正方體截面的形狀

1、正方體截面的形狀簡介用一個平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的?實施過程一、問題情境與任務 用一個平面去截正方體(圖1-21)，截面的形狀是什么樣的? 1給出分類的原則(例如：按截面圖形的邊數分類)按照你的分類原則，能得到多少類不同的截面?設計一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫出示意圖 2如果截面是三角形，你認為可以截出幾類不同的三角形? 3如果截面是四邊形，你認為可以截出幾類不同的四邊形? *4證明上面的結果 *5截面多邊形的邊數最多有幾條?請說明理由 *6截面可能是正多邊形嗎?可能有幾種?畫出示意圖 *7如果截面是三角形，其面積最大是多少?畫出示意圖 *8你

2、還能提出哪些相關的數學問題? 二、實施建議與說明 (一)該課題學習設計的意圖 1按課標要求，在高中階段至少要有一次數學探究活動和數學建?；顒樱顒拥拈_展是要有一個漸進的過程的，學生需要一個逐步適應、了解、認識和自主探究、學習的過程，所以在本模塊設計該課題，是為實施更為完整的數學探究、數學建模活動做準備 2該課題涉及內容：點、線、面的位置關系及直觀圖畫法涵蓋了立體幾何中相當多的概念、定理，本課題學習的過程是對立體幾何知識的一次全面的綜合應用的過程 3該課題的學習很好地體現了立體幾何初步一章的基本要求：有助于認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及

3、幾何直觀能力 4在本章末安排該課題學習，一方面給學生提供了一個施展所學的舞臺；另一方面，也達到了借此課題的研究促進學生對所學的應用和反思，加深對空間圖形的認識和理解 此外，該課題的學習有助于發(fā)展學生自主學習的能力，體驗數學研究的過程，認識數學研究中直觀和嚴謹、感性猜測和理性推理的關系，鼓勵學生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造力 (二)課題學習的實施建議 采用形式： 形式1 (能有效節(jié)省課時，但要求學生已初步具備一些自主探索、學習的經驗和能力)： 首先分組(23人)進行課下討論研究，視學生情況，可建議學生通過實驗操作進行研究，最后形成小組的學習報告然后，根據學生的學習報告完成情況，在課上讓部分小組報告他們

4、所得到的結果、闡述理由，并回答教師或其他學生提出的問題，共同研究討論 形式2 (需要較多課時，適合于沒有自主探究、學習的習慣和經驗的學生，有利于他們初步認識、了解自主學習的開展)： 讓學生課前準備幾個正方體模型，課堂上教師引導學生探索、討論、發(fā)現可以讓學生前后桌4人一組，對引導問題逐一研究討論，分組報告研究結果，闡述理由，并接受教師和其他學生的質疑 對課上未能很好解決的問題，或是由此而引發(fā)的新的問題，可以布置給學生課下去探索、研究，并完成研究報告根據情況，可以適當安排時間讓學生報告 (三)教學實施中要注意的幾個問題 1無論是課下指導，還是在課上教學實施過程之中，教師都要注意引導學生從直觀、感性

5、的猜測到嚴密、理性的思考和推理論證上來，幫助學生認識到兩者在數學研究中的關系；注意引導學生積極地發(fā)現、吸納他人的長處和優(yōu)點，使學生學會欣賞別人，并從中吸取友誼經驗；注意幫助學生清楚、一致地表述自己的觀點；注意幫助學生對自己的思維活動進行反思、調節(jié)自己的思維活動 2采用形式1時，教師應注意及時了解學生研究的進展情況，加強對學生自主研究、學習的指導；對沒能在課上進行報告的小組，要進行及時的鼓勵性評價，積極肯定其長處并指出不足之處，做到關注每一個學生，目的是讓所有學生從中受益 3采用形式2時，教師除了要關注形式1中的要點外，還要特別注意教師的任務是引導學生進行主動研究、學習，而不是取而代之，自己給學

6、生講解此外，在布置的課下任務中，可以適當拓寬一些，不必僅局限于該課題學習內容本身如： (1) 通過對正方體棱上的點確定的截面的作圖方法的了解，利用幾何畫板制作課件，通過課件進行研究 (2) 研究滿足某些特定條件的截面形狀及性質：與棱平行的截面；與體對角線垂直的截面；等分正方體的截面等 (3) 一個裝有定量液體(不滿)的封閉中空的正方體隨著位置的某種規(guī)則(如：以一棱為軸旋轉)變化，液體與正方體各接觸面的面積有怎樣的性質，各接觸面之間有怎樣的關系?處于何位置時接觸面最小?何位置時液面面積最小? (4) 研究其他幾何體截面形狀 4幫助、指導學生完成課題學習報告 特別是以下幾個方面：課題學習中發(fā)現的新

7、問題，可拓展的或與其相關的問題；課題研究的自我評價，包括探究方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點、不足之處等；課題學習的反思和體會，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你學習借鑒的，某種特別的感受等 三、教學參考信息 1課題學習報告的結構形式 若上表填寫時地方不夠，可以自己增加副頁，也可以自己設計一個研究報告的報表 2課題研究的部分結論 (1) 多邊形的種類：三角形、四邊形、五邊形、六邊形 (2) 截面三角形只能是銳角三角形(可以是等腰、等邊)如圖1-22，a2=b2+c2b2+c2,由余弦定理，所以邊a所對角為銳角， 同理可得其余角也為銳角或由圖可知邊a所對頂點在以a為直徑的圓外，所以該角為銳角，

8、同理其余角也為銳角 (3) 因為正方體的六個面中，有三對平行面，截面多邊形的邊是平面與正方體的面的交線，所以截面多邊形最多是六邊形，其中四邊形截面至少與一組平行面相交，所以四邊形中至少有一對邊平行截面多邊形可以是正方形、矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、其他梯形五邊形截面至少與兩組平行面相交，所以有兩組平行邊，所以必然有兩內角相等六邊形截面一定與三組平行面都相交，所以必有三組平行邊，所以有三組相等內角 (4) 截面多邊形可以是正三角形、正四邊形和正六邊形 建議教師提出下列相關引申的問題： 滿足特定條件的截面多邊形形狀： 與正方體一棱垂直的平面，截得的截面多邊形只能是正方形； 與正方體的一條棱平

9、行的平面，截出的截面多邊形只能有正方形、矩形； 與正方體的一體對角線垂直的平面，截得的截面多邊形只能有正三角形、各內角相等的六邊形；過正方體中心的平面，截得的截面都是中心對稱的多邊形，具體的只能有正方形、矩形、菱形、平行四邊形、對邊相等的六邊形； 與正方體的一面對角線平行的平面，截得的截面多邊形只能是等邊三角形、等腰三角形、等腰梯形、正方形、矩形、菱形、可拆分成一個等腰三角形和等腰梯形的五邊形、可拆分成兩個等腰梯形的六邊形 截面一定不會是以下幾種多邊形 不可能是直角三角形和鈍角三角形(證略) 不可能是直角梯形 證明：如圖1-23，若HEF=90，又由正方體性質可得ABHE，所以HE面ABD，所

10、以HEAA，所以AA面EFGH，所以AAGF，所以HEGF，與是梯形矛盾 不可能是正五邊形 證明：因為正方體有三對平行面，五條邊是截面與正方體六個面中的五個面的交線，其中至少有兩組平行面，由“一平面與平行平面的兩交線互相平行”知，至少有兩組平行邊，所以顯然不可能是正五邊形 3正方體水槽中的問題 側面： (1) 側面多邊形的種類：三角形、四邊形、五邊形 (2) 側面多邊形性質：三角形只能是直角三角形；四邊形是直角梯形或矩形；五邊形必有且僅有相鄰三內角為直角 (3) 正方體位置與側面形狀的關系 正方體一面著地時：側面多邊形為矩形 僅一條棱著地時： 含該棱或與該棱平行的一組側面為矩形，另一組側面為全

11、等直角三角形或直角梯形或五邊形； 若水的體積不變，形狀為直角三角形或直角梯形或五邊形的側面面積不隨傾斜度的變化而變化(即使形狀由梯形變到五邊形也不變)； 若水的體積不變，且一組側面為直角梯形時，另一組側面面積之和為定值，定值等于直角梯形面積的兩倍，或者說此時各側面面積之和不變； 若水的體積不變且一組側面為直角三角形時，另一組側面面積的積為定值 僅有一頂點著地時： 若過著地頂點的體對角線與地面垂直時，水側面多邊形僅有兩種：等腰直角三角形和五邊形； 若僅有三個側面時，則三側面都是直角三角形，且三個三角形的面積之積為定值 (水體積不變條件下) 水面與側面關系： 正方體中水面面積的平方等于水側面的三組相對面面積差的平方和(包括退化情形) 相似拓展問題： 正四面體的截面形狀有三角形(銳角或直角)、四邊形 四邊形截面只可以是正方形、矩形、等腰梯形、無平行邊的四