(完整版)誘導(dǎo)公式總結(jié)大全(最新整理)

1、誘導(dǎo)公式 1誘導(dǎo)公式的本質(zhì)常用的誘導(dǎo)公式公式一： 設(shè) 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot公式二： 設(shè) 為任意角，+ 的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot公式三： 任意角 與 - 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sin cos（）costan（）tan所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角 n(

2、/2) 的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角 的三角函數(shù)。cot（）cot公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2- 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot公式六： /2 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cotcot（/2）tan 誘導(dǎo)公式記憶口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 “奇、偶”指的是整數(shù) n 的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余 弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號(hào)

3、看象限”的含義是：把角 看做銳角，不考慮 角所在象限，看n(/2) 是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)。 一全正；二正弦；三兩切；四余弦 這十二字口訣的意思就是說(shuō)： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”， 其余全部是“”； 第三象限內(nèi)只有正切和余切是“”，其余全部是“”；第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“”。其他三角函數(shù)知識(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系tan cot1 sin csc1 cos sec1商的關(guān)系sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec平方關(guān)系sin2()cos2()11tan2()sec2()1

4、cot2()csc2()同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間 1的正六邊形為模型。倒數(shù)關(guān)系對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；商數(shù)關(guān)系六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘 積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tan（）(tantan )/(1tan tan) tan

5、（）(tantan)/(1tan tan)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincos cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2() tan22tan/(1tan2()半角的正弦、余弦和正切公式sin2(/2)(1cos)/2 cos2(/2)(1cos)/2 tan2(/2)(1cos)/(1cos) tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos萬(wàn)能公式sin2tan(/2)/(1tan2(/2) cos(1tan2(/2)/(1tan2(/2) tan(2tan(/2)/(1tan2(/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3() c

6、os34cos3()3costan3(3tantan3()/(13tan2()三 角 函 數(shù) 的 和 差 化 積 公 式sinsin2sin()/2) cos()/2) sinsin2cos()/2) sin()/2) coscos2cos()/2)cos()/2) coscos2sin()/2)sin()/2)三角函數(shù)的積化和差公式sincos0.5sin()sin() cossin0.5sin()sin() coscos0.5cos()cos() sinsin 0.5cos()cos()公式推導(dǎo)過(guò)程萬(wàn)能公式推導(dǎo)sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2()*，（因?yàn)?/p>

7、 cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除 cos2()，可得 sin22tan/(1tan2()然后用 /2 代替 即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。三倍角公式推導(dǎo)tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上 下 同 除 以 cos3()， 得 ： tan3(3tantan3()/(1-3tan2() sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()si

8、n2sin2sin3()sin2sin3()3sin4sin3() cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos 即sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos和差化積公式推導(dǎo)首先,我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a- b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相

9、減,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a- b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這 樣 , 我 們 就 得 到 了 積 化 和 差 的 四 個(gè) 公 式 : sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2

10、cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b 設(shè)為x,a-b 設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x- y)/2把 a,b 分別用 x,y 表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+

11、y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)誘導(dǎo)公式 2誘導(dǎo)公式是數(shù)學(xué)三角函數(shù)中將角度比較大的三角函數(shù)利用角的周期性，轉(zhuǎn)換為角度比較小的三角函數(shù)。目錄誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式記憶口訣同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法兩角和差公式二倍角公式半角公式萬(wàn)能公式誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式記憶口訣同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法兩角和差公式二倍角公式半角公式萬(wàn)能公式 萬(wàn)能公式推導(dǎo) 三倍角公式 三倍角公式推導(dǎo) 三倍角公式聯(lián)想記憶 和差化積公式 積化和差公式 和差化積公式推導(dǎo)展開(kāi)誘導(dǎo)公式【誘導(dǎo)公式】常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：（公式一公

12、式五函數(shù)名未改變， 公式六函數(shù)名發(fā)生改變）公式一：設(shè) 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： 弧度制下的角的表示：sin（2k）sin （kz） cos（2k）cos （kz） tan（2k）tan （kz） cot（2k）cot （kz） sec（2k）sec （kz） csc（2k）csc （kz） 角度制下的角的表示：sin (+k360)sin（kz） cos(+k360)cos（kz） tan (+k360)tan（kz） cot（+k360）cot （kz） sec（+k360）sec （kz） csc（+k360）csc （kz）公式二：設(shè) 為任意角，+ 的三角函數(shù)值與

13、的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：弧度制下的角的表示：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc（）csc角度制下的角的表示： sin（180+）sin cos（180+）cos tan（180+）tan cot（180+）cot sec（180+）sec csc（180+）csc 公式三：任意角 與 - 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc）csc 公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 弧度制下的角的表示：sin（）sin cos（）

14、cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc（）csc 角度制下的角的表示：sin（180）sin cos（180）cos tan（180）tan cot（180）cot sec（180）sec csc（180）csc公式五：利用公式一和公式三可以得到 2- 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 弧度制下的角的表示：sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cotsec（2）sec csc（2）csc 角度制下的角的表示： sin（360）sin cos（360）cos tan（360）tan cot（360）cot sec（360）sec csc

15、（360）csc小結(jié)：以上五組公式可簡(jiǎn)記為：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限.即 +k360（kz），180，360 的三角函數(shù)值，等于 的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把 看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。公式六：/2 及 3/2 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：（） /2 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系弧度制下的角的表示： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec（/2）csc csc（/2）sec 角度制下的角的表示： sin（90）cos cos（90）sin tan（90）cot cot（90）tan sec（90）csc csc（90）sec /2 與 的

16、三角函數(shù)值之間的關(guān)系弧度制下的角的表示： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec（/2）csc csc（/2）sec角度制下的角的表示： sin (90)cos cos (90)sin tan (90)cot cot (90)tan sec (90)csc csc (90)sec 3/2 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系弧度制下的角的表示： sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec（3/2）csc csc（3/2）sec 角度制下的角的表示： sin（270）cos cos（270）

17、sin tan（270）cot cot（270）tan sec（270）csc csc（270）sec 3/2 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系弧度制下的角的表示： sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec（3/2）sec csc（3/2）sec 角度制下的角的表示： sin（270）cos cos（270）sin tan（270）cot cot（270）tan sec（270）csc csc（270）sec溫馨提示：1.在做題目的時(shí)候，最好將 看成是銳角。 2.kz總結(jié)記憶：奇變偶不變，符號(hào)看象限。奇偶是針對(duì) k 而言的，變與不變是針對(duì)

18、三角函數(shù)名而言。誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于 k/2(kz)的三角函數(shù)值，當(dāng) k 是偶數(shù)時(shí)，得到 的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；當(dāng) k 是奇數(shù)時(shí)，得到 相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan.（奇變偶不變）然后在前面加上把 看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。（符號(hào)看象限） 例如：sin(2)sin(4/2)，k4 為偶數(shù)，所以取 sin。當(dāng) 是銳角時(shí)，2(270，360)，sin(2)0，符號(hào)為“”。所以 sin(2)sin 上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把 視為銳角時(shí)，角 k360+（kz），-、180，360

19、-所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正； 二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)”這十二字口訣的意思就是說(shuō)：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”；第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“” 上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦還有一種按照函數(shù)類(lèi)型分象限定正負(fù)：函數(shù)類(lèi)型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的關(guān)系：s

20、in/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平 方 關(guān) 系 ： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間 1的正六邊形為模型。（1） 倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；（2） 商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。（3） 平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方

21、。兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin余弦 .正切 .余切 .奇變偶不變，符號(hào)看象限同角三角函數(shù)基本關(guān)系二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式） sin22sincos cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2() tan22tan/1tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式） sin2(/2)(1cos)2 cos2(/2)(1cos)2 tan2(/2)(1cos)(1cos)另也有 tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos)萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式sin=2tan(

22、/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)萬(wàn)能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2()*，（因?yàn)?cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除 cos2()，可得 sin22tan/(1tan2()然后用 /2 代替 即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3() cos34cos3()3coscos（）coscossinsin cos（）coscossinsin ta

23、n（）(tan+tan)(1-tantan) tan（）(tantan)(1tantan)二倍角公式附推導(dǎo)：tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上 下 同 除 以 cos3()， 得 ： tan3(3tantan3()/(1-3tan2() sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin3()3sin4sin3() cos3cos(2)cos2cos

24、sin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos 即sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3 元 減 4 元 3 角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢(qián)”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4 元 3 角 減 3 元（減完之后還有“余”）注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。另外的記憶方法:正弦三倍角: 山無(wú)司令 (諧音為 三無(wú)四立) 三指的是3 倍sin, 無(wú)指的是減號(hào), 四指的是4 倍, 立指的是 sin 立方余弦三倍

25、角: 司令無(wú)山 與上同理和差化積公式三角函數(shù)的和差化積公式tan33tantan3()1 3tan2()=tantan(/3+)tan(/3-) 三倍角公式推導(dǎo)sinsin2sin()/2cos()/2 sinsin2cos()/2sin()/2 coscos2cos()/2cos()/2 coscos2sin()/2sin()/2積化和差公式三角函數(shù)的積化和差公式sin cos0.5sin()sin() cos sin0.5sin()sin() cos cos0.5cos()cos() sin sin0.5cos()cos()和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先,我們知道 sin(a+b)=sina

26、*cosb+cosa*sinb,sin(a- b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相減,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a- b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b

27、)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這 樣 , 我 們 就 得 到 了 積 化 和 差 的 四 個(gè) 公 式 : sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b 設(shè)為x,a-b 設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(

28、x- y)/2把 a,b 分別用 x,y 表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)反三角函數(shù)其他公式arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=-arccotxarcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotx

29、 sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 當(dāng) x-/2, /2 有 arcsin(sinx)=xx0, arccos(cosx)=xx(-/2, /2), arctan(tanx)=x x(0, ), arccot(cotx)=xx0, arctanx=/2-arctan1/x, arccotx 類(lèi)似若(arctanx+arctany)(-/2,/2),則arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)三角、反三角函數(shù)圖像六個(gè)三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)：sincsccossectancot三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：

30、-4py=sinx-5p 2-7p -3p-2p 2-3p -p 2yp3p- 2 12o pp-12 7p 2x2p 5p 3p4p2-4py=cosx-3p-7p 2-5p 2-2p-p-3p 2yp- p 12o p-123p23p2p5p2 7p24pxyy=tanxyy=cotx- 3p-p - p22o pp3px22-p- p2o pp3p222px函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定義域rrxxr 且pxk+,kz2xxr 且xk,kz值域p-1，1x=2k+2時(shí) ymax=1px=2k-時(shí) ymin=-12-1,1x=2k 時(shí)ymax=1 x=2k+ 時(shí)ym

31、in=-1r無(wú)最大值無(wú)最小值r無(wú)最大值無(wú)最小值周期性周期為 2周期為 2周期為 周期為 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性pp在2k-,2k+22上都是增函數(shù)；在p22k+,2k+23上都是減函數(shù)(kz)在2k-，2k 上都是增函數(shù)； 在2k，2k+上都是減函數(shù)(kz)pp在(k-，k+)22內(nèi)都是增函數(shù)(kz)在(k，k+)內(nèi)都是減函數(shù)(kz).反三角函數(shù)：arcsinxarccosxarctanxarccotx名稱反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)定義py=sinx(x-,2p的反函數(shù)，叫2做反正弦函數(shù)，記作 x=arsinyy=cosx(x0,)的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)，記作x=arccosypy=tanx(x(-,2p)的反函數(shù)，叫2做反正切函數(shù)，記作x=arctanyy=cotx(x(0,) 的反函數(shù)，叫做反余切函數(shù)，記作 x=arccoty理解arcsinx 表示屬于-p p,2 2且正弦值等于 x 的角arccosx 表示屬于0，且余弦值等于 x 的角arctanx 表示屬于(-p p,)，且正切值2 2等于 x 的角arccotx 表示屬于(0，)且余切值等于 x 的角性質(zhì)定義域-1，1-1，1(-，+)(-，+)值域pp-， 220，pp(-， )22(0，)單調(diào)性在