正方體截面的形狀

1、正方體截面的形狀簡介用一個平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的?實施過程一、問題情境與任務(wù) 用一個平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的? 1給出分類的原則(例如：按截面圖形的邊數(shù)分類)按照你的分類原則，能得到多少類不同的截面?設(shè)計一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫出示意圖 2如果截面是三角形，你認為可以截出幾類不同的三角形? 3如果截面是四邊形，你認為可以截出幾類不同的四邊形? *4證明上面的結(jié)果 *5截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條?請說明理由 *6截面可能是正多邊形嗎?可能有幾種?畫出示意圖 *7如果截面是三角形，其面積最大是多少?畫出示意圖 *8你

2、還能提出哪些相關(guān)的數(shù)學問題? 二、實施建議與說明 (一)該課題學習設(shè)計的意圖 1按課標要求，在高中階段至少要有一次數(shù)學探究活動和數(shù)學建?；顒樱顒拥拈_展是要有一個漸進的過程的，學生需要一個逐步適應(yīng)、了解、認識和自主探究、學習的過程，所以在本模塊設(shè)計該課題，是為實施更為完整的數(shù)學探究、數(shù)學建?；顒幼鰷蕚?2該課題涉及內(nèi)容：點、線、面的位置關(guān)系及直觀圖畫法涵蓋了立體幾何中相當多的概念、定理，本課題學習的過程是對立體幾何知識的一次全面的綜合應(yīng)用的過程 3該課題的學習很好地體現(xiàn)了立體幾何初步一章的基本要求：有助于認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及

3、幾何直觀能力 4在本章末安排該課題學習，一方面給學生提供了一個施展所學的舞臺；另一方面，也達到了借此課題的研究促進學生對所學的應(yīng)用和反思，加深對空間圖形的認識和理解 此外，該課題的學習有助于發(fā)展學生自主學習的能力，體驗數(shù)學研究的過程，認識數(shù)學研究中直觀和嚴謹、感性猜測和理性推理的關(guān)系，鼓勵學生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造力 (二)課題學習的實施建議 采用形式： 形式1 (能有效節(jié)省課時，但要求學生已初步具備一些自主探索、學習的經(jīng)驗和能力)： 首先分組(23人)進行課下討論研究，視學生情況，可建議學生通過實驗操作進行研究，最后形成小組的學習報告然后，根據(jù)學生的學習報告完成情況，在課上讓部分小組報告他們

4、所得到的結(jié)果、闡述理由，并回答教師或其他學生提出的問題，共同研究討論 形式2 (需要較多課時，適合于沒有自主探究、學習的習慣和經(jīng)驗的學生，有利于他們初步認識、了解自主學習的開展)： 讓學生課前準備幾個正方體模型，課堂上教師引導學生探索、討論、發(fā)現(xiàn)可以讓學生前后桌4人一組，對引導問題逐一研究討論，分組報告研究結(jié)果，闡述理由，并接受教師和其他學生的質(zhì)疑 對課上未能很好解決的問題，或是由此而引發(fā)的新的問題，可以布置給學生課下去探索、研究，并完成研究報告根據(jù)情況，可以適當安排時間讓學生報告 (三)教學實施中要注意的幾個問題 1無論是課下指導，還是在課上教學實施過程之中，教師都要注意引導學生從直觀、感性

5、的猜測到嚴密、理性的思考和推理論證上來，幫助學生認識到兩者在數(shù)學研究中的關(guān)系；注意引導學生積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長處和優(yōu)點，使學生學會欣賞別人，并從中吸取友誼經(jīng)驗；注意幫助學生清楚、一致地表述自己的觀點；注意幫助學生對自己的思維活動進行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動 2采用形式1時，教師應(yīng)注意及時了解學生研究的進展情況，加強對學生自主研究、學習的指導；對沒能在課上進行報告的小組，要進行及時的鼓勵性評價，積極肯定其長處并指出不足之處，做到關(guān)注每一個學生，目的是讓所有學生從中受益 3采用形式2時，教師除了要關(guān)注形式1中的要點外，還要特別注意教師的任務(wù)是引導學生進行主動研究、學習，而不是取而代之，自己給學

6、生講解此外，在布置的課下任務(wù)中，可以適當拓寬一些，不必僅局限于該課題學習內(nèi)容本身如： (1) 通過對正方體棱上的點確定的截面的作圖方法的了解，利用幾何畫板制作課件，通過課件進行研究 (2) 研究滿足某些特定條件的截面形狀及性質(zhì)：與棱平行的截面；與體對角線垂直的截面；等分正方體的截面等 (3) 一個裝有定量液體(不滿)的封閉中空的正方體隨著位置的某種規(guī)則(如：以一棱為軸旋轉(zhuǎn))變化，液體與正方體各接觸面的面積有怎樣的性質(zhì)，各接觸面之間有怎樣的關(guān)系?處于何位置時接觸面最小?何位置時液面面積最小? (4) 研究其他幾何體截面形狀 4幫助、指導學生完成課題學習報告 特別是以下幾個方面：課題學習中發(fā)現(xiàn)的新

7、問題，可拓展的或與其相關(guān)的問題；課題研究的自我評價，包括探究方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點、不足之處等；課題學習的反思和體會，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你學習借鑒的，某種特別的感受等 三、教學參考信息 1課題學習報告的結(jié)構(gòu)形式 若上表填寫時地方不夠，可以自己增加副頁，也可以自己設(shè)計一個研究報告的報表 2課題研究的部分結(jié)論 (1) 多邊形的種類：三角形、四邊形、五邊形、六邊形 (2) 截面三角形只能是銳角三角形(可以是等腰、等邊)如圖1-22，a2=b2+c2b2+c2,由余弦定理，所以邊a所對角為銳角， 同理可得其余角也為銳角或由圖可知邊a所對頂點在以a為直徑的圓外，所以該角為銳角，

8、同理其余角也為銳角 (3) 因為正方體的六個面中，有三對平行面，截面多邊形的邊是平面與正方體的面的交線，所以截面多邊形最多是六邊形，其中四邊形截面至少與一組平行面相交，所以四邊形中至少有一對邊平行截面多邊形可以是正方形、矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、其他梯形五邊形截面至少與兩組平行面相交，所以有兩組平行邊，所以必然有兩內(nèi)角相等六邊形截面一定與三組平行面都相交，所以必有三組平行邊，所以有三組相等內(nèi)角 (4) 截面多邊形可以是正三角形、正四邊形和正六邊形 建議教師提出下列相關(guān)引申的問題： 滿足特定條件的截面多邊形形狀： 與正方體一棱垂直的平面，截得的截面多邊形只能是正方形； 與正方體的一條棱平

9、行的平面，截出的截面多邊形只能有正方形、矩形； 與正方體的一體對角線垂直的平面，截得的截面多邊形只能有正三角形、各內(nèi)角相等的六邊形；過正方體中心的平面，截得的截面都是中心對稱的多邊形，具體的只能有正方形、矩形、菱形、平行四邊形、對邊相等的六邊形； 與正方體的一面對角線平行的平面，截得的截面多邊形只能是等邊三角形、等腰三角形、等腰梯形、正方形、矩形、菱形、可拆分成一個等腰三角形和等腰梯形的五邊形、可拆分成兩個等腰梯形的六邊形 截面一定不會是以下幾種多邊形 不可能是直角三角形和鈍角三角形(證略) 不可能是直角梯形 證明：如圖1-23，若HEF=90，又由正方體性質(zhì)可得ABHE，所以HE面ABD，所

10、以HEAA，所以AA面EFGH，所以AAGF，所以HEGF，與是梯形矛盾 不可能是正五邊形 證明：因為正方體有三對平行面，五條邊是截面與正方體六個面中的五個面的交線，其中至少有兩組平行面，由“一平面與平行平面的兩交線互相平行”知，至少有兩組平行邊，所以顯然不可能是正五邊形 3正方體水槽中的問題 側(cè)面： (1) 側(cè)面多邊形的種類：三角形、四邊形、五邊形 (2) 側(cè)面多邊形性質(zhì)：三角形只能是直角三角形；四邊形是直角梯形或矩形；五邊形必有且僅有相鄰三內(nèi)角為直角 (3) 正方體位置與側(cè)面形狀的關(guān)系 正方體一面著地時：側(cè)面多邊形為矩形 僅一條棱著地時： 含該棱或與該棱平行的一組側(cè)面為矩形，另一組側(cè)面為全

11、等直角三角形或直角梯形或五邊形； 若水的體積不變，形狀為直角三角形或直角梯形或五邊形的側(cè)面面積不隨傾斜度的變化而變化(即使形狀由梯形變到五邊形也不變)； 若水的體積不變，且一組側(cè)面為直角梯形時，另一組側(cè)面面積之和為定值，定值等于直角梯形面積的兩倍，或者說此時各側(cè)面面積之和不變； 若水的體積不變且一組側(cè)面為直角三角形時，另一組側(cè)面面積的積為定值 僅有一頂點著地時： 若過著地頂點的體對角線與地面垂直時，水側(cè)面多邊形僅有兩種：等腰直角三角形和五邊形； 若僅有三個側(cè)面時，則三側(cè)面都是直角三角形，且三個三角形的面積之積為定值 (水體積不變條件下) 水面與側(cè)面關(guān)系： 正方體中水面面積的平方等于水側(cè)面的三組相對面面積差的平方和(包括退化情形) 相似拓展問題： 正四面體的截面形狀有三角形(銳角或直角)、四邊形 四邊形截面只可以是正方形、矩形、等腰梯形、無平行邊的四