《概率論課件第三章》PPT課件.ppt

1、1,第三章,隨機(jī)變量的數(shù)字特征,2,2.1 數(shù)學(xué)期望,引例,3.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義,某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊結(jié)果如下,10 10 9 9 9 8 8 8 8 8,則他的平均命中的環(huán)數(shù)為,3,若用X 表示他射擊時(shí)命中的環(huán)數(shù)，則X 是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布律可表示為,上面的 可理解為以概率為權(quán)數(shù)的“加權(quán)”平均值,我們稱之為隨機(jī)變量的“數(shù)學(xué)期望”或“均值,4,定義1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,5,關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明,3) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算 術(shù)平均值不同,1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加 權(quán)平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn) 了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正平均值, 也

2、稱 均值,2) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不 隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要 求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值 的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變,6,試問哪個(gè)射手技術(shù)較好,例1 誰的技術(shù)比較好,甲射手,乙射手,7,故乙射手的技術(shù)比較好,解,8,例2 泊松分布,則有,9,例3 袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出第一個(gè)合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X ,求E(X,X 的可能取值為0，1，2，3. 為求X 的分布律，先求取前面這些可能值的概率，易知,解,10,于是，得到 X 的分布律為,則有,

3、11,連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義,定義2,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值,12,例4 均勻分布,則,結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn),13,例5 指數(shù)分布,則,某電子元件的壽命X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布(單位：小時(shí)),求這類電子元件的平均壽命,由已知,X 的分布密度為,解,14,即這類電子元件的平均壽命為1000小時(shí),由 得,指數(shù)分布是常用的“壽命分布”之一，由上述計(jì)算可知，若一個(gè)電子元件的壽命服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則它的平均壽命為,15,解,例6 設(shè) (X ,Y ) 的聯(lián)合分布律為,16,事實(shí)上，我們不需要先求關(guān)于X 和Y 的邊緣分布律，可以直接由的聯(lián)合分布律求X 和Y 的數(shù)學(xué)期望,

4、17,1o當(dāng)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合分布律為 時(shí),2o當(dāng)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y )的概率函數(shù)為 時(shí),18,例7 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合密度為,求 和,解,19,問題的提出,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢,3.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,20,如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(

5、X)的分布，一般是比較復(fù)雜的,21,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢,下面的基本公式指出，答案是肯定的,類似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式,22,定理1: 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)，則,當(dāng)X為離散型時(shí),P(X= xk)= pk ; 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為 f(x,推廣到兩個(gè)以上r.v的基本公式，見教材,23,該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求Eg(X)時(shí), 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便,24,例8 設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為,解:利用定理1計(jì)算得,同理,25,例9 設(shè)隨機(jī)變量X

6、的分布密度為,求:(1) ;(2) 的數(shù)學(xué)期望,解:(1,2,26,例11 設(shè)(X,Y )服從以點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域 A上的均勻分布,試求函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望,解 三角形區(qū)域 A 如圖3-1, 易知 A 的面積為1，故,27,于是,28,1. 設(shè)C 為常數(shù), 則有,證,2. 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，k,b 是常數(shù), 則有,3.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),證 設(shè)X 的分布密度為 ，則,29,3. 設(shè) X、Y 是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則,證 設(shè) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 ,邊緣概率密度分別為 和 ,則,30,4. 設(shè) X、Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有,推廣,推廣 若 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有,31,例12 設(shè)

7、隨機(jī)變量 的分布密度分別為,1)求,2)若設(shè) 相互獨(dú)立，求,解 (1,32,2,33,3)由 相互獨(dú)立，易得,小 結(jié),數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù), 而非變量,它是一種加權(quán)平均, 與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值,34,2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),35,常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,36,常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,37,3.2方 差,一、方差的定義,38,方差是一個(gè)非負(fù)值，常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取值越分散, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 則表示X 的取值比較集中,以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好,說 明,39,由

8、方差的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)方差實(shí)際上就是隨機(jī)變量的函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望，于是,離散型隨機(jī)變量X 的方差,連續(xù)型隨機(jī)變量X 的方差,其中 為X 的分布密度,40,證明,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得到計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)便公式,41,例1 甲、乙兩人射擊結(jié)果分別用X、Y 表示（單位：分）。經(jīng)統(tǒng)計(jì)得X 和Y 的分布律如下,試問二人誰更穩(wěn)定些,解 由 得,由 得,可見，二人平均水平相當(dāng)，但甲更穩(wěn)定些,42,例2 設(shè)X 服從區(qū)間上 的均勻分布，求,解 在上一節(jié)例3中已求得 ，而,于是,43,進(jìn)而,例3 設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,求,解 X 的分布密度為,44,證明,二、 方差的性質(zhì),1、設(shè) C 是常數(shù),

9、則有,2、設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù), 則有,證明,45,4、設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則,特別地， 若 X, Y 相互獨(dú)立, 則有,證明,46,X,Y 相互獨(dú)立時(shí),從而有， X,Y 相互獨(dú)立時(shí),事實(shí)上，“相互獨(dú)立的隨機(jī)變量其各自的函數(shù)間，仍然相互獨(dú)立”.這是一個(gè)很有用的結(jié)論,47,推廣,48,解 利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)得,49,我們稱數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的變量為標(biāo)準(zhǔn)化變量，且稱 為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化。由于標(biāo)準(zhǔn)化變量是無量綱的，所以可用于不同單位的量的比較，因而在統(tǒng)計(jì)分析中有著廣泛的應(yīng)用,50,3.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),3.3.1 協(xié)方差,問題的提出,51,定義,設(shè)(X,Y )為二維

10、隨機(jī)變量，若,存在，則稱它為隨機(jī)變量X 與Y 的協(xié)方差,記作 或 ，即,52,由協(xié)方差的定義易知協(xié)方差具有下列性質(zhì),1,2,5、若X 和Y 相互獨(dú)立，則,7,6,3,4,常用作協(xié)方差的計(jì)算公式,53,例1 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律為,解 由已知易得X,Y 以及XY 的分布律分別為,54,進(jìn)一步有,于是,55,例2 設(shè)二維隨機(jī)變量(X ,Y )的概率密度函數(shù)為,求 ，,解 因?yàn)?56,所以,又,利用對(duì)稱性易得,所以,57,3.3.2 相關(guān)系數(shù),協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互間的關(guān)系，但它還受 X 與Y 本身度量單位的影響. 例如,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y,為了

11、消除量綱的影響，我們可將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化,可以驗(yàn)證,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量消除了量綱的影響,58,定義,設(shè) D(X)0, D(Y)0,計(jì)算公式,特別地，當(dāng) 時(shí)，稱 X 與Y 不相關(guān),59,思考 隨機(jī)變量的不相關(guān)與相互獨(dú)立之間存在怎樣的聯(lián)系呢,不難看到，若X 與Y 相互獨(dú)立，那么協(xié)方差為0，即X 與Y 相互獨(dú)立時(shí)，X 與Y 一定不相關(guān).那么反之是否成立呢？看下面例題,例3 若 ，且 ，問X 與Y 是否不相關(guān)？是否獨(dú)立,60,解 因?yàn)閄 分布密度為偶函數(shù)，所以,于是,進(jìn)一步，有,這說明與是不相關(guān)的,61,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1,證,性質(zhì)2,證,62,性質(zhì)2,證,63,相關(guān)系數(shù)是隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)

12、度量(參見如下的示意圖, |的值越接近于1, Y與X 的線性相關(guān)程度越高, |的值越接近于0, Y與X 的線性相關(guān)程度越弱,64,我們已知道如下命題,注意,以上逆命題一般不成立,即X與Y 不相關(guān)時(shí),不 一定獨(dú)立.然而，在正態(tài)分布的場(chǎng)合,獨(dú)立性與不相 關(guān)性是一致的,若X與Y 相互獨(dú)立，則X與Y 不相關(guān),65,二維正態(tài)分布,由前面章節(jié)討論可知,66,67,68,結(jié)論,69,3.3.3 矩,其中 k 是正整數(shù),協(xié)方差Cov(X,Y)是X 和Y 的二階混合中心矩,稱它為X和Y 的k+l 階混合(原點(diǎn))矩,稱它為X和Y的k+l 階混合中心矩,設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若,70,在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：

13、有時(shí)候一個(gè)有限的和很難求, 但一經(jīng)取極限由有限過渡到無限,則問題反而好辦.例如, 若對(duì)某一 x ,要計(jì)算和,而一經(jīng)取極限，則有,簡(jiǎn)單的結(jié)果,3.4大數(shù)定律與中心極限定理,71,事實(shí)證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見正態(tài)分布的重要性。對(duì)和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理的研究，在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱。本章將列述這類定理中最簡(jiǎn)單，然而也是最重要的情況,72,73,3.4.1 切比雪夫不等式,或,74,3.4.2 大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律,設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的

14、方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2,切比雪夫,則對(duì)任意的 有,或,75,證,兩邊夾,即得結(jié)論,76,解釋,取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1,77,推論（伯努利大數(shù)定律,或,伯努利,下面給出的伯努利大數(shù)定律, 是定理1的一種特例,設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 ,有,78,引入,i =1,2,n,則,而,由切比雪夫大數(shù)定律,79,是事件A發(fā)生的頻率,伯努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小,這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋,歷史上，伯努利第一個(gè)研究了這種類型的極限定理

15、，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認(rèn)為，概率論的真正歷史應(yīng)從出現(xiàn)伯努利大數(shù)定律的時(shí)刻算起,80,下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在,設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,補(bǔ)充定理（辛欽大數(shù)定律,辛欽,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑,81,例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì),82,中心極限定理的客觀背景,在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)

16、生總影響,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響,3.4.3 中心極限定理,83,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見,84,中心極限定理，正是從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來說，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇

17、到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位,85,下面介紹幾個(gè)常用的中心極限定理,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理,86,由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限,87,定理3（獨(dú)立同分布的中心極限定理,88,證略,89,此定理說明,當(dāng)n充分大時(shí),有,或,90,上述定理也稱列維一林德伯格(Levy-Lindberg)定理,下面給出上述定理的一個(gè)重要特例,定理4（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ， ，記 ，則,91,

18、或,即有近似計(jì)算公式,92,解,由德莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有,良種數(shù),93,94,設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬個(gè)人參加投保,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬元,問:(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40,60,80萬元的概率各是多少,某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率,補(bǔ) 充 例 題,1. 將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻,2,3,95

19、,假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立,問對(duì)序列Xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律,1)設(shè),k = 1,2,在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球, 從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼,4,5,1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概率,2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品,96,2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95,3) 用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率,97,將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻,解 設(shè)X為10000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù),若硬幣是均勻的, 則,XB(10000, 0.5,1,由D-L定理,此概率接近于0，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的,98,某射手打靶,得10分、9分、8分、7分、6分的概率分別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn)獨(dú)立射擊100次,求總分在900分與930分之間的概率,2,解,由中心極限定理,99,100,3,設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬個(gè)人參