條件，a解析 ，4a02?a? 222的解集是b0axA，不等式xx60的解集是B，不等式x已知不等式xx230的解集為) b等于(AB，那么a3 D B1 C1 A3 2，1ABx|x由題意，得Ax|1x3，Bx|3x2，解析 2b0的解集為x|10，且aaa

10、1. a解析 由題意可知. 1)log1)，即PQa(a1)a11，log1)2222333a(a(a1)0，a(aaa 222222_ z的大小關(guān)系是，則x，zyc?，c0xaa?bc?b，yb?ca?，設(shè)ab26，故zzyx1，則x18，y. 20，解析 令a3，b2，c 2bx，若1f(1)2，2f(1)4，則f設(shè)f(x)ax(2)的取值圍是_ 1? ，?f?a1f?1?，b1?af? 2?得?f(2)4a2b解析 由3f(1)f(1) 1?，baf?1?.?1f?fb?1? 2又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10. 2x的解集為x|1xm(xxm的值

11、為_ 若關(guān)于x的不等式x的解集為x|1x(xm解析 因為 2210有一正根和一負(fù)根，則axaa的取值圍為若關(guān)于x的方程x_ 10，故1a0且21 2(k4)x42k的值恒大于零，則x)，函數(shù)對任意的k1,1f(xx的取值圍是_ (k4)x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x ，4)0x422x 解析 ，605x?2x?3. 或x，即解之得x0且g(1)0在k?，203x2?x? 2_ m的取值圍是x)0成立，則實數(shù)，m1，都有f(f(x)xmx1，若對于任意xm已知函數(shù) )0，f(xm，m1，都有)解析 作出二次函數(shù)f(x的草圖，對于任意x ，10m?22m，m?0f?2解得則有即?0.

12、m2，10m1?m?2?11?0恒成立，則實數(shù)a的取值圍是_ x2xa2x2xa0恒成立 2x0恒成立，即x解析 x1，)時，f() x即當(dāng)x1時，a(x2x)g(x)恒成立 2而g(x)(x2x)(x1)1在1，)上單調(diào)遞減， 22g(x)g(1)3，故a3，實數(shù)a的取值圍是a|a3 max 1若0a0的解集是_ a111，ax. ，由0a1得a解析 原不等式即(xa)(x)0 aaa ax11?x|x，則實數(shù)a已知關(guān)于x的不等式0的解集是_. ? 21x?ax111.a2. 1)0，依題意，得a0，且解析 1，f(2)，則實數(shù)a的取值圍是_ 1a解析 f(x3)f(x)，f(2)f(13)

13、f(1)f(1)1. 2a33a220?(3a2)(a1)0，1a. ?1 31aa12ax20在區(qū)間x1,5上有解，則實數(shù)a的取值圍是_ 若不等式ax2，由題知：a80，所以方程xax20恒有一正一負(fù)兩根， 222xx)f解析 設(shè)(23?，. a上有解的充要條件是f(5)0，即2于是不等式xax0在區(qū)間1,52? 5? 14?2，?bxaaxaxb的解集為0的解集為_ ，則關(guān)于x的不等式的不等式若關(guān)于x 55?1b14?，可知a0，且，將不等式axbx2?a的解集為0兩邊同除以b 解析由已知ax 55a5?4b41444?1，bxx1，故不等式ax，0，即x0解得222?. x的解集為a0x

14、，a得x 555a555? 22_ 的取值圍為恒成立，則實數(shù)Rb，a對于任意的)ba(bb8a不等式8b8bb(ab)0對于任意的a，2222a恒成立，bR所以(ab解析 因為a)對于任意的a，bba(8)b22a0恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得， bR恒成立，即4(8)bb432)0，(8)(4)0，解得84. 22222b( 解答題： 2mx1.若對于x1,3，f(x)mx)0 24?6m60，x1)又m(x2. 1x2x66666?在1,3上的最小值為，只需m即可，m的取值圍是m|m. 函數(shù)y? 717731x?2?x2x? 24? 2bxc，函數(shù)F(x)f(x)axx的兩個零點為m，n

15、(m0的解集； 1(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0. 當(dāng)a0時，不等式F(x)0的解集為x|x2； 當(dāng)a0的解集為x|1x2 (2)f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)， 1. m)x(f，即0axan0,1mx，a00x0，則下列不等式中一定成立的是( 若ab1abb2111a1b D. aAb B. Cab bbaaabb1a2a1x，是(0)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)x()x12 解析取a，b，排除B與D；另外，函數(shù)f x1111a(a)fb)必定成立，即b，上遞減，在1)上遞增，當(dāng)a0時，f(在(0,1b?ab babx1A. )未必成立

16、，故選a，但g()g(b a ) 等于 ( b0設(shè)a，不等式cb的解集是x2x，則ac1 32D 3 12B 3 21A C312 bcbc. a，又b0， aa ?cb a?，2b? 2a? 1，不等式的解集為x|2x3bc?，ca?，1 2 aaa33. 21aabc 22 已知a，b，c滿足cba且ac0，則下列選項中不一定成立的是( ) 22cbaaabcbA.0 C. D.0，0，cba且ac0，c0解析 aacac22ba但b與a的關(guān)系不確定，故不一定成立 223x0(e是自然對數(shù)的0)，若不等式f(x)0的解集為f(e，則已知函數(shù)f(x)axbxc(a? 2?底數(shù))的解集是( )

17、 Ax|xln 3 Bx|ln 2xln 3 Cx|xln 3 Dx|ln 2xln 3 111?xxxxxxee?a)f(e(eaax解析 法一 依題意可得f()a3)(0)f(x3)(a0)，則(e，由) 222?1xx3，解得ln 2x，可得e0 2 已知函數(shù)f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，則不等式f(2x)0的解集是( ) 3131A(，)(，) B(，) 22221313C(，)(，) D(，) 2222解析 f(x)0的兩個解是x1，x ，0a且32131由f(2x)3或2x1，x. 22 220)的解集為(x，x)，且xx15x的不等式xa2a

18、x8，則a等于( ) 若關(guān)于1212571515A. B. C. D. 22242ax8a220，得(x2解析 由xa)(x4a)0，不等式的解集為(2a,4a)，即x4a，x2a，由xx15， 11225得4a(2a)15，解得a. 2 22b1(aR，bR)，對任意實數(shù)x都有f(1xx)xaxb)f(1x)成立，當(dāng)x已知函數(shù)f(1,1時，f(x)0恒成立，則b的取值圍是( ) A1b2 Cb2 D不能確定 解析 由f(1x)f(1x)知f(x)圖像的對稱軸為直線x1， a則有1，故a2，由f(x)的圖像可知f(x)在1,1上為增函數(shù) 2b1bb2， 22b1)12(時，x1,1f(x)fmin令bb20，解得b2. 2 3x22的取值圍mm)恒成立，則實數(shù)1)4f()4m)f(xf(xf，對任意f設(shè)函數(shù)(x)x1x)， m2是_ 23x14m1)(x1)14(m1)在x，)上恒成立， 22