正方體截面的形狀

1、正方體截面的形狀簡(jiǎn)介用一個(gè)平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的?實(shí)施過(guò)程一、問(wèn)題情境與任務(wù) 用一個(gè)平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的? 1給出分類(lèi)的原則(例如：按截面圖形的邊數(shù)分類(lèi))按照你的分類(lèi)原則，能得到多少類(lèi)不同的截面?設(shè)計(jì)一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫(huà)出示意圖 2如果截面是三角形，你認(rèn)為可以截出幾類(lèi)不同的三角形? 3如果截面是四邊形，你認(rèn)為可以截出幾類(lèi)不同的四邊形? *4證明上面的結(jié)果 *5截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條?請(qǐng)說(shuō)明理由 *6截面可能是正多邊形嗎?可能有幾種?畫(huà)出示意圖 *7如果截面是三角形，其面積最大是多少?畫(huà)出示意圖 *8你

2、還能提出哪些相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題? 二、實(shí)施建議與說(shuō)明 (一)該課題學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的意圖 1按課標(biāo)要求，在高中階段至少要有一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，而活動(dòng)的開(kāi)展是要有一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程的，學(xué)生需要一個(gè)逐步適應(yīng)、了解、認(rèn)識(shí)和自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程，所以在本模塊設(shè)計(jì)該課題，是為實(shí)施更為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)做準(zhǔn)備 2該課題涉及內(nèi)容：點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系及直觀(guān)圖畫(huà)法涵蓋了立體幾何中相當(dāng)多的概念、定理，本課題學(xué)習(xí)的過(guò)程是對(duì)立體幾何知識(shí)的一次全面的綜合應(yīng)用的過(guò)程 3該課題的學(xué)習(xí)很好地體現(xiàn)了立體幾何初步一章的基本要求：有助于認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及

3、幾何直觀(guān)能力 4在本章末安排該課題學(xué)習(xí)，一方面給學(xué)生提供了一個(gè)施展所學(xué)的舞臺(tái)；另一方面，也達(dá)到了借此課題的研究促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)的應(yīng)用和反思，加深對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和理解 此外，該課題的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究中直觀(guān)和嚴(yán)謹(jǐn)、感性猜測(cè)和理性推理的關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造力 (二)課題學(xué)習(xí)的實(shí)施建議 采用形式： 形式1 (能有效節(jié)省課時(shí)，但要求學(xué)生已初步具備一些自主探索、學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和能力)： 首先分組(23人)進(jìn)行課下討論研究，視學(xué)生情況，可建議學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作進(jìn)行研究，最后形成小組的學(xué)習(xí)報(bào)告然后，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)報(bào)告完成情況，在課上讓部分小組報(bào)告他們

4、所得到的結(jié)果、闡述理由，并回答教師或其他學(xué)生提出的問(wèn)題，共同研究討論 形式2 (需要較多課時(shí)，適合于沒(méi)有自主探究、學(xué)習(xí)的習(xí)慣和經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，有利于他們初步認(rèn)識(shí)、了解自主學(xué)習(xí)的開(kāi)展)： 讓學(xué)生課前準(zhǔn)備幾個(gè)正方體模型，課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生探索、討論、發(fā)現(xiàn)可以讓學(xué)生前后桌4人一組，對(duì)引導(dǎo)問(wèn)題逐一研究討論，分組報(bào)告研究結(jié)果，闡述理由，并接受教師和其他學(xué)生的質(zhì)疑 對(duì)課上未能很好解決的問(wèn)題，或是由此而引發(fā)的新的問(wèn)題，可以布置給學(xué)生課下去探索、研究，并完成研究報(bào)告根據(jù)情況，可以適當(dāng)安排時(shí)間讓學(xué)生報(bào)告 (三)教學(xué)實(shí)施中要注意的幾個(gè)問(wèn)題 1無(wú)論是課下指導(dǎo)，還是在課上教學(xué)實(shí)施過(guò)程之中，教師都要注意引導(dǎo)學(xué)生從直觀(guān)、感性

5、的猜測(cè)到嚴(yán)密、理性的思考和推理論證上來(lái)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩者在數(shù)學(xué)研究中的關(guān)系；注意引導(dǎo)學(xué)生積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長(zhǎng)處和優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞別人，并從中吸取友誼經(jīng)驗(yàn)；注意幫助學(xué)生清楚、一致地表述自己的觀(guān)點(diǎn)；注意幫助學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動(dòng) 2采用形式1時(shí)，教師應(yīng)注意及時(shí)了解學(xué)生研究的進(jìn)展情況，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生自主研究、學(xué)習(xí)的指導(dǎo)；對(duì)沒(méi)能在課上進(jìn)行報(bào)告的小組，要進(jìn)行及時(shí)的鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)，積極肯定其長(zhǎng)處并指出不足之處，做到關(guān)注每一個(gè)學(xué)生，目的是讓所有學(xué)生從中受益 3采用形式2時(shí)，教師除了要關(guān)注形式1中的要點(diǎn)外，還要特別注意教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)研究、學(xué)習(xí)，而不是取而代之，自己給學(xué)

6、生講解此外，在布置的課下任務(wù)中，可以適當(dāng)拓寬一些，不必僅局限于該課題學(xué)習(xí)內(nèi)容本身如： (1) 通過(guò)對(duì)正方體棱上的點(diǎn)確定的截面的作圖方法的了解，利用幾何畫(huà)板制作課件，通過(guò)課件進(jìn)行研究 (2) 研究滿(mǎn)足某些特定條件的截面形狀及性質(zhì)：與棱平行的截面；與體對(duì)角線(xiàn)垂直的截面；等分正方體的截面等 (3) 一個(gè)裝有定量液體(不滿(mǎn))的封閉中空的正方體隨著位置的某種規(guī)則(如：以一棱為軸旋轉(zhuǎn))變化，液體與正方體各接觸面的面積有怎樣的性質(zhì)，各接觸面之間有怎樣的關(guān)系?處于何位置時(shí)接觸面最小?何位置時(shí)液面面積最小? (4) 研究其他幾何體截面形狀 4幫助、指導(dǎo)學(xué)生完成課題學(xué)習(xí)報(bào)告 特別是以下幾個(gè)方面：課題學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的新

7、問(wèn)題，可拓展的或與其相關(guān)的問(wèn)題；課題研究的自我評(píng)價(jià)，包括探究方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點(diǎn)、不足之處等；課題學(xué)習(xí)的反思和體會(huì)，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你學(xué)習(xí)借鑒的，某種特別的感受等 三、教學(xué)參考信息 1課題學(xué)習(xí)報(bào)告的結(jié)構(gòu)形式 若上表填寫(xiě)時(shí)地方不夠，可以自己增加副頁(yè)，也可以自己設(shè)計(jì)一個(gè)研究報(bào)告的報(bào)表 2課題研究的部分結(jié)論 (1) 多邊形的種類(lèi)：三角形、四邊形、五邊形、六邊形 (2) 截面三角形只能是銳角三角形(可以是等腰、等邊)如圖1-22，a2=b2+c2b2+c2,由余弦定理，所以邊a所對(duì)角為銳角， 同理可得其余角也為銳角或由圖可知邊a所對(duì)頂點(diǎn)在以a為直徑的圓外，所以該角為銳角，

8、同理其余角也為銳角 (3) 因?yàn)檎襟w的六個(gè)面中，有三對(duì)平行面，截面多邊形的邊是平面與正方體的面的交線(xiàn)，所以截面多邊形最多是六邊形，其中四邊形截面至少與一組平行面相交，所以四邊形中至少有一對(duì)邊平行截面多邊形可以是正方形、矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、其他梯形五邊形截面至少與兩組平行面相交，所以有兩組平行邊，所以必然有兩內(nèi)角相等六邊形截面一定與三組平行面都相交，所以必有三組平行邊，所以有三組相等內(nèi)角 (4) 截面多邊形可以是正三角形、正四邊形和正六邊形 建議教師提出下列相關(guān)引申的問(wèn)題： 滿(mǎn)足特定條件的截面多邊形形狀： 與正方體一棱垂直的平面，截得的截面多邊形只能是正方形； 與正方體的一條棱平

9、行的平面，截出的截面多邊形只能有正方形、矩形； 與正方體的一體對(duì)角線(xiàn)垂直的平面，截得的截面多邊形只能有正三角形、各內(nèi)角相等的六邊形；過(guò)正方體中心的平面，截得的截面都是中心對(duì)稱(chēng)的多邊形，具體的只能有正方形、矩形、菱形、平行四邊形、對(duì)邊相等的六邊形； 與正方體的一面對(duì)角線(xiàn)平行的平面，截得的截面多邊形只能是等邊三角形、等腰三角形、等腰梯形、正方形、矩形、菱形、可拆分成一個(gè)等腰三角形和等腰梯形的五邊形、可拆分成兩個(gè)等腰梯形的六邊形 截面一定不會(huì)是以下幾種多邊形 不可能是直角三角形和鈍角三角形(證略) 不可能是直角梯形 證明：如圖1-23，若HEF=90，又由正方體性質(zhì)可得ABHE，所以HE面ABD，所

10、以HEAA，所以AA面EFGH，所以AAGF，所以HEGF，與是梯形矛盾 不可能是正五邊形 證明：因?yàn)檎襟w有三對(duì)平行面，五條邊是截面與正方體六個(gè)面中的五個(gè)面的交線(xiàn)，其中至少有兩組平行面，由“一平面與平行平面的兩交線(xiàn)互相平行”知，至少有兩組平行邊，所以顯然不可能是正五邊形 3正方體水槽中的問(wèn)題 側(cè)面： (1) 側(cè)面多邊形的種類(lèi)：三角形、四邊形、五邊形 (2) 側(cè)面多邊形性質(zhì)：三角形只能是直角三角形；四邊形是直角梯形或矩形；五邊形必有且僅有相鄰三內(nèi)角為直角 (3) 正方體位置與側(cè)面形狀的關(guān)系 正方體一面著地時(shí)：側(cè)面多邊形為矩形 僅一條棱著地時(shí)： 含該棱或與該棱平行的一組側(cè)面為矩形，另一組側(cè)面為全

11、等直角三角形或直角梯形或五邊形； 若水的體積不變，形狀為直角三角形或直角梯形或五邊形的側(cè)面面積不隨傾斜度的變化而變化(即使形狀由梯形變到五邊形也不變)； 若水的體積不變，且一組側(cè)面為直角梯形時(shí)，另一組側(cè)面面積之和為定值，定值等于直角梯形面積的兩倍，或者說(shuō)此時(shí)各側(cè)面面積之和不變； 若水的體積不變且一組側(cè)面為直角三角形時(shí)，另一組側(cè)面面積的積為定值 僅有一頂點(diǎn)著地時(shí)： 若過(guò)著地頂點(diǎn)的體對(duì)角線(xiàn)與地面垂直時(shí)，水側(cè)面多邊形僅有兩種：等腰直角三角形和五邊形； 若僅有三個(gè)側(cè)面時(shí)，則三側(cè)面都是直角三角形，且三個(gè)三角形的面積之積為定值 (水體積不變條件下) 水面與側(cè)面關(guān)系： 正方體中水面面積的平方等于水側(cè)面的三組相對(duì)面面積差的平方和(包括退化情形) 相似拓展問(wèn)題： 正四面體的截面形狀有三角形(銳角或直角)、四邊形 四邊形截面只可以是正方形、矩形、等腰梯形、無(wú)平行邊的四