示范教案(221向量加法運(yùn)算及其幾何意義)

1、2.2 平面向量的線性運(yùn)算2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析向量的加法是學(xué)生在認(rèn)識向量概念之后首先要掌握的運(yùn)算,是向量的第二節(jié)內(nèi)容 .其主要內(nèi)容是運(yùn)用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行證明,同時(shí)運(yùn)用他們進(jìn)行相關(guān)計(jì)算 ,這可讓同學(xué)們進(jìn)一步加強(qiáng)對向量幾何意義的理解 ,同時(shí)也為接下來學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用 .學(xué)生已經(jīng)通過上節(jié)的學(xué)習(xí) ,掌握了向量的概念、幾何表示 ,理解了什么是相等向量和共線 向量 .在學(xué)習(xí)物理的過程中 ,已經(jīng)知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成 ,而且知道這些矢量的合

2、成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件.培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的意識.在向量加法的概念中 , 由于涉及到兩個(gè)向量有不平行和平行這兩種情況 ,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想,而在猜測向量加法的運(yùn)算律時(shí) ,通過引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行類比.則能培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移等能力 .在實(shí)際教學(xué)中類比數(shù)的運(yùn)算 ,向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算 .運(yùn)算引入后 ,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實(shí)際上 ,引入一個(gè)新的量后 ,考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律 ,是數(shù)學(xué)研究中的基本問題 .教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會 考察一個(gè)量的運(yùn)算問題 ,

3、最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其運(yùn)算律,這樣才能正確、方便地實(shí)施運(yùn)算.向量的加法運(yùn)算是通過類比數(shù)的加法,以位移的合成、力的合力等兩個(gè)物理模型為背景引入的 .這樣做使加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上,同時(shí)還可以提醒學(xué)生注意 ,由于向量有方向 ,因此在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí) ,不但要考慮大小問題 ,而且要考慮方向問題 ,從而使學(xué)生 體會向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做 ,有利于學(xué)生更好地把握向量加法的特點(diǎn).三維目標(biāo)1. 通過經(jīng)歷向量加法的探究 ,掌握向量加法概念 ,結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,并能作出已知兩向量的和向量 .2. 在應(yīng)用活動中

4、 ,理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義.掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和 ,比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等.3. 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí) ,讓學(xué)生認(rèn)識事物之間的相互轉(zhuǎn)化 ,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 ,體會數(shù)學(xué) 在生活中的作用 .培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、分類、歸納等能力 .重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) :向量加法的運(yùn)算及其幾何意義 .教學(xué)難點(diǎn) :對向量加法法則定義的理解 .課時(shí)安排1 課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路 1.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入 ）上一節(jié) ,我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法 ,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念 ,并接觸了這些概念的辨析判斷 .另外 ,向量 和

5、我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)算,這一節(jié) ,我們先學(xué)習(xí)向量的加法 .思路 2.（問題導(dǎo)入 ）2004 年大陸和臺灣沒有直航 ,因此春節(jié)探親 ,要先從臺北到香港 ,再從香 港到上海 ,這兩次位移之和是什么 ?怎樣列出數(shù)學(xué)式子？一位同學(xué)按以下的命令進(jìn)行活動:向北走 20米,再向西走 15 米,再向東走 5米,最后向南走 10 米,怎樣計(jì)算他所在的位置 ?由此導(dǎo)入 新課.推進(jìn)新課新知探究提出問題 數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類比數(shù)的加法，猜想向量的加法，應(yīng)怎樣定義向量的加法？ 猜想向量加法的法則是什么 ？與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同 ？活動：向量是既有大小、又有方向的量，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理

6、中位移的概念，位移可以合 成，如圖1某對象從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，兩次位移AB、BC的結(jié)果，與A點(diǎn)直接到C點(diǎn)的位 移AC結(jié)果相同力也可以合成，老師引導(dǎo)，讓學(xué)生共同探究如下的問題：圖2(1)表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下，沿著GC的方向伸長了 E0;圖2(2)表示撤去Fi和F2,用一個(gè)力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度圖2改變力Fi與F2的大小和方向，重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn)，你能發(fā)現(xiàn)F與Fi、F2之間的關(guān)系嗎？力F對橡皮條產(chǎn)生的效果與力Fi與F2共同作用產(chǎn)生的效果相同，物理學(xué)中把力F叫做Fi與F2的合力合力F與力F i、F2有怎樣的關(guān)系呢？由圖2(3)發(fā)現(xiàn)，力 F在以F i、F2為鄰邊的平

7、行四邊形 的對角線上，并且大小等于平行四邊形對角線的長數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，F(xiàn)可以認(rèn)為是Fi與F2的和，即位移、力的合成看作向量 的加法討論結(jié)果：向量加法的定 義：如圖3,已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB =a，BC = b，則向量AC叫做a與b的和，記作a + b，即a+b = AB + BC = AC 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法. 向量加法的法則： 仁向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意 首尾相接”,即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向

8、量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型2。向量加法的平行四邊形法則圖4如圖4,以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以0為起點(diǎn)的對角線0C就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則 力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出問題 對于零向量與任一向量的加法，結(jié)果又是怎樣的呢？ 兩共線向量求和時(shí)，用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ 思考|a+b|，|a|，|b存在著怎樣的關(guān)系？ 數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算.類似地，向量的加法是否也有運(yùn) 算律呢？活動：觀察實(shí)際例子，教

9、師啟發(fā)學(xué)生思考，并適時(shí)點(diǎn)撥，誘導(dǎo)，探究向量的加法在特殊情況下 的運(yùn)算，共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系.數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對任意a，b R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a，b的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？引導(dǎo)學(xué)生畫圖進(jìn)行探索.討論結(jié)果：對于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+0=0+a= a. 兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)；在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加，它們的和仍是一個(gè)向量，對應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段 當(dāng)a，b不共線時(shí)，|a+ b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a，b共線且方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a，b共線且方

10、向相反時(shí)，a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長度大于向量b的長度時(shí)，|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長度小于向量 b的長度時(shí)，|a + b|=|b|-|a|.一般地，我們有|a+ b|珥a|+|b|. 如圖5,作AB = a，AD = b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則BC = b，DC = a.因?yàn)?AC = AB + AD =a + b，AC = AD + DC = b+a，所以 a+ b=b+a.AD = AB + BD = AB +( BC + CD )=a+(b+c),所以(a+b)+ c=a+(b+c).綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律圖6圖

11、5應(yīng)用示例思路1例1如圖7,已知向量a、b,求作向量a + b.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向量加法的作圖中，學(xué)生體會作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0的依據(jù)它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí)，一般都需要進(jìn)行向量的平移，用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連.圖7圖8圖9解:作法一：在平面內(nèi)任取一點(diǎn) 0(如圖8)，作0A =a，AB = b，則OB = a+ b.作法二：在平面內(nèi)任取一點(diǎn) 0(如圖9)，作0A = a，OB = b.以0A、0B為鄰邊作OACB，連接0C，則 0C= a+b.變

12、式訓(xùn)練化簡:(1) BC + AB ;(2) DB + CD + BC ;(3) AB + DF + CD + BC + FA .活動:根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接，再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序，然后相加.解:(1) BC + AB = AB + BC = AC .(2) DB + CD + BC = BC + CD + DB =( BC + CD )+ DB = BD + DB = 0.(3) AB + DF + CD + BC +FA= AB + BC + CD + DF + FA=AC + CD + DF + FA =AD + DF + FA = AF + FA = 0

13、.點(diǎn)評：要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量例2長江兩岸之間沒有大橋的地方 ，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖10所示，一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東 2 km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度 （保留兩個(gè)有效數(shù)字）；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）.圖10圖11活動：本例結(jié)合一個(gè)實(shí)際問題說明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用這樣的問題在物理中已有涉及，這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算，體會其中應(yīng)解決的問題是向量模的大小及向量的方向（與某一方向所成角的大小 ）.引導(dǎo)

14、點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意，將實(shí)際問題反映在向量作圖上，從而與初中學(xué)過的解直角三角形建立聯(lián)系解:如圖11所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB為鄰邊作ABCD,則AC表示船實(shí) 際航行的速度.在 Rt ABC 中，| AB |=2，|BC |=5，所以 |AC |= . |AB |2 |BC |2 二 22 52 = . 29 -5.4.29因?yàn)閠an/ CAB=,由計(jì)算器得/ CAB=70 .2答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4 km/h,方向與水的流速間的夾角為70點(diǎn)評：用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算，最后回扣物理問題，解決問題.變式訓(xùn)練用向量方法證明對角

15、線互相平分的四邊形是平行四邊形圖12活動：本題是一道平面幾何題，如果用純幾何的方法去思考，問題不難解決，如果用向量法 來解，不僅思路清晰，而且運(yùn)算簡單.將互相平分利用向量表達(dá)，以此為條件推證使四邊形為平 行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問題，并在解完后總結(jié)思路方法.證明：女口圖12,設(shè)四邊形 ABCD 的對角線 AC、 BD 相交于點(diǎn)O, AB = AO + OB , DC = DO + OC .AC 與 BD 互相平分,AO =OC,OB=DO ,AB = DC ,因此 AB / CD 且 |AB |=| DC |,即四邊形ABCD是平行四邊形點(diǎn)評：證明一個(gè)四邊形

16、是平行四邊形時(shí) ，只需證明AB = DC或AD = BC即可而要證明一 個(gè)四邊形是梯形,需證明AB與DC共線，且|AB鬥DC|.思路2例3如圖13,0為正六邊形 ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)0A + 0C ；(2) BC + FE ；(3) 0A + FE .活動：教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量教師一定要讓學(xué)生親自動手操作，對思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指導(dǎo)圖13解:因四邊形0ABC是以0A、0C為鄰邊的平行四邊形，0B是其對角線，故0A+0C=0B.因BC = FE，故BC + EF與BC方向相同，長度為BC的長度的2倍，故 BC + FE =

17、 AD .(3)因 0D = FE，故 0A + FE = 0A + 0D =0.點(diǎn)評：向量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知識，在長度和方向兩個(gè)方面做文章應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義例2在長江的某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度是25 km/h，渡船要垂直地 渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？活動：如圖14,渡船的實(shí)際速度 AC、船速AD與水速AB應(yīng)滿足 AB + AD = AC .圖14解:設(shè)AB表示水流速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船實(shí)際垂直過江的速度 ，以AB為一邊,AC為對角線作平行四邊形,AD就是船的速度 在 Rt ACD 中，/ACD=90 ,| DC |=| A

18、B |=12.5,| AD |=25,/CAD=30答:渡船的航向?yàn)楸逼?30點(diǎn)評:根據(jù)題意畫出草圖，是解決問題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn) 若OA + OB+OC+OD= 0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊 形？點(diǎn)O是四邊形的什么點(diǎn)？活動：要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系，如平行、相等等；而要判斷點(diǎn)O是該四邊形的什么點(diǎn)，就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系圖15AEOD,連結(jié)ED,則四邊形AEDO為平行四邊形，設(shè)OE與AD的交點(diǎn)為M,過B作BF匚OC,則四邊形BOCF為平行四邊形，設(shè)OF與BC的交點(diǎn)為N,于是M、N分別是 AD、BC的中點(diǎn)/ OA + OB +

19、OC +OD =0,OA + OD =OA+ AE = OE ,OB +OC =OB + BF =OF ,OE + OF =0,即OE與OF的長度相等方向相反.M、O、N三點(diǎn)共線,即點(diǎn)O在AD與BC的中點(diǎn)連線上.同理，點(diǎn)O也在AB與DC的中點(diǎn)連線上.點(diǎn)O是四邊形ABCD對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，且該四邊形可以是任意四邊形 知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1直接在教科書上據(jù)原圖作(此處從略).2直接在教科書上據(jù)原圖作(此處從略).3. (1) DA ; (2)CB .點(diǎn)評:在向量的加法中要注意向量箭頭的方向4. (1)c； (2)f; (3)f; (4) g.點(diǎn)評：通過填空，使學(xué)生得出首尾相接的幾個(gè)向量的求和規(guī)律.課堂小結(jié)1先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：向量的加法定義，向量加法的三角形法則和平行四邊形 法則，向量加法滿足交換律和結(jié)合律 ，幾何作圖，向量加法的實(shí)際應(yīng)用2教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：特殊與一般，歸納與類比