數(shù)形結(jié)合的思想方法

1、2010屆高考數(shù)學(xué)二輪 復(fù)習(xí)系列課件,02數(shù)形結(jié)合的思想方法,考題剖析,規(guī)律總結(jié),知識(shí)概要,03,05,23,數(shù)形結(jié)合的思想方法,1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合. 2.實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元

2、素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.如等式(x2)2+(y1)2=4,知識(shí)概要,返回目錄,數(shù)形結(jié)合的思想方法,3.縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”. 4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見數(shù)想圖，

3、以開拓自己的思維、視野,返回目錄,知識(shí)概要,數(shù)形結(jié)合的思想方法,考 題 剖 析,返回目錄,1.設(shè)命題甲：0 x3，命題乙：|x1|4，則甲是乙成立的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.不充分也不必要條件,考題剖析,返回目錄,數(shù)形結(jié)合的思想方法,解析解法1：由命題乙|x1|4可得：3x5 , 所以命題甲是命題乙的充分不必要條件. 解法2：將兩個(gè)命題用數(shù)軸表示，如圖： 從上圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件.所以選A,點(diǎn)評(píng) 對(duì)于處理集合的問題，可以用數(shù)形結(jié)合的方法，如果是含字母參數(shù)的，可以畫韋恩圖；如果是具體的數(shù)集，則可以畫數(shù)軸，都可以使用集合間的關(guān)系直觀化,A

4、,2.已知函數(shù)y=f(x)(0 x1)的圖象如右圖，若0 x1x21,則（ ） A. B. C. D.以上都不正確,返回目錄,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,解析 由選項(xiàng) 的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的斜率公式，事實(shí)上， 可以看作是點(diǎn)（x,f(x)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象不難得出答案為A,點(diǎn)評(píng) 在解題的過程中，要注意一些式的幾何意義，一般地 可聯(lián)系到斜率， 可聯(lián)系到距離公式,A,3.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是（ ） A.( , ) B.( , ) C. , D. ,返回目錄,解析如圖，當(dāng)過右焦點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)，由雙曲線性質(zhì)可知

5、，此時(shí)直線與雙曲線右支有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（且與整個(gè)雙曲線也僅此一個(gè)交點(diǎn)）.當(dāng)過右焦點(diǎn)的直線位于兩條漸近線之間時(shí)， 直線與雙曲線左右支均交于一點(diǎn)，也符合題干條件. 又由雙曲線方程 1，有雙曲線的漸近 線方程為y x，所以有 k,點(diǎn)評(píng)本題還可以設(shè)直線方程為yk(x4)，與雙曲線方程聯(lián)立，求 0，但不可忽略直線與雙曲線左右支各交于一點(diǎn)的情況，利用韋達(dá)定理確定k的值，基于本題是選擇題，不提倡采用解析法.本題重點(diǎn)在于考查數(shù)形結(jié)合的思想,C,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,4.（2007湖南三市七校試題）若不等式 x(a0)的 解集為x|mxn，且|mn|=2a，則a的值為（ ） A.1 B.2 C.3D.4

6、,返回目錄,解析 畫出y= , y=x的圖象， 依題意，m=a，n=a， 從而 =a a=0或2.故選B,點(diǎn)評(píng)本題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，如果單純地從數(shù)的觀點(diǎn)來解題的話，得出m=a與n=a也是有一定的難度的，但從形的角度出發(fā)，可以很直觀地看出，這也就說明了解小題時(shí)，一 定要重視這種思想的應(yīng)用,B,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,5.甲、乙兩人相約7:008:00在某地會(huì)面，假定每人在這 段時(shí)間內(nèi)的每個(gè)時(shí)刻到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的可能性是相同的，先到者等20分鐘后便離去，則兩人能會(huì)面的概率為,返回目錄,解析在平面上建立直角坐標(biāo)系，直線x=60，直線y=60, x軸，y軸圍成一個(gè)正方形區(qū)域G.設(shè)甲7時(shí)x

7、分到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)， 乙7時(shí)y分到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)，這個(gè)結(jié)果與平面上的點(diǎn)（x,y） 對(duì)應(yīng).于是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果就與G中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,由題意知，每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的， 甲乙兩人能會(huì)面，當(dāng)且僅當(dāng)他們到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的時(shí)間相差不超 過20分鐘，即 yx20，x20yx+20, 因此，圖中的 陰影區(qū)域g就表示“甲乙能會(huì)面”.容易求得 g的面積為6024022000，G的面積為3600， 由幾何概型的概率計(jì)算公式，“甲乙能會(huì)面” 的概率 P(甲乙能會(huì)面)g的面積/G的面積,點(diǎn)評(píng) 解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率,考題

8、剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,6.設(shè)函數(shù)y=f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)， 它在區(qū)間0,1上的圖象為如右圖所示的線 段AB，則在區(qū)間1,2上，f(x)=,解析 解法1：題目已給出f(x)在區(qū)間 0,1的圖象，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與對(duì)稱的思想方法. 由y=f(x)是偶函數(shù)，由“形”對(duì)稱變換到“形”， 得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,0上的圖象，如下圖的線 段CA. 由y=f(x)是最小正周期為2的函數(shù)，再由 “形”向右平移到“形”，得到函數(shù)y=f(x)在 區(qū)間1，2上的圖象，如右圖所示的線段BD,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,由“形”到“數(shù)”，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,2 上的圖象是經(jīng)

9、過B(1,1)，D(2,2)的直線，由待 定系數(shù)法，求得f(x)=x(x1,2,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,解法2：也可以由“形”到“數(shù)”， 用待定系數(shù)法求得，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)=x+2； 由偶函數(shù)，當(dāng)x1,0時(shí)， f(x)=f(x)=(x)+2=x+2(0 x1)， 由最小正周期為2，得當(dāng)x1,2時(shí)， f(x)=f(x2)=(x2)+2=x,返回目錄,點(diǎn)評(píng) 解法1根據(jù)偶函數(shù)與周期函數(shù)的特征作出在1,2上的圖象，再根據(jù)圖象找出解析式；解法2，先由 圖形確定在0,1上的解析式，再利用周期性和奇偶性將1，2上的解析式化歸到0,1上進(jìn)行處理.兩種解法都 恰當(dāng)利用了“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合,考題

10、剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,7.函數(shù)y= 的最大值為 ，最小值為,解析y= 表示點(diǎn)P(cosx，sinx)與點(diǎn)A(2，0)連線的斜率的取值范圍，而點(diǎn)P在單位圓上， 如右圖，過A作單位圓的切線AB，AC. 易知kAB= ，kAC= 為斜率 的最大值和最小值，那么y的最大值為 ，最小值為,點(diǎn)評(píng) 對(duì)于分式型問題的處理，?？蓸?gòu)造斜率模型，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,8.解關(guān)于x的不等式|x21|0,解析 設(shè) 分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象， 由 令y1=y2，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)：x1= , x2= , 從圖形不難看出當(dāng)函數(shù)y2的圖象位于y1的圖象的上方時(shí)，對(duì)應(yīng)的

11、x值的取值范圍即為原不等式的解. x,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,點(diǎn)評(píng) 圖象法解不等式與圖象法解方程有類似之處，首先求出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(即方程的根)，然后根據(jù)不等式的方向從圖象中判斷解的區(qū)間,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,9.實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)上，另一根在 (1,2)上，求 的取值范圍,分析用二次函數(shù)的圖象研究根的分布問題，再研究所得不等式和式子的幾何意義,解析由x2+ax+2b=0的二根分別在區(qū)間 (0,1)與(1,2)上的幾何意義為y=f(x)=x2+ax+2b與 x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間(0,1)，(1,2)內(nèi).,

12、考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,在aOb坐標(biāo)平面內(nèi)，上面不等式表示的點(diǎn)集為ABC的內(nèi)部， 如圖所示. A點(diǎn)由 解得A(3,1); B點(diǎn)由 解得B(2,0)； C點(diǎn)由 解得C(1,0). 而 的幾何意義是點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)D(1,2)連線的斜率. kAD= = ，kCD= =1，由圖知kAD kCD， 1,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,點(diǎn)評(píng)本題是二次方程根的分布、線性規(guī)劃等的小型綜合題，本題解法中兩次用到數(shù)形結(jié)合，一是研究方程根的分布，利用了二次函數(shù)的圖象，二是在研究 的取值范圍時(shí)，根 據(jù)其幾何意義為斜率，列出不等式,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,10.（2007岳陽(yáng)質(zhì)

13、檢）已知奇函數(shù)f(x)= （1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f(x)的圖象； （2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間1，|a|2上單調(diào)遞增，試確定a的 取值范圍,解析（1）當(dāng) x0， f(x)=(x)2+2(x)=x22x， 又f（x）為奇函數(shù)，f(x)=f(x)=x22x， f（x）x22x，m2 yf（x）的圖象如右所示,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,2）由（1）知 f（x） ， 由圖象可知，f(x)在1，1上單調(diào)遞增， 要使f(x)在1，|a|2上單調(diào)遞增， 只需 解之得3a1或1a3,考題剖析,數(shù)形結(jié)合的思想方法,返回目錄,規(guī) 律 總 結(jié),返回目錄,數(shù)形結(jié)合思想在高考中占

14、有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決.運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征,規(guī)律總結(jié),返回目錄,數(shù)形結(jié)合的思想方法,數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)方面：即以形助數(shù)、以數(shù)解形. （1）以形助數(shù)的體現(xiàn)： 利用曲線方程解題； 利用“直線的斜率”； 利用“單位圓”； 利用“點(diǎn)到直線的距離”； 利用“兩點(diǎn)間的距離”； 利用“直線的截距”； 利用“平行線間的距離”； 利用“直線的方程”； 利用函數(shù)的圖象； 利用幾何圖形解題； 利用向量運(yùn)算； 利用“三角形三邊的關(guān)系”； 利用勾股定理構(gòu)圖,返回目錄,規(guī)律總結(jié),數(shù)形結(jié)合的思想方法,2）以數(shù)解形的體現(xiàn)： 向量坐標(biāo)運(yùn)