求組合圖形面積的基本解法與思路（下）

1、求組合圖形面積的基本解法與思路（下）特征碼標簽:特征碼如果一個陰影部分所示的圖形既不是基本圖形，也不能通過分解、隔離、組合、平移、旋轉(zhuǎn)和割補等方法 轉(zhuǎn)化成基本圖形或其相加減的形式時，應(yīng)該怎么求解呢？如前面所介紹的方框圖所示，這時可運用一些特殊的 方法進行分析解答。 倍分比較法 有些求面積問題，往往已知甲圖形的面積卻要求乙圖形的面積，這時，可通過尋找甲乙兩圖形之間存在的 關(guān)系去求解。這個關(guān)系就是兩圖形面積之間的倍率（幾倍）或分率（幾分之幾）關(guān)系。這種思路往往是通過添 加合適的輔助線來構(gòu)成等底等高的三角形（或其它面積有倍分關(guān)系的圖形）來進行比較和解答的。 例如圖所示，三角abc的面積為平方厘米，d

2、、e、f分別為三條邊的四、五、六等分點。求三 角形def的面積。 （附圖 圖） （） 分析解答：根據(jù)題中的已知條件我們可推想，所求面積與已知面積之間存在著一種倍分關(guān)系，因為“兩三 角形如等高，則其面積之比等于相對應(yīng)底邊長的比”。所以，我們來“創(chuàng)造”這樣的三角形來幫助解答。連接 bd，由于afab，所以三角形afd的面積占三角形abd面積的，而三角形abd的面積又剛好是三角形 abc面積的（因為adac），所以，三角形afd的面積占三角形abc面積的分率為 。同理，三角形fbe和三角形ecd所占分率分別為， 。因此，所求三角形def面積所占的分率為，其面積為 （平方厘米）。 字母代換法 有些問題

3、直接用算術(shù)方法解答不方便，我們可以設(shè)字母來代換。這些字母可以是所求量，也可以是中間量 ，它們有時只起媒介作用，在求解過程中，作為一個整體或一個數(shù)參加運算，在計算中互相抵銷或被替代。有 時卻需要通過比較、代換等簡單代數(shù)運算求出它們所代表的數(shù)值后再尋求問題的答案。 例用一條長分米的鐵絲圍成一個平行四邊形的框架，要求它的兩條高分別為分米、分米 （如圖所示），這個平行四邊形的面積是多少？ （附圖 圖） （） 分析解答：條件中告訴了兩條高的長度。因為在同一平行四邊形中，由于面積一定，由“平行四 邊形面積底該底邊上的高”可看出：高與對應(yīng)的底邊成反比例關(guān)系，所以可以用設(shè)字母等量代換的方法進 行解答。設(shè)與兩條

4、高相對應(yīng)的底邊分別長a分米和b分米，面積為s平方分米，可得abs，as ，bs而“ab”為周長的一半，等于分米，所以有ss，即 s（）；因此，所求平行四邊形的面積為： （附圖 圖） 極端處置法 一般來說，任何事物既遵循某種規(guī)律，又有其特殊性，而其特殊性往往反映出了它的普遍性規(guī)律。在解答 有些問題時，我們可以用變化的觀點將圖形設(shè)想于某一特殊情形來考慮，這樣，往往能絕處逢生，找到解題途 徑。 例邊長分別為和的兩個正方形，如 （附圖 圖） （） 分析解答：此題是求兩個正方形未重疊部分的面積之差是多少。從圖中可看出，空白部分可大可小，直接 計算很難解答。如果我們這樣想：當這兩個正方形完全分離時，它們的

5、面積之差是。 當它們重疊時，就等于兩個正方形的面積都分別減去重疊部分的面積，由于減去的面積相同，故其差仍不變。 比例傳遞法 如果兩個長方形的長（或?qū)挘┫嗟?，那么，它們的面積與它們的寬（或長）對應(yīng)成比例。根據(jù)這一性質(zhì)， 我們有時可以通過長度之間的比例關(guān)系將已知的面積數(shù)量傳遞給未知的面積，也可以通過面積的比例關(guān)系將已 知線段的長度傳遞給未知線段。 例如圖所示，長方形被互相垂直的幾條線段分成九塊。其中號五塊的面積數(shù)與它們所標的代 號數(shù)相同，求這個長方形的面積。 （附圖 圖） （） 分析解答：如果能求出號四塊圖形的面積，問題就解決了。由圖可知：號圖形都與其相鄰長 方形或共長，或共寬。如號圖形與號圖形的

6、面積比等于號圖形與號圖形的面積比，等于：，即可 求得號圖形的面積為。同理可求出號圖形的面積分別為、和。所以，大長方形的面 積為： 重疊法 有些圖形中的陰影部分是由若干個基本圖形重疊而成的，且重疊遵循一定的規(guī)律，此類問題可用“重疊法 ”解答。 例求圖陰影部分的面積。 （附圖 圖） （） 先將原圖進行分解，可以看出：圖中陰影部分是在直角三角形內(nèi)，以兩底角頂點為圓心，圓心角為 的二個扇形的重疊部分構(gòu)成的。所以陰影部分面積可用兩圓心角為扇形的面積和減去直角三角形面積的 差來求得（如圖所示）。由此可見，若甲、乙兩圖形共同填滿丙圖形并且有部分重疊或多余，那么，這一部 分面積即為：甲面積乙面積丙面積。再如圖，四個半圓填滿正方形并重疊為“梅花瓣”狀陰影，求此陰 影部分面積即為：四個半圓面積之和減去正方形面積所得的差。 （附圖 圖） （） （附圖 圖） （） 上面介紹的是一些常用解組合圖形的方法和技