高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題四 數(shù)列 14_1 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理 新人教版

1、第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列,知識回顧】 1.等差數(shù)列 (1)通項(xiàng)公式:an=_=am+_. (2)等差中項(xiàng)公式:2an=_(nN*,n2). (3)前n項(xiàng)和公式:Sn=_=_,a1+(n-1)d,n-m)d,an-1+an+1,4)性質(zhì)(n,m,l,k,p均為正整數(shù)): 若m+n=l+k,則am+an=_(反之不一定成立);特別 地,當(dāng)m+n=2p時(shí),有am+an=_; 若an、bn是等差數(shù)列,則kan+tbn(k、t是非零 常數(shù))是等差數(shù)列,al+ak,2ap,等差數(shù)列的“依次每m項(xiàng)的和”即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍是等差數(shù)列,2.等比數(shù)列 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=_=_

2、. (2)等比中項(xiàng)公式:an2 =_(nN*,n2). (3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式: Sn,_(q=1)， _=_,(q1,a1qn-1,amqn-m,an-1an+1,na1,4)性質(zhì)(n,m,l,k,p均為正整數(shù)): 若m+n=l+k,則aman=_(反之不一定成立); 特別地,當(dāng)m+n=2p時(shí),有aman=_; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), =q(公比); Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,(Sm0)成等比數(shù)列,alak,ap2,易錯(cuò)提醒】 1.忽略條件致誤:應(yīng)用公式an=Sn-Sn-1時(shí)忽略其成立的條件n2,nN*. 2.不能準(zhǔn)確掌握數(shù)列的單調(diào)性致誤:等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù),等比數(shù)

3、列的單調(diào)性既要考慮公比q,又要考慮首項(xiàng),3.忽略對公比的討論致誤:求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),一定要先討論公比q是否為1,然后選用相應(yīng)的公式求解. 4.注意隱含條件:利用二次函數(shù)求an或Sn的最值時(shí),易忽略條件nN,考題回訪】 1.(2016全國卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=() A.100B.99C.98D.97,解析】選C.方法一:由題意可知, 解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98. 方法二:由等差數(shù)列性質(zhì)可知: S9= =9a5=27,故a5=3, 而a10=8,因此公差d= =1, 所以a100=a10+90d=98,2.(2015全國卷

4、)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=() A.5B.7 C.9D.11,解析】選A.a1+a3+a5=3a3=3a3=1,S5= =5a3=5,3.(2014全國卷)等差數(shù)列an的公差為2,若a2, a4,a8成等比數(shù)列,則an的前n項(xiàng)和Sn=() A.n(n+1) B.n(n-1) C. D,解析】選A.因?yàn)閐=2,a2,a4,a8成等比,所以a42=a2a8, 即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差數(shù)列的求和公式可求得Sn=n(n+1,4.(2016江蘇高考)已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a22=-3,S5

5、=10,則a9的值是_,解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由S5=10得a3=2,因?yàn)閍1+a22=-3,所以(2-2d)+(2-d)2=-3,整理解得d=3,所以a9=a3+6d=2+18=20. 答案:20,5.(2015全國卷)數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sn=126,則n=_,解析】因?yàn)閍n+1=2an,所以數(shù)列an是首項(xiàng)a1=2,公比q=2的等比數(shù)列,由Sn=126,可得n=6. 答案:6,熱點(diǎn)考向一等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算 命題解讀:主要考查利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,在這兩種數(shù)列中的五個(gè)基本量的“知三求二”運(yùn)算以及求最值,以選擇題、

6、填空題為主,典例1】(1)(2015全國卷)已知an是公差為1的 等差數(shù)列,Sn為an的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=() A. B. C.10 D.12,2)(2016全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a3=10, a2+a4=5,則a1a2an的最大值為_,解題導(dǎo)引】(1)依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解. (2)先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)建首項(xiàng)a1與公式q的方程組,求出a1,q,得到an的通項(xiàng)公式,再將a1a2 an表示為n的函數(shù),進(jìn)而求最大值,規(guī)范解答】(1)選B.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,則 S8=8a1+ =8a1+28, S4=4a1+ =4a1+6, 因?yàn)镾8=4S4

7、,即8a1+28=16a1+24, 所以a1= ,則a10=a1+(10-1)d,2)由于an是等比數(shù)列,設(shè)an=a1qn-1,其中a1是首項(xiàng),q是公比. 所以a1a2an,當(dāng)n=3或4時(shí), 取到最小值-6, 此時(shí) 取到最大值26. 所以a1a2an的最大值為64. 答案:64,規(guī)律方法】等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程組:把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體計(jì)算,以減少運(yùn)算量,題組過關(guān)】 1.(2016呂梁一模)已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則 等于 () A.

8、4B.6C.8D.10,解析】選C.設(shè)公差為d,則S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d, 因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列,所以S22=S1S4,即(2a1+d)2= a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,所以,2.(2016邯鄲一模)設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等 差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1= () A.2 B.-2 C. D.,解析】選D.因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列,所以S22=S1S4, 即(a1+a1-1)2=a1 ,解得a1=-,3.已知數(shù)列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),則數(shù)列an 的前9項(xiàng)和等于_

9、,解析】當(dāng)n2時(shí),an=an-1+ 且a2=a1+ ,所以an是 首項(xiàng)為1,公差是 的等差數(shù)列,所以S9=91+ =9+18=27. 答案:27,加固訓(xùn)練】 1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,若a1=2,S3=12,則a6=() A.8B.10C.12D.14 【解析】選C.由題意得, 解得 所以a6=a1+5d=12,2.(2016重慶一模)在等差數(shù)列an中,a1=2,a3+a5=10, 則a7=() A.5B.8C.10D.14 【解析】選B.設(shè)公差為d,因?yàn)閍1=2,所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得d=1, 所以a7=a1+6d=2+6=8,3.(2016唐山二模)

10、設(shè)x,y,z是實(shí)數(shù),若9x,12y,15z成 等比數(shù)列,且 成等差數(shù)列,則 =_,解析】由題意知 解得 從而 答案,熱點(diǎn)考向二等差(比)數(shù)列的性質(zhì) 命題解讀:主要考查利用性質(zhì)求解基本量及前n項(xiàng)和的最值問題,以選擇題、填空題為主,典例2】(1)(2016長沙一模)等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則S15的值為() A.180B.240C.360D.720,2)(2016開封一模)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,則m=() A.3B.4C.5D.6,解題導(dǎo)引】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式求解. (2)根據(jù)等比數(shù)列的

11、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,建立方程組即可解得m的值,規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列,所以 a4+a6+a8+a10+a12=5a8,又因?yàn)閍4+a6+a8+a10+a12=120,所 以5a8=120,S15= =15a8=3120=360,2)選C.在等比數(shù)列中,因?yàn)镾m-1=5,Sm=-11,Sm+1=21, 所以am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=21-(-11)=32, 則公比q= =-2, 因?yàn)镾m=-11, 所以 =-11, 又am+1=a1(-2)m=32, 兩式聯(lián)立解得m=5,a1=-1,規(guī)律方法】等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略 (

12、1)解題關(guān)鍵:抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解. (2)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì):數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題,題組過關(guān)】 1.(2016太原一模)在等差數(shù)列an中,有3(a3+a5)+ 2(a7+a10+a13)=48,則此數(shù)列的前13項(xiàng)和為() A.24B.39C.52D.104,解析】選C.因?yàn)?(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48, 利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得6a4+6a10=48, 所以a1+a13=a4+a10=8, 所以S13= =52,2.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,若數(shù)列 為遞減數(shù)列,

13、則() A.d0B.d0D.a1d0,解析】選D.由于數(shù)列 為遞減數(shù)列,得 再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a1ana1an-1,由等差數(shù)列的公差為d 知,an-an-1=d,所以a1ana1an-1,a1an-a1an-10,所以 a1(an-an-1)0,即a1d0,3.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+ log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=_,解析】方法一:各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中, a1a5=a2a4=a32=4,則a1a2a3a4a5=25, log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5 =lo

14、g225=5. 答案:5,方法二:各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中, a1a5=a2a4=a32=4, 設(shè)log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S, 則log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S, 2S=5log2(a1a5)=10,S=5. 答案:5,加固訓(xùn)練】 1.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則log3a1+log3a2+log3a10=() A.12B.10C.8D.2+log35,解析】選B.由題意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18 得a5a6=a4a7=9, 而log3a1+log3

15、a2+log3a10=log3(a1a2a10) =log3(a5a6)5=log3(9)5=log3310=10,母題變式】 1.若把本題中的條件“a5a6+a4a7=18“變?yōu)椤癮5a6+a4a7 +a3a8=18”,其他條件不變,求log3a1+log3a2+ log3a10的值,解析】由題意可知a5a6=a4a7=a3a8,又a5a6+a4a7+a3a8 =18得a5a6=a4a7=a3a8=6, 而log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10) =log3(a5a6)5=log3(6)5=5log36 =5log3(23)=5log32+5,2.若把本題中“則

16、log3a1+log3a2+log3a10=“改為“求log3a1+log3a4+log3a7+log3a10的值,解析】由題意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18得a5a6=a4a7=9, 而log3a1+log3a4+log3a7+log3a10=log3(a1a4a7a10) =log3(a4a7)2=log3(9)2=2log39=4,2.(2016銀川二模)等差數(shù)列an中的a1,a4 031是函數(shù) f(x)= x3-4x2+6x-1的極值點(diǎn),則log2a2 016=() A.2B.3C.4D.5,解析】選A.因?yàn)閒(x)=x2-8x+6, 所以a1+a4 031=8,即

17、2a2 016=8,所以a2 016=4, 所以log2a2 016=log24=2,3.(2016煙臺(tái)一模)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,且每一項(xiàng)都是正數(shù),若a1,a49是2x2-7x+6=0的兩個(gè)根,則a1a2a25a48a49的值為(,解析】選B.因?yàn)閍n是等比數(shù)列,且a1,a49是方程 2x2-7x+6=0的兩根,所以a1a49=(a25)2=3.而an0, 所以a25= .所以a1a2a25a48a49=(a25)5=9,4.(2016衡陽二模)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若-a2 0150,且S2 0170 C.a2 0150,且a2 0170,解析】選A.因?yàn)?a2 0150,a1

18、+a2 0170, S2 017= 0,5.若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+lna20=_,解析】方法一:各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中, a10a11=a9a12=a1a20,則a1a20=e5, lna1+lna2+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50. 答案:50,方法二:各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中, a10a11=a9a12=a1a20,則a1a20=e5, 設(shè)lna1+lna2+lna20=S, 則lna20+lna19+lna1=S, 2S=20ln(a1a20)=100,S=50. 答案:50,熱點(diǎn)考向三等差

19、(比)數(shù)列的判斷與證明 命題解讀:主要考查等差(比)數(shù)列的定義,三種題型都有可能出現(xiàn),如果出現(xiàn)在解答題的第一問,一般是為求通項(xiàng)作準(zhǔn)備,命題角度一等差數(shù)列的判斷與證明 【典例3】(2014全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中為常數(shù). (1)證明:an+2-an=. (2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由,題目拆解】 解答本題第(2)問,可拆解成三個(gè)小題: 假設(shè)存在,求的值; 求a2n-1,a2n的通項(xiàng)公式; 求an的通項(xiàng)公式,判斷an+1-an=常數(shù),規(guī)范解答】(1)由題設(shè),anan+1=Sn-1,得an+1an+2=Sn+1-1,兩式相減

20、得an+1(an+2-an)=an+1. 因?yàn)閍n+10,所以an+2-an,2)由題設(shè)a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1, 由(1)知,a3=+1. 若an為等差數(shù)列,則2a2=a1+a3,解得=4,故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列, a2n-1=4n-3,a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列,易錯(cuò)警示】解答本題易出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤: (1)忽略an+10,由an+1(an+2-an)=an+1直接得出an+2-an=. (2)由a2n-1是等差

21、數(shù)列,a2n是等差數(shù)列,直接得出數(shù)列an為等差數(shù)列,母題變式】 1.若把本例題的條件a1=1變?yōu)閍1=2,求解問題(2). 【解析】由題設(shè),a1=2,a1a2=S1-1,可得 a2= ,由(1)知a3-a1=,則a3=+2. 若an為等差數(shù)列,則2a2=a1+a3, 即2-1=2+(+2),解得=5,此時(shí)a1=2,a2= ,a3=7,所以等差數(shù)列 Sn-1= 顯然anan+1與Sn-1恒相等,所以存在=5,使得an為等差數(shù)列,2.在本例題(2)中是否存在,使得an為等比數(shù)列?并說明理由,解析】由題設(shè),a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1, 由(1)知,a3=+1. 若an為等比數(shù)列,則

22、a22=a1a3,即(-1)2=+1, 解得=0或3. 當(dāng)=0時(shí),由anan+1=Sn-1,得:anan+1=-1,又a1=1,所以a2=-1,a3=1,an=(-1)n-1. 所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為-1的等比數(shù)列, 當(dāng)=3時(shí),由a1=1,a2=-1=3-1=2,a3=+1=4,顯然an=2n-1,此時(shí)anan+1=2n-12n=22n-1,Sn-1= -1=32n-4,顯然anan+1與Sn-1不是 恒相等,與已知條件矛盾,所以3. 綜上可知:=0,命題角度二等比數(shù)列的判斷與證明 【典例4】(2016武漢一模)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=an-1(a0),則這個(gè)數(shù)列的特征是() A.

23、等比數(shù)列B.等差數(shù)列 C.等比或等差數(shù)列D.非等差數(shù)列 【解題導(dǎo)引】先求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)通項(xiàng)公式求解,規(guī)范解答】選C.因?yàn)镾n=an-1,所以a1=S1=a-1, 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=an-an-1=(a-1)an-1, 而a1=a-1適合上式.所以an=(a-1)an-1. 當(dāng)a=1時(shí),數(shù)列各項(xiàng)都為0,則數(shù)列是等差數(shù)列, 當(dāng)a1,0時(shí), 數(shù)列an是以a為公比的等比數(shù)列,規(guī)律方法】判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法 (1)定義法:對于n1的任意自然數(shù),驗(yàn)證an+1-an 為與正整數(shù)n無關(guān)的一常數(shù). (2)中項(xiàng)公式法: 若2an=an-1+an+1(nN*,n2),則an為等差數(shù)

24、列; 若an2=an-1an+1(nN*,n2),則an為等比數(shù)列,題組過關(guān)】 1.(2016鄭州一模)若正數(shù)a,b,c成公差不為零的等差數(shù)列,則() A.lga,lgb,lgc成等差數(shù)列 B.lga,lgb,lgc成等比數(shù)列 C.2a,2b,2c成等差數(shù)列 D.2a,2b,2c成等比數(shù)列,解析】選D.因?yàn)檎龜?shù)a,b,c成公差不為零的等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則b-a=c-b=d,則2b2a=2b-a=2d,2c2b=2c-b=2d,所以2b-a=2c-b,所以2a,2b,2c成等比數(shù)列,2.(2016合肥二模)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1= 2 an. (1)設(shè)bn= ,求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列. (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (3)設(shè)cn=an+1-2an,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn,解析】(1)an+1=2 an, 所以bn+1=2bn, 所以數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn是公比為2的等比數(shù)列,又b1= =a1=1, 所以bn=b12n-1=2n-1,所以 =2n-1,所以an=n22n-1,3)cn=(n+1)