34“彈簧與物塊的分離”模型

1、“彈簧與物塊的分離”模型太原市第十二中學 姚維明模型建構：兩個物體與彈簧組成的系統(tǒng)。兩個物體在運動到某一位置時就會分開，那么這個位置就 是物體間的分離點?！灸Ｐ汀繌椈膳c物塊的分離【特點】都要建立動力學方程；分離條件是：相互作用的彈力Fn=O這個問題可以分成兩類“模型”：【模型i】水平面上“彈簧與木塊的分離”模型r如圖1，B與彈簧相連，而A、B是緊靠在一起的A兩個物體，當彈簧原來處于壓縮狀態(tài)，如果地面是光滑A e艸訶即腫他側y的，則物體A、B在向左運動的過程中A、B何時分離。丿川解析物體應在彈簧的原長處分離。由于水平面圖1光滑，當彈簧從壓縮狀態(tài)回到自然伸長位置時，一直加速運動。當它剛剛回到平衡位

2、置時，物塊B受的彈力為阻力，開始減速。而物塊 A不受外力做勻速直線運動。 VA VB此時A、B分離。【體驗1】但是如果物體與地面之間是不光滑的，題目條件如模型1。試討論分離條件。解析假設A、B在某一位置分離，此時刻兩物體的相互作用力為零Fab=O同時，兩物體的加速度相同。則 aAAg ； aBkx BgmB所以x J一B)gk討論：(1) 如果 A等于b或均為零；X等于零。兩物體在 O點分離;(2)如果A大于b，X大于零，兩物體在 O點的右側分離;(3)如果A小于b，X大于零，兩物體的分離點在O點的左側。點評兩物體分離的條件是：相互間的彈力Fn=O等于零；兩物體瞬時加速度相等?！灸Ｐ?】豎直面

3、上“彈簧與木塊的分離”模型如圖2所示，輕質彈簧上面固定一塊質量不計的薄板，在薄板上放重物, 用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，重物何時與木板分離？解析當物體分離時，物體間的彈力Fn=0物塊只受重力，物塊的加速度為g，木板的加速度也為 g彈簧的狀態(tài)應為原長，即彈簧恢復原長時，二者分離 此時物塊與薄板有共同的加速度。從動力學的角度可以得到，豎直方向的彈簧類問題兩物體的分離點是在彈簧的原長處。模型典案：【典案1】A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，如圖3所示，已知木塊 A、B質量分別為0.42 kg和0.40 kg，彈簧的勁度系數(shù) k=100 N/m，若在木塊A上作用一個豎直向上的力 F，

4、使A由靜止開始以0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速運動( g=10 m/s2)(1) 使木塊A豎直做勻加速運動的過程中，力F的最大值；(2) 若木塊由靜止開始做勻加速運動，直到A、B分離的過程中，彈簧的彈性勢能減 少了 0.248 J，求這一過程 F對木塊做的功。解析(1)設A、B疊放在彈簧上處于平衡時彈簧的壓縮量為x有 kx=(mA+mB)g，所以 x=( mA+mB)g/k對A施加向上的F力，分析A、B受力如圖4對 A : F+FN-mAg=mAa對 B: kx-FN-mBg=mBaz可知，當Fn工0時，AB有共同加速度a=a，由式知欲使A勻加速運動，隨Fn減小F增大，當Fn=0時，

5、F取得了最大值Fm，即Fm=mA (g+a) =4.41 N(2)又當Fn=0時，A、B開始分離，由式知，此時彈簧壓縮量kx =bti(a+g)即 x =m (a+g) /kAB共同速度v2=2a (x-x )由題知，此過程彈性勢能減少了Wp=Ep=0.248 J設F做功Wf，對這一過程應用動能定理或功能原理1Wf+Ep- ( mA+mB) g (x-x )=勺(mA+m b) v2聯(lián)立，且注意到Ep=0.248 J可知，Wf=9.64 狗2 J點評此題命題意圖是考查對物理過程、狀態(tài)的綜合分析能力。難點和失分點在于能 否通過對此物理過程的分析后， 確定兩物體分離的臨界點， 即當彈簧作用下的兩物

6、體加速度、速度相同且相互作用的彈力Fn=0時，恰好分離?！景咐?】如圖5所示，輕彈簧上端固定，下端連接一質量為m的重物，先由托盤托住 m，使彈簧比自然長度縮短L，然后由靜止開始以加速度a勻加速向下運動。已知ag，彈簧勁度系數(shù)為k，求經過多少時 間托盤M將與m分開？【解析】當托盤與重物分離的瞬間，托盤與重物雖接觸但無相互作 用力，此時重物只受到重力和彈簧的作用力在這兩個力的作用下，當重物的加速度也為a時，重物與托盤恰好分離。由于a0.4 m / s=1.5 m / sWfmg對 A 全 程 由 動 能 定 理 得2(xi+x2)=mv解得：Wf=49.5 J也可用能量守恒求解：在力作用的0.4s

7、內，在初末狀態(tài)有 X1=X2，所以彈性勢能相等，由能量守恒知，外力做 了功，將其它形式的能轉化為系統(tǒng)的重力勢能和動能。即：【典案4】如圖7質量為mA=10kg的物塊A與質量為mB=2kg的物塊放在傾角為 30 光滑斜面上，處于靜止狀態(tài)，輕彈簧一端與物塊B連接，另一端與固定檔板連接，彈簧的勁度系數(shù)為K=400N/m，現(xiàn)給物塊A施加一個平行與斜面向上的力F，使物塊A沿斜面向上做勻加速直線運動，已知力 F在前0.2s內是變力，0.2s后為恒力，求力 F的最大值和最小值。(g=10m/s2)【解析】原系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，則M與m受合外力為零，設此時彈簧壓縮量為 X。即：(m+M)gsin30 0=kx0

8、貝U:X0=0.15m由靜止開始向上勻加速運動，m與M在00.2S內整體向上有共同的加速度a.設經時間為t，則在t內在 0 0.2S 內以 m 與 M 為整體：F+K(X 0-S)-(m+M)gsin30 0=(m+M)a1當 t=0.2s 時 s= a 0.2)2=0.02a2由、得：F+(0.15-0.02a)猱00-60=(m+M)a分析可知在0.2s后F為恒力，此狀況只有 m與M分離可存在在上=0.2 s后，對m有：F mgsin300 = ma，(此時力F也為0.2 s瞬間的力)F=(g /2+a)m2 由得：a= 5m/s .分析可知F最小力應是在t = 0時，即：F min=(m

9、+M)a=(2+10)5=60N在t=0.2s以后力有最大值即:Fmax=(g/2+a) m=(10/2+5) 10=100N【典案5】質量為M=6Kg的小車放在光滑的水平面上，物塊A和B的質量均為 m=2Kg且均放在小車的光滑水平底板上，物塊A和小車右側壁用一根輕彈簧連接，不會分離，如圖8所示，物塊A和B并排靠在一起，現(xiàn)用力向右壓B并保持小車靜止，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，在此過程中外力做功270J。撤去外力，當 A和B分開后，在A達到小車底板的最左端位置之前，B已從小車左端拋出，1BffWIWtNWr1IL-0-O求: (1) B與A分離時，小車的速度多大？(2) 從撤去外力至 B與A分離時，A

10、對B做了多少功？(3) 假設彈簧伸到最長時 B已離開小車。A仍在車上，則此時彈簧的彈性勢能是多大？解析(1)分析可知 A、B分離時應在彈簧恢復為原長時，此時AB有共同速度為V1，設車速為V2，接觸面均光滑，動量守恒，取向右為正，O = M V22m V11 2 1 2又機械能守恒：E p= _Mv； + _2mv；2 2由得：V1= 9m/s， V2 = 6m/s(2) A對B做的功應為E的動能增量：1 2Wb=E bk =mw -0 = 81J2(3) A與B分離后，A的速度不變，彈力對A與M作負功。彈簧最長時，令A的速 度為v 3，A與M有共同速度，動量再次守恒，有：取向右為正：M V2一

11、 m V1 =(M+m) V31第二次機械能守恒：-M mv；+E p/= 189J2 3由得：EP = 168.75 J模型體驗：【體驗1】用木板托住物體 m，并使得與m連接的彈簧處于原長，手持木板M向下以加速度a (ag)做勻加速運動，如圖 9。求物體m與木板一起做勻加速運動的時間 解析m在與M 起向下做勻加速運動過程中，m受到彈簧的彈力不斷增大，板M對m的支持力不斷減小，重力保持不變。m與板M分離的條件為板 M對m的支持力Fn恰好為零，且此時 m與M 運動的加速度恰還相等。設：m與M分離經歷t時間，彈簧伸長為 x:mg kx = ma解得：x =迪衛(wèi)k1 2又因為：x = at2所以 t

12、- 2m(g a) a【體驗2】如圖10所示，輕質彈簧上面固定一塊質量不計的薄板，在薄板上放重物,則在彈射過用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，則重物將被彈簧彈射出去,程中(重物與彈簧脫離之前)重物的運動情況是()A. 一直加速運動B.勻加速運動C.先加速運動后減速運動D 先減速運動后加速運動【解析】物體的運動狀態(tài)的改變取決于所受合外力所以，對物體進行準 確的受力分析是解決此題的關鍵，物體在整個運動過程中受到重力和彈簧彈 力的作用.剛放手時，彈力大于重力，合力向上，物體向上加速運動，但隨 著物體上移，彈簧形變量變小，彈力隨之變小，合力減小，加速度減小；當mi建構物理模型，巧手探析題目

13、 彈力減至與重力相等的瞬間，合力為零，加速度為零，此時物體的速度最大；此后，彈力繼 續(xù)減小，物體受到的合力向下，物體做減速運動，當彈簧恢復原長時，二者分離.正確答案：C【體驗3】如圖11所示，一根輕質彈簧兩端與質量分別為mi和m2的木塊相連，豎直放置在水平地面上。問：至少要向下壓多大的力F于mi上，才可以使突然撤去外力F后m2恰好離開地面？解析m2恰好離開地面的臨界條件是彈簧比原長再伸長X2，且kx2=m2g和mi速度為零。設未加壓力F時，彈簧的壓縮量為 xo；加壓力F時，彈簧的壓縮量為 xi，則： kxo=mig kxi=F+mig應用簡諧運動的對稱性求解：m2不離開地面，mi做簡諧運動，則

14、振幅：A=x i xo= xo + X2所以 Xi=X2+2X0=mi 迥k k加壓力F時，F(xiàn)+mig=kxi二 F=kxi mig=(mi+m2)g點評物體與彈簧組成的系統(tǒng)做簡諧運動時，具有明顯的對稱性，這類題一般用對稱性 來求解會簡單得多?！倔w驗4】如圖所示，質量為 m的物體A用一輕彈簧與下方地面上質量也為m的物體B相連，開始時A和B均處于靜止狀態(tài)，此時彈簧壓縮量為 xo, 一 條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連接物體A、另一端C握在手中，各段繩均處于剛好伸直狀態(tài)，A上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長?，F(xiàn)在 C端施水平恒力 F而使A從靜止開始向上運動。(整 個過程彈簧始終處在彈性限度以內)(

15、1) 如果在C端所施恒力大小為 3mg，則在B物塊剛要離開地 面時A的速度為多大？(2) 若將B的質量增加到2m，為了保證運動中 B始終不離開 地面，則F最大不超過多少？1解析由題意可知：彈簧開始的壓縮量 x0，在B物塊剛要離開地面時彈簧的k伸長量也是X。k(i)若F=3mg，在彈簧伸長到X。時，B開始離開地面，此時彈簧彈性勢能與施力前相 等，F(xiàn)所做的功等于A增加的動能及重力勢能的和。即F 2xo mg 2x。i mv2可解得：v 2 2gx。(2)所施力為恒力Fo時，物體B不離開地面，類比豎直彈簧振子，物體A在豎直方向上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力。故物體A做簡諧運動。在最低點

16、：Fo mg+kxo=mai式中k為彈簧勁度系數(shù)，ai為在最低點A的加速度。在最高點，B恰好不離開地面，此時彈簧被拉伸，伸長量為2xo，則:K ( 2xo) +mg Fo=ma2考慮到：kxo=mg簡諧運動在上、下振幅處ai=a23mg解得：Fo= 2也可以利用簡諧運動的平衡位置求恒定拉力Fo。物體A做簡諧運動的最低點壓縮量為xo,最高點伸長量為 2xo，則上下運動中點為平衡位置，即伸長量為所在處。,.x0 l3mg由： mg kF解得：Fo=2 2【點評】區(qū)別原長位置與平衡位置。與原長位置對應的形變量與彈力大小、方向、彈性 勢能相關；與平衡位置對應的位移量與回復大小、方向、速度、加速度相關。

17、【體驗5】如圖12所示，光滑的水平面上有m A=2,m B = mc=lkg的三個物體,用輕彈簧將A與E連接，在A、C兩邊用力使三個物體靠近，A、B間的彈簧被壓縮，此過圖12程外力做功7 2 J，然后從靜止釋放。求：(1) 當物體B、C分離時，B對C做的功有多少？(2) 當彈簧再次被壓縮到最短而后又伸長到原來時，A、B的速度各是多大？而彈簧再次被壓縮到最1解析此題關鍵是判斷出B與C分離條件為彈簧恢復到原長,短條件為A、B同速且向右。(1)當B、C分離時彈簧恢復到原長,由動量守恒： mAVA =( mB + me) vbc由機械能守恒:1 2 1mAVA2 +2 2(mB + me) vbc2=

18、72JB 對 C 做功：Wbc = me vbc 22由得： va = vbc = 6m/s, Wbc= 18J(2)當彈簧壓縮到最短時，A、B同速方向向右，則有:mAVA-mBVBc=( mA + mB) v, v=2m/s設彈簧再次伸長到原長時，A、B速度分別為v1和v 2,則:(mA+ mB) v= mAV1 + mBV21 2 1 2 1 272 mcvBc = mAV1 + mBV22 2 2由得：V1=2m/s，向左；V2=10m/s，向右或 V1 = 6m/s，向右；V2=6m/s, 向右注意(2)求的速度是矢量，最后方向不可丟失，解題要嚴謹。【體驗6】如圖，質量為 m1的物體A

19、，通過一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為 k, A . B都處于靜止狀態(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向。現(xiàn)在掛鉤上掛一質量為 m3的物體C并從靜止狀態(tài)釋放， 已知它恰好能使 B離開地面 但不繼續(xù)上升。(1)求物體C下降的最大距離。(2)若將C換成另一個質量為(m“ m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態(tài)釋放，則這次 已知重力加速度為 g?！窘馕觥块_始時，A、B靜止，設彈簧壓縮量為B剛離地時D的速度的大小是多少?X1，有 kx1meB剛要離地時彈簧伸掛C并釋放后，C向下運動，A

20、向上運動，設長量為x2,有 kx2m2gB不再上升，表示此時 A和C的速度為零，C已降到其最低點.由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增加量為E=m3g(xi X2) gg(xi X2)C換成D后，當B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關系得1 2 1 22(譏 m) u miu (m3 m)g(x x?) mg% x?) e聯(lián)立解得u=阿1(心2)(2mi m(3)k【體驗7】如圖所示，擋板 P固定在足夠高的水平桌面上，小物塊A和B大小可忽略,它們分別帶有+Qa和+Qb的電荷量，質量分別為mA和mB。兩物塊由絕緣的輕彈簧相連, 不可伸長的輕繩跨過滑輪， 一端與B連接，另一端連

21、接一輕質小鉤。 整個裝置處于場強為 E、方向水平向左的勻強電場中。 A、B開始時靜止，已知彈簧 的勁度系數(shù)為k，不計一切摩擦及 A、B間的庫侖力，A、 B所帶電荷量保持不變，B不會碰到滑輪。(1) 若在小鉤上掛一質量為 M的物塊C并由靜止釋放，可 使物塊A恰好能離開擋板 P，求物塊C下落的最大距離；(2) 若C的質量改為2M，則當A剛離開擋板P時，B的速度多大?【解析】(1)開始平衡時有：kx1 EQbEQbK當A剛離開檔板時：kx2 EQa可得X2EQaK故C下落的最大距離為：h為 x2由式可解得h=E (Qb Qa)K(2)由能量守恒定律可知：C下落h過程中，C重力勢能的的減少量等于 B的電勢能的 增量和彈簧彈性勢能的增量、系統(tǒng)動能的增量之和當C的質量為M時：Mgh QbE h E彈1 2當 C的質量為 2M時：2Mgh QBEh E彈 (2M mB)V2 2解得A剛離開P時B的速度為：V、程器詈【