第一章1.3.2函數(shù)的奇偶性

1、第一章1 32 函數(shù)的奇偶性教學(xué)目的：1. 了解函數(shù)的奇偶性的概念。2. 掌握函數(shù)奇偶性的證明和判斷的基本方法。3. 要求學(xué)生能從數(shù)和形兩個角度認(rèn)識函數(shù)奇偶性。4. 要求學(xué)生能用定義判斷某些函數(shù)的奇偶性，并能利用奇偶性簡化一些函數(shù)圖象的繪制過程。5. 通過對函數(shù)奇偶性的理論以及奇偶函數(shù)圖形的研究，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的體驗，培養(yǎng)樂于求索的精神，形成科學(xué)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度.教學(xué)重點：熟練判斷函數(shù)奇偶性的方法和步驟.認(rèn)識奇偶函數(shù)的圖像特點教學(xué)難點：對函數(shù)奇偶性的判斷和奇偶性的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 函數(shù)增減性的概念，回憶函數(shù)增減性的判斷方法和單調(diào)區(qū)間概念。2. 增函數(shù)(減函數(shù))圖像的性質(zhì)。3.

2、 最大(最小)值的概念及求最值的方法。4. 初等函數(shù)的單調(diào)性和最值。二、講解新課：1、引入1:分別作出函數(shù)f(x)=x2與f(x)=x的圖像，并思考函數(shù)值和圖象的變化規(guī)律 .X-3-2-10123f(x) =x29410149X-3-2-10123f(x) =| x3210123觀察上面兩個函數(shù)圖像和表格有什么共同點？2觀察可知：對于f(x)二x有：f(-3)=9二f(3)f(_2)=4= f(2)f (-1)亠 f (1)對于函數(shù)f(x)=| x同樣也有上面的結(jié)論.2、 偶函數(shù)定義：一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個 x,都有f ( x)=f (x),那么函數(shù)f (x)就叫做偶

3、函數(shù)(even function).2 2例如：函數(shù)f(x)二x1和函數(shù)f二飛都是偶函數(shù)，他們的圖像見書本P34X2 +1113、 弓I入2:分別作出函數(shù)f (x)二x與f(x) 的圖像，并思考函數(shù)值和圖象的變化規(guī)律x用 1.3-9JT31013同樣觀察可知：對于 f (x) = x有：f ( -3) = -3 = - f (3)f(-2) = -2 = -f(2)f(_1)一1 f(1)1對于函數(shù)f (x)同樣也有上面的結(jié)論.x4、奇函數(shù)定義：一般地，如果對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個 x,都有f ( x)= f (x),那么函數(shù)f (x)就叫做奇函數(shù)(odd function ).1

4、 1(1)f(x)=x4(2)f(x)=x5 f(x)=x (4) f (x)2xx例2 (補(bǔ)充)判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) yx2 x.一3,11 ；(2)；(3)f(x) 丨-舟2+1 2解：(1)( 2)非奇非偶函數(shù)(定義域不對稱)(3)奇函數(shù)f (x)+f ( x)=0結(jié)論：(1) 一般函數(shù)的奇偶性有四種：奇函數(shù)、偶函數(shù)、即奇且偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，一 個函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)叫這個函數(shù)具有奇偶性，顯然函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的整個定義或二言，而非相對于某個區(qū)間。(2) 若f (x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則對于定義域D上的任意一個X,都有x D,這就是定義域必須是關(guān)于原點對稱的.若函數(shù)的定

5、義域不是關(guān)于原點對稱的，則可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).例3.已知函數(shù)f x既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，求證：f X=0.證明：既是 奇函數(shù)也是偶函數(shù)，.1 - = .1 ,且 m,亠.-,即兀結(jié)論2: (1) f xi=0是唯一的既奇且偶函數(shù)(2)而y = f x二a常數(shù)a 0為偶函數(shù)(3)根據(jù)定義驗證奇偶性的時候，有時為了運(yùn)算上的方便，常常把驗證f ( x)= f (x)f x轉(zhuǎn)化為驗證 f (x) -f ( x)=0 ,1 (f (x)非零)，f (x)+f ( x)=0 或 2f (x).f(x)5、奇偶函數(shù)的性質(zhì)：從前引入的例中容易得到結(jié)論1：奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象的對稱性 (定理)

6、 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反之，若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)是 奇函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，反之，若一個函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).思考：(1)判斷函數(shù)f (x) =x3 - x的奇偶性(2)若上圖是函數(shù)f (xx3 x的圖像的一部分,你能根據(jù)f(x)的奇偶性畫出它在 y軸左邊的圖像么？注：函數(shù)奇偶性是畫函數(shù)圖象和研究性質(zhì)的一個重要依據(jù)，對奇(偶)函數(shù)的圖象，只須畫出該函數(shù)在x 0(x0)時的圖象，再根據(jù)對稱性就能得到x0(x0)時函數(shù)的性質(zhì)；再利用對稱性就能推斷函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì).練習(xí)：P36 2例4.判斷下列函數(shù)的奇偶性：1 f(X)二.X2

7、-1、1 -X2解：定義域:x2 10 1或X 蘭-12 二1 X2蘭01蘭x蘭1 定義域為X = 1f (-X)- . X2 -1、1 - X2 二 f (x)此函數(shù)為即奇且偶函數(shù)且 f ( 土 1) = 02. (1) f x = kx b k = 0k(2) f x k RX(3) f x 二 ax2 bx c a = 03.f(x)X2X2XX(X 0 時，-x0 f (夕)=x-x = -(x -x )2 2當(dāng) x0 f (夕)=-x -x = -(x +x)即:f(-x)r 2-(x2 +x) 廠(x-X2)g 0)(X 0)-f (x)此函數(shù)為奇函數(shù)例5.已知函數(shù)f(x)是定義在

8、R上的偶函數(shù)，當(dāng) X0時，f(x)=2x -3x 1，求f(x) 的表達(dá)式. 2|2x 3x+1(x0)解：f X =22x2 3x 1 x 0三、總結(jié)：1、判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 考查定義域 D是否關(guān)于原點對稱，若存在一個xo D,使得f( xo)沒有意義，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若對于任意x D, f ( x)均有意義，則再進(jìn)行下一步. 判斷f ( x)= f (x)或f ( x)=f (x)之一是否成立，從而作出正確結(jié)論.注：有時為了運(yùn)算上的方便，常常把驗證f ( x)= f (x)轉(zhuǎn)化為驗證f (x) = f ( x)=0 , f 二 1 , f (x)+ f ( x)=0

9、 或 2f (x).f x2、 奇函數(shù) 二圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)二圖象關(guān)于軸對稱3、函數(shù)f x =0和y = f x =a常數(shù)a = 0的奇偶性。4、分段函數(shù)的奇偶性的判定四、作業(yè)：P39 習(xí)題 1.3 A:6 B:3 P44 A : 10 ; B: 6補(bǔ)充習(xí)題：1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性丄 x2 1 x 0(1 f x 二 kx b k = 0 ； f x = a a R ； f x = 21 2 ,x -1 x ： 02解：(1)當(dāng)亠1時，為奇函數(shù)，當(dāng)J - 1時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2) 當(dāng)一： M 時,既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，當(dāng)(30時,是偶函數(shù).1.1衛(wèi)K n _r/ ft=-1 = - 7 KE(3) 當(dāng).1 I.時，廠；于是_-當(dāng)畫0時，-于是) = %),2. 已知函數(shù)f (x)對于一切 x , y都有f (x+y ) = f (x)+ f (y)（1）.求證：f （x）是奇函數(shù);(2)若 f ( 3)= 2,求 f ( 12)的值作業(yè)本：1.3.2課外作業(yè):成材之路：P 35 1.3.2 ;背面1.3.2;3.課外思考：下列結(jié)論的否成立？（