(完整版)一元二次方程題型分類的總結(jié),推薦文檔

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔知識(shí)梳理一元二次方程題型分類總結(jié)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)： 、一元二次方程 、 、 *考點(diǎn)類型一概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，這樣的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表達(dá)式：ax 2 + bx + c = 0(a 0)難點(diǎn)：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例 1、下列方程中是關(guān)于 x 的一元二次方程的是（）a3(x + 1)2 = 2(x + 1)b 1 + 1 - 2 = 0x 2xcax 2 + bx + c = 0dx

2、2 + 2x = x 2 + 1變式：當(dāng) k時(shí)，關(guān)于 x 的方程kx 2 + 2x = x 2 + 3 是一元二次方程。例 2、方程(m + 2)x m。+ 3mx + 1 = 0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的值為 針對(duì)練習(xí)：1、方程8x 2 = 7 的一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是。2、若方程(m - 2)x m -1 = 0 是關(guān)于 x 的一元一次方程，求 m 的值；寫出關(guān)于 x 的一元一次方程。m3、若方程(m - 1)x 2 + x = 1 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，則下列不可能的是（）a.m=n=2b.m

3、=3,n=1c.n=2,m=1d.m=n=1考點(diǎn)類型二方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例 1、已知2 y 2 + y - 3 的值為 2，則4 y 2 + 2 y + 1 的值為。例 2、關(guān)于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 + x + a 2 - 4 = 0 的一個(gè)根為 0，則 a 的值為。例 3、已知關(guān)于 x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0)的系數(shù)滿足a + c = b ， 則此方程必有一根為。例 4、已知a, b 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的兩個(gè)根， b, c 是方程 y2

4、- 8 y + 5m = 0 的兩個(gè)根，針對(duì)練習(xí)：則 m 的值為。1、已知方程 x 2 + kx - 10 = 0 的一根是 2，則 k 為，另一根是。x +12、已知關(guān)于 x 的方程 x 2 + kx - 2 = 0 的一個(gè)解與方程求 k 的值； 方程的另一個(gè)解。x -1= 3 的解相同。3、已知 m 是方程 x 2 - x - 1 = 0 的一個(gè)根，則代數(shù)式 m2 - m =。4、已知 a 是 x 2 - 3x + 1 = 0 的根，則 2a 2 - 6a =。5、方程(a - b)x 2 + (b - c)x + c - a = 0 的一個(gè)根為（）a- 1b1cb - cd- a6、若

5、2x + 5 y - 3 = 0, 、 4 x 32 y =。考點(diǎn)類型三解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：降次類型一、直接開方法：x 2 = m(m 0), x = m對(duì)于(x + a)2 = m ， (ax + m)2 = (bx + n)2 等形式均適用直接開方法典型例題：例 1、解方程： (1)2x 2 - 8 = 0;(2)25 - 16x 2 =0;(3)(1 - x)2 - 9 = 0;例 2、若9(x - 1)2 = 16(x + 2)2 ，則 x 的值為 。針對(duì)練習(xí)：下列方程無(wú)解的是（）a. x 2 + 3 = 2x 2 - 1b. (x - 2)2 =0

6、c. 2x + 3 = 1 - xd. x 2 + 9 = 0類型二、因式分解法:(x - x1 )(x - x2 )= 0 x = x1 , 或x = x2方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如(ax + m)2 = (bx + n)2 ， (x + a)(x + b)= (x + a)(x + c) ，x 2 + 2ax + a 2 = 0典型例題：例 1、2x(x - 3)= 5(x - 3)的根為（）a x = 5b x = 3c x21= 5 , x = 322d x = 25例 2、若(4x + y)2 + 3(4x + y)- 4 = 0 ，則 4x

7、+y 的值為 。變式 1： (a 2 + b 2 )2 - (a 2 + b 2 )- 6 = 0, 、a 2 + b 2 = 。變式 2：若(x + y)(2 - x - y)+ 3 = 0 ，則 x+y 的值為。變式 3：若 x 2 + xy + y = 14 ， y 2 + xy + x = 28 ，則 x+y 的值為。例 3、方程 x 2 + x - 6 = 0 的解為（）a. x1 = -3、x 2 = 2b. x1 = 3、x 2 = -2c. x1 = 3、x 2 = -3d. x1 = 2、x 2 = -23例 4、解方程： x 2 + 2( 3 + 1)x + 2+ 4 =

8、0例 5、已知2x 2 - 3xy - 2 y 2 = 0 ,則 x + y 的值為。x - y變式：已知2x 2 - 3xy - 2 y 2 = 0 ,且 x 0, y 0 ,則 x + y 的值為。x - y針對(duì)練習(xí)：1、下列說(shuō)法中：方程 x2 + px + q = 0 的二根為 x ， x ，則 x2 + px + q = (x - x )(x - x )1212 - x2 + 6x - 8 = (x - 2)(x - 4) . a2 - 5ab + 6b2 = (a - 2)(a - 3)7xx x 2 - y 2 = (x + y)(+y )(-y )方程(3x +1)2 - 7 =

9、 0 可變形為(3x +1+正確的有（）7)(3x +1-) = 0a.1 個(gè)b.2 個(gè)c.3 個(gè)d.4 個(gè)772、以1+與1-為根的一元二次方程是（）a x2 - 2x - 6 = 0b x2 - 2x + 6 = 0c y2 + 2 y - 6 = 0d y2 + 2 y + 6 = 03、寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為 1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為 1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實(shí)數(shù) x、y 滿足(x + y - 3)(x + y)+ 2 = 0 ，則 x+y 的值為（）a、-1 或-2b、-1 或 2c、1 或-2d、1 或 25、方程： x

10、2 + 1x2= 2 的解是。6、已知 6x2 - xy -6 y2 = 0 ，且 x 0 ， y 0 ，求 2x - 6 y 的值。3x - y7、方程(1999x)2 - 1998 2000x - 1 = 0 的較大根為 r，方程2007x 2 - 2008x + 1 = 0 的較小根為 s，則 s-r 的值為。類型三、配方法2()b 2b 2 - 4acax + bx + c = 0 a 0 x + 2a =4a 2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問(wèn)題。典型例題：例 1、 試用配方法說(shuō)明 x 2 - 2x + 3 的值恒大于 0。例 2、 已知 x、y

11、 為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式 x 2 + y 2 + 2x - 4 y + 7 的最小值。例 3、 已知 x 2 + y 2 + 4x - 6 y + 13 = 0、x、y 為實(shí)數(shù)，求 x y 的值。例 4、 分解因式： 4x2 +12x + 3針對(duì)練習(xí)：1、試用配方法說(shuō)明- 10x 2 + 7x - 4 的值恒小于 0。2、已知 x 2 + 1 - x - 1 - 4 = 0 ，則 x + 1 =.x 2x- 3x 2 + 12x - 93、若t = 2 -。c -14、如果a + b +。x，則 t 的最大值為，最小值為b +1a - 2- 1 = 4+ 2- 4 ,那么a + 2b - 3c 的值

12、為 類型四、公式法條件：(a 0,且b 2 - 4ac 0- b b 2 - 4ac公式：x =, (a 0,且b 22a- 4ac 0典型例題：例 1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 3(1 + x)2 = 6.(x + 3)(x + 6)= -8. x 2 - 4x + 1 = 0 3x 2 - 4x - 1 = 0 3(x - 1)(3x + 1)= (x - 1)(2x + 5)例 2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1） x2 - 2 2x - 3；（2） - 4x2 + 8x - 1. 2x2 - 4xy - 5 y2說(shuō)明：對(duì)于二次三項(xiàng)式ax 2 + bx + c 的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)

13、不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax 2 + bx + c =0，求出兩根，再寫成ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ) .分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號(hào)內(nèi)，取決于能否把括號(hào)內(nèi)的分母化去.類型五、 “降次思想”的應(yīng)用典型例題：求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。(x - 1)3 - x 2 + 1例 1、 已知 x 2 - 3x + 2 = 0 ，求代數(shù)式的值。x - 1例 2、如果 x 2 + x - 1 = 0 ，那么代數(shù)式 x3 + 2x 2 -7 的值。a2a5a1例 3、-+ =3 -2 -+已知a 是一元二次方程 x 23x10 的一根，

14、求的值。a 2 +1例 4、用兩種不同的方法解方程組2x - y = 6,x2 - 5xy + 6 y2 = 0.(1)(2)說(shuō)明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想化歸思想，即把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問(wèn)題.考點(diǎn)類型四 根的判別式 b2-4ac根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例 1、若關(guān)于 x 的方程 x 2 + 2圍是。k x - 1 = 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范例 2、關(guān)于 x 的方程(m - 1)x2 + 2mx + m = 0 有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是()a.

15、 m 0、m 1b. m 0c. m 1d. m 1例 3、已知關(guān)于 x 的方程 x 2 - (k + 2)x + 2k = 0(1) 求證：無(wú)論 k 取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2) 若等腰d abc 的一邊長(zhǎng)為 1，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求d abc 的周長(zhǎng)。例 4、已知二次三項(xiàng)式9x2 - (m + 6)x + m - 2 是一個(gè)完全平方式，試求m 的值.x2 + 2 y2 = 6,例 5、m 為何值時(shí)，方程組mx + y = 3.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解？針對(duì)練習(xí)：1、當(dāng) k時(shí)，關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 x 2 + kx + 9 是完全平方式。2、當(dāng)k 取何值時(shí)，多項(xiàng)

16、式3x2 - 4x + 2k 是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么？3、已知方程mx 2 - mx + 2 = 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m 的值是. y = kx + 2,4、k 為何值時(shí)，方程組 y2 - 4x - 2 y +1 = 0.（1） 有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解；（2） 有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；（3） 沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 5、當(dāng)k 取何值時(shí)，方程 x2 - 4mx + 4x + 3m2 - 2m + 4k = 0 的根與m 均為有理數(shù)？考點(diǎn)類型五方程類問(wèn)題中的“分類討論”典型例題：例 1、關(guān)于 x 的方程(m + 1)x 2 + 2mx - 3 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m 為,只

17、有一個(gè)根，則 m 為。例 2、 不解方程，判斷關(guān)于 x 的方程 x 2 - 2(x - k )+ k 2 = -3 根的情況。例 3、如果關(guān)于 x 的方程 x 2 + kx + 2 = 0 及方程 x 2 - x - 2k = 0 均有實(shí)數(shù)根，問(wèn)這兩方程是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這相同的根及 k 的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。考點(diǎn)類型六應(yīng)用解答題“碰面”問(wèn)題；“復(fù)利率”問(wèn)題；“幾何”問(wèn)題；典型例題：“最值”型問(wèn)題；“圖表”類問(wèn)題1、五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯 990 次，問(wèn)晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了 90 張，那么這個(gè)小組共多少人？3、北京

18、申奧成功，促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放1市場(chǎng)，根據(jù)計(jì)劃，第一年投入資金 600 萬(wàn)元，第二年比第一年減少，第三年比第二年減31少 ，該產(chǎn)品第一年收入資金約 400 萬(wàn)元，公司計(jì)劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收21回，還要盈利，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的年平均增長(zhǎng)率約為多少？（結(jié)果精確到3130.1， 3.61 ）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40 元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克 50 元銷售， 一個(gè)月能售出 500 千克，銷售單價(jià)每漲 1 元，月銷售量就減少 10 千克，針對(duì)此回答：（1） 當(dāng)銷售價(jià)定為每千克 55 元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)

19、。（2） 商店想在月銷售成本不超過(guò) 10000 元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到 8000 元， 銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？5、將一條長(zhǎng) 20cm 的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)作成一個(gè)正方形。（1） 要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于 17cm2，那么這兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為多少？（2） 兩個(gè)正方形的面積之和可能等于 12cm2 嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3） 兩個(gè)正方形的面積之和最小為多少？6、a、b 兩地間的路程為 36 千米.甲從 a 地，乙從 b 地同時(shí)出發(fā)相向而行，兩人相遇后， 甲再走 2 小時(shí) 30 分到達(dá) b 地，乙再走 1 小時(shí) 36 分到達(dá) a 地，

20、求兩人的速度.考點(diǎn)類型七根與系數(shù)的關(guān)系前提：對(duì)于ax 2 + bx + c = 0 而言，當(dāng)滿足 a 0 、 d 0 時(shí)，才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：x + x = - b , x x = c12a1 2a應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例 1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰是方程2x 2 - 8x + 7 = 0 的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是（ ）36a. b.3c.6d.例 2、已知關(guān)于 x 的方程k 2 x 2 + (2k - 1)x + 1 = 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x , x ，12（1） 求 k 的取值范圍；（2） 是否存在實(shí)數(shù) k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出

21、k 的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例 3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為 1）時(shí)， 小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而得到解為 8 和 2，小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9 和-1。你知道原來(lái)的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例 4、已知a b ， a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，求 a + b = 變式：若a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，則 a + b 的值為。ba例5、已知a,a是方程x2 - x -1 = 0的兩個(gè)根，那么a4 + 3a=.針對(duì)練習(xí)：x + y = 3,1、解方程組x2 + y2 = 5(1)(2)ba2已知a2 - 7a = -4 ， b2 - 7b = -4 (a b) ，求+ab的值。3、已知 x1 , x2 是方程 x 2 - x - 9 = 0 的兩實(shí)數(shù)根，求 x1 3 + 7x2 2 + 3x2 - 66 的值。4、已知關(guān)于 x 的方程x 2 - 2(m - 2)x + m 2 = 0 ,問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù) m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于 56，若存在，求出 m