412圓的一般方程

1、4.1.2圓的一般方程三維目標：知識與技能：(1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑掌握方2 2 . .程x + y + Dx+ Ey+ F=0表示圓的條件.(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數(shù)法求圓的方程。(3):培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。過程與方法：通過對 方程x2 + y2 + Dx + Ey+ F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā) 現(xiàn)及分析解決問題的實際能力 。情感態(tài)度價值觀：滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。教學重點：圓的一般方

2、程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據已知條件確定方程中的系數(shù)，D E、F.教學難點:對圓的一般方程的認識、掌握和運用教 具：多媒體、實物投影儀-教學過程：課題引入：問題：求過三點 A ( 0, 0), B (1 , 1), C (4, 2)的圓的方程。利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形 式一一圓的一般方程。探索研究：請同學們寫出圓的標準方程：(x a)2+ (y - b)2=r2，圓心(a , b)，半徑 r .把圓的標準方程展開，并整理：2 2 2 2 2x

3、+ y 2ax 2by + a + b r =0.non取 D = -2a, E = -2b, F = a b -r 得2 2x y Dx Ey F =0這個方程是圓的方程.反過來給出一個形如 x2+ y2 + Dx+ Ey+ F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎?把 x2 + y2 + Dx+ Ey + F=0 配方得D 2E 2(x y)(y y)D2 E2 4F4(配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？(1) 當D2+ E2 4F0時，方程表示(1 )當D2 E2 - 4F 0時，表示以(-衛(wèi),2-E )為圓心，1 .D2 E2 -4F為半徑的圓；2 222DE(2) 當D E -

4、4F -0時，方程只有實數(shù)解 x, y，即只表示一個2 2點( - D，- E )；2 2(3) 當D2 E2 -4F ： 0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形- 綜上所述，方程x2 y2 Dx Ey F -0表示的曲線不一定是圓只有當D2 E4F 0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如2 2 2 2x y Dx Ey F =0的表示圓的方程稱為圓的一般方程 -x 1 y =4我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納)(1) x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項.(2) 圓的一般方程中有三個特定的系數(shù) D E、F,因之只要求出這三個系 數(shù)，圓的方程就確定了.(3) 、與圓

5、的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征 明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。知識應用與解題研究:例1:判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓 心及半徑。221 4x 4y -4x 12y 9=0222 4x 4y -4x 12y 11=0學生自己分析探求解決途徑：、用配方法將其變形化成圓的標準形式。、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于1 4x2 4y4x 12y 0來說，這里的9十“ 口D - -1,E =3,F而不是 D=-4,E=12,F=9 例2 :求過三點 A（ 0，0），B（ 1，1），C（ 4，2）的圓的方

6、程，并求這個圓的半徑長和圓 心坐標。分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程-解：設所求的圓的方程為：x2 y2 Dx Ey F =0 A（0,0）, B（1,1） ,C（4,2）在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于D, E,F的三元一次方程組，即 D +E +F +2 =04D +2E +F +20 =0解此方程組，可得：D = -8,E =6,F =0 -所求圓的方程為：x2 y2 -8x 6y = 01 22DFr D E 4F =5 ; - =4, =_3- 2 2

7、2得圓心坐標為（4，-3 ）.或將x2 y2 -8x 6y =0左邊配方化為圓的標準方程，（x -4）2 （y 3）2 =25,從而求出圓的半徑r =5，圓心坐標為（4,-3）-學生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟： 、根據提議，選擇標準方程或一般方程； 、根據條件列出關于 a、b、r或D、E、F的方程組； 、解出a、b、r或D E、F，代入標準方程或一般方程。2 o例3、已知線段 AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上（x + 1） + y2 = 4運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。分析：如圖點 A運動引起點 M運動，而點 A在已知圓上運動，點 A的坐標滿足方程2 2X V i亠y =4。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。解：設點 M 的坐標是 （x,y ）,點 A 的坐標是Xo.yo由于點B的坐標是 4,3且M是線段AB的重點，所以Xo 42yo 3于是有 Xo = 2x - 4, yo = 2 y - 3因為點A在圓 x V $ y2 =4上運動，所以點A的坐標滿足方程x 亠y2 =4,22即 Xo 1yo =422* +1）+y=4把代入，得x-322 / 2Pl3o22(2x