函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性特征碼標(biāo)簽:特征碼冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（一）教案 教學(xué)目標(biāo) 1使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性 2通過函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識(shí)問題的能力通過例題培養(yǎng)學(xué)生利用定義進(jìn)行推理的邏輯思維能力 3通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判定 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、引入新課 師：請同學(xué)們觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)，然后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要區(qū)別是什么？ （用投影幻燈給出兩組函數(shù)的圖象） 第一組： 第二組： 生：第一

2、組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；第二組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而減小 師：（手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動(dòng)）對他（她）答得很好，這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別當(dāng)x變大時(shí)，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變小雖然在每一組函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì)我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時(shí)，就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的在函數(shù)的集合中，有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進(jìn)一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容 （點(diǎn)明本節(jié)課的內(nèi)

3、容，既是曾經(jīng)有所認(rèn)識(shí)的，又是新的知識(shí)，引起學(xué)生的注意） 二、對概念的分析 （板書課題：函數(shù)的單調(diào)性） 師：請同學(xué)們打開課本第51頁，請同學(xué)把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍 （學(xué)生朗讀） 師：好，請坐通過剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義，請同學(xué)們思考一個(gè)問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？ 生：我認(rèn)為是一致的定義中的“當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2）”描述了y隨x的增大而減少 師：說得非常正確定義中用了兩個(gè)簡單的不等關(guān)系“x1x2”和“f（x1

4、）f（x2）或f（x1）f（x2）”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)這就是數(shù)學(xué)的魅力！ （通過教師的情緒感染學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣） 師：現(xiàn)在請同學(xué)們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個(gè)函數(shù)y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會(huì)這種魅力 （指圖說明） 師：圖中y=f1（x）對于區(qū)間a，b上的任意x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f1（x1）f1（x），因此y=f1（x）在區(qū)間a，b上是單調(diào)遞增的，區(qū)間a，b是函數(shù)y=f1（x）的單調(diào)增區(qū)間；而圖中y=f2（x）對于區(qū)間a，b上的任意x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f2（x1）f2（x2），因此y=f2（x）在區(qū)間a，b上是單調(diào)遞減的，

5、區(qū)間a，b是函數(shù)y=f2（x）的單調(diào)減區(qū)間 （教師指圖說明分析定義，使學(xué)生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來，使新舊知識(shí)融為一體，加深對概念的理解滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學(xué)思想方法） 師：因此我們可以說，增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對應(yīng) （不把話說完，指一名學(xué)生接著說完，讓學(xué)生的思維始終跟著老師） 生：較大的函數(shù)值的函數(shù) 師：那么減函數(shù)呢？ 生：減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對應(yīng)較小的函數(shù)值的函數(shù) （學(xué)生可能回答得不完整，教師應(yīng)指導(dǎo)他說完整） 師：好我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵詞語，才能更透徹地認(rèn)

6、識(shí)定義？ （學(xué)生思索） 學(xué)生在高中階段以至在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關(guān)鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他各學(xué)科的重要一環(huán)因此教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，認(rèn)識(shí)問題的能力 （教師在學(xué)生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關(guān)鍵詞語處適當(dāng)加重語氣在學(xué)生感到無從下手時(shí)，給以適當(dāng)?shù)奶崾荆?生：我認(rèn)為在定義中，有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語 師：很好，我們在學(xué)習(xí)任何一個(gè)概念的時(shí)候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語，在學(xué)習(xí)幾個(gè)相近的概念時(shí)還要注意區(qū)別它們之間的不同增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應(yīng)的區(qū)間而言

7、的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性請大家思考一個(gè)問題，我們能否說一個(gè)函數(shù)在x=5時(shí)是遞增或遞減的？為什么？ 生：不能因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)值是一個(gè)數(shù) 師：對函數(shù)在某一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)（注意這四個(gè)字“唯一確定”），因而沒有增減的變化那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談?wù)撃骋粋€(gè)函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢？你能否舉一個(gè)我們學(xué)過的例子？ 生：不能比如二次函數(shù)y=x2，在y軸左側(cè)它是減函數(shù)，在y軸右側(cè)它是增函數(shù)因而我們不能說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù) （在學(xué)生回答問題時(shí)，教師板演函數(shù)y=x2的圖像，從“形”上感知） 師：好他（她）舉了一個(gè)例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”這說明函數(shù)的單

8、調(diào)性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù)因此，今后我們在談?wù)摵瘮?shù)的增減性時(shí)必須指明相應(yīng)的區(qū)間 師：還有沒有其他的關(guān)鍵詞語？ 生：還有定義中的“屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)”和“都有”也是關(guān)鍵詞語 師：你答的很對能解釋一下為什么嗎？ （學(xué)生不一定能答全，教師應(yīng)給予必要的提示） 師：“屬于”是什么意思？ 生：就是說兩個(gè)自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上取 師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點(diǎn)？ 生：可以 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要x1x2，f（x1）就必須都小

9、于f（x2），或f（x1）都大于f（x2） 師：能不能構(gòu)造一個(gè)反例來說明“任意”呢？ （讓學(xué)生思考片刻） 生：可以構(gòu)造一個(gè)反例考察函數(shù)y=x2，在區(qū)間-2，2上，如果取兩個(gè)特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）f（x2），若由此判定y=x2是-2，2上的減函數(shù)，那就錯(cuò)了 師：那么如何來說明“都有”呢？ 生：y=x2在-2，2上，當(dāng)x1=-2，x2=-1時(shí)，有f（x1）f（x2）；當(dāng)x1=1，x2=2時(shí)，有f（x1）f（x2），這時(shí)就不能說y=x2，在-2，2上是增函數(shù)或減函數(shù) 師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f（x）在

10、某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)的情況來判斷，而必須嚴(yán)格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數(shù)的增減性 （教師通過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學(xué)生加深對定義的理解在概念教學(xué)中，反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解概念，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力） 師：反過來，如果我們已知f（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大小即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立這恰是辯證法中一般和特殊的關(guān)系 （用

11、辯證法的原理來解釋數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)用數(shù)學(xué)知識(shí)去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內(nèi)涵和外延，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力） 三、概念的應(yīng)用 例1 圖4所示的是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？ （用投影幻燈給出圖象） 生甲：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間-5，-2，1，3上是減函數(shù)，因此-5，-2，1，3是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間；在區(qū)間-2，1，3，5上是增函數(shù)，因此-2，1，3，5是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間 生乙：我有一個(gè)問題，-5，-2是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，那么，

12、是否可認(rèn)為（-5，-2）也是f（x）的單調(diào)減區(qū)間呢？ 師：問得好這說明你想的很仔細(xì)，思考問題很嚴(yán)謹(jǐn)容易證明：若f（x）在a，b上單調(diào)（增或減），則f（x）在（a，b）上單調(diào)（增或減）反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說若f（x）在a， （增或減）反之不然 例2 證明函數(shù)f（x）=3x+2在（-，+）上是增函數(shù) 師：從函數(shù)圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象，但在理論上不夠嚴(yán)格，尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必須學(xué)會(huì)根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認(rèn)，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑 （指出用定義證明的必要性） 師：怎樣用定義證明呢？請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程 （教師巡視，并指定一名中等水平

13、的學(xué)生在黑板上板演學(xué)生可能會(huì)對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關(guān)系感到無從入手，教師應(yīng)給以啟發(fā)） 師：對于f（x1）和f（x2）我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，如果ab，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差ab就等于零；如果ab，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立因此我們可由差的符號來決定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系 生：（板演）設(shè)x1，x2是（-，+）上任意兩個(gè)自變量，當(dāng)x1x2時(shí)， f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）0， 所以f（x）是增函數(shù) 師：他的證明思路是清楚的一開始設(shè)x1，x2是（-，+）內(nèi)任意兩

14、個(gè)自變量，并設(shè)x1x2（邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并標(biāo)注“設(shè)”），然后看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關(guān)鍵，再對式子進(jìn)行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標(biāo)注”作差，變形”）但美中不足的是他沒能說明為什么f（x1）-f（x2）0，沒有用到開始的假設(shè)“x1x2”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號應(yīng)寫明“因?yàn)閤1x2，所以x1-x20，從而f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“定符號”）最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論

15、”（在相應(yīng)位置標(biāo)注“下結(jié)論”） 這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個(gè)步驟，請同學(xué)們記住需要指出的是第二步，如果函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也可以 小 （對學(xué)生的做法進(jìn)行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢在學(xué)生剛剛接觸一個(gè)新的知識(shí)時(shí)，思維定勢對理解知識(shí)本身是有益的，同時(shí)對學(xué)生養(yǎng)成一定的思維習(xí)慣，形成一定的解題思路也是有幫助的） 調(diào)函數(shù)嗎？并用定義證明你的結(jié)論 師：你的結(jié)論是什么呢？ 上都是減函數(shù)，因此我覺得它在定義域（-，0）（0，+）上是減函數(shù) 生乙：我有不同的意見，我認(rèn)為這個(gè)函數(shù)不是整個(gè)定義域內(nèi)的減函數(shù)，因?yàn)樗环蠝p函數(shù)的定義比如取x1（-，0），取x2（0，+），x1x

16、2顯然成立，而f（x1）0，f（x2）0，顯然有f（x1）f（x2），而不是f（x1）f（x2），因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù) 生：也不能這樣認(rèn)為，因?yàn)橛蓤D象可知，它分別在（-，0）和（0，+）上都是減函數(shù) 域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在（-，0）和（0，+）每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)因此在函數(shù)的幾個(gè)單調(diào)增（減）區(qū)間之間不要用符號“”連接另外，x=0不是定義域中的元素，此時(shí)不要寫成閉區(qū)間 上是減函數(shù) （教師巡視對學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題給予點(diǎn)拔可依據(jù)學(xué)生的問題，給出下面的提示： （1）分式問題化簡方法一般是通分 （2）要說明三個(gè)代數(shù)式的符號：k，x1x2，x2-x1 要注意在不等式兩邊同

17、乘以一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候，不等號方向要改變 對學(xué)生的解答進(jìn)行簡單的分析小結(jié)，點(diǎn)出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，引起全體學(xué)生的重視） 四、課堂小結(jié) 師：請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)該特別注意的？ （請一個(gè)思路清晰，善于表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中給予提示） 生：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語；在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)該注意證明的四個(gè)步驟 五、作業(yè) 1課本p53練習(xí)第1，2，3，4題 數(shù) =a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2） =（x1-x2）a（x1+x2）+b（*） +b0由此可知（*）式小于0，即f（x1）f（x2） 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要注意的一個(gè)性質(zhì)并且在比較幾個(gè)數(shù)的大小、對函數(shù)作定性分析、以及與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用上都有廣泛的應(yīng)用對學(xué)生來說，函數(shù)的單調(diào)性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質(zhì)學(xué)生對此有一定的感性認(rèn)識(shí)，對概念的理解有一定好處，但另一方面學(xué)生也會(huì)覺得是已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，感覺乏味因此，在設(shè)計(jì)教案時(shí)，加強(qiáng)了對概念的分析，希望能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、