不定式方程(六年級(jí))

1、.不定式方程 一：不定方程知識(shí)精講一不定方程的定義1一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程2多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一二不定方程的解法及步驟1常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法2多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可3涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較三解不定方程的步驟1列方程2消元3寫(xiě)出表達(dá)式4確定范圍5確定特征6確定答案四技巧總結(jié)1寫(xiě)出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)

2、，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)2消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)三點(diǎn)剖析重難點(diǎn)：不定方程的解法以及應(yīng)用題模精講題模一不定方程的計(jì)算例1.1.1、判斷下列不定方程是否有正整數(shù)解，若有，求出所有正整數(shù)解（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）（2）（3）（4）無(wú)整數(shù)解解析：（1），所以，即得，（2），所以，（3），所以，（4），所以無(wú)整數(shù)解例1.1.2、已知和分別表示兩個(gè)自然數(shù)，并且，則+=_答案：5解析：依題意得11+5=37，易知其自然數(shù)解為=2，=3所以+=5例1.1.3、有三個(gè)分子相同的最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)，化成帶分?jǐn)?shù)后為已知a，b，c都小于10，a，b，c依次為_(kāi)，_， _答案：7，3

3、，2解析：由題意有解這個(gè)不定方程，得例1.1.4、已知代表兩位整數(shù)，求方程的解題模二不定方程的應(yīng)用例1.2.1、有150個(gè)乒乓球分裝在大、小兩種盒子里，大盒每盒裝12個(gè)，小盒每盒裝7個(gè)問(wèn)：需要大盒子_個(gè)、小盒子_個(gè)，才能恰好把這些球裝完答案：大盒9個(gè)，小盒6個(gè)或者大盒2個(gè)，小盒18個(gè)解析：設(shè)需要x個(gè)大盒子，y個(gè)小盒子，依題意得：，解得，所以需要大盒9個(gè)，小盒6個(gè)或者大盒2個(gè)，小盒18個(gè)例1.2.2、某單位的職工到郊外植樹(shù)，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個(gè)孩子參加男職工每人種13棵樹(shù)，女職工每人種10棵樹(shù)，每個(gè)孩子種6棵樹(shù)，他們一共種了216棵樹(shù)請(qǐng)問(wèn)：其中有_名男職工答案：12名解

4、析：設(shè)有x名男職工，y名女職工，則孩子有名，依題意得：，整理得：，化簡(jiǎn)得，解得，其中只有時(shí)才是整數(shù)，所以有12名男職工例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四種貨物，若購(gòu)買甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若購(gòu)買甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若購(gòu)買甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元現(xiàn)在購(gòu)買甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：設(shè)購(gòu)買甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依題意得：注意到題目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分別是多少，想辦法整體求出觀察發(fā)現(xiàn)要直接湊出或它的倍數(shù)并不容易，一個(gè)比較明顯的是可以求出，可以用來(lái)調(diào)整x和z的系數(shù)

5、接著可以讓y和w的系數(shù)變的一樣，得，得，所以故現(xiàn)在購(gòu)買甲、乙、丙、丁各一件共需81元（當(dāng)然本題可以直接看出得到）例1.2.4、將一根長(zhǎng)為380厘米的合金鋁管截成若干根長(zhǎng)為36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管，加工損耗忽略不計(jì)問(wèn)：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：設(shè)已經(jīng)截出了根長(zhǎng)36厘米的管子和根長(zhǎng)24厘米的管子，那么被截出的管子一共長(zhǎng)厘米由，得：一定是12的倍數(shù)而380不是12的倍數(shù)，所以是沒(méi)有自然數(shù)解的！管子不可能剛好被用盡，那么最少會(huì)剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍數(shù)，小于380且能被12整除的最大自然數(shù)是372，而的自然數(shù)解是存在的，如，也就是截出1根長(zhǎng)36厘米的管子和14根

6、長(zhǎng)24厘米的管子，能夠使得截出的管子總長(zhǎng)度達(dá)到最大值372厘米所以剩余部分最少是厘米例1.2.5、有紙幣60張，其中1分、1角、1元和10元各有若干張請(qǐng)你判斷：這些紙幣的總面值能否恰好是100元？答案：不能解析：設(shè)1分的有x張，1角的有y張，1元的有z張，10元的有w張，依題意得，得，很明顯等號(hào)左邊是9的倍數(shù)，而等號(hào)右邊不是9的倍數(shù)，所以無(wú)自然數(shù)解，故這些紙幣的總面值不能恰好是100元例1.2.6、現(xiàn)有一架天平和很多個(gè)13克和17克的砝碼，用這些砝碼，不能稱出的最大整數(shù)克重量是多少？（砝碼只能放在天平的一邊）答案：191解析：設(shè)用了x個(gè)13克的砝碼，y個(gè)17克的砝碼，要稱的重量為c克，依題意，

7、就是求使無(wú)自然數(shù)解的c的最大值利用拓展14解法二中提到的結(jié)論，c最大取時(shí)，無(wú)自然數(shù)解，所以不能稱出的最大整數(shù)克重量是191克例1.2.7、現(xiàn)有1.7升和4升的兩個(gè)空桶和一個(gè)大桶里的100升汽油，用這兩個(gè)空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依題意，模擬的倒幾次后會(huì)發(fā)現(xiàn)，本題和不定方程：和的解有關(guān)系先解出這兩個(gè)不定方程：的解為：的解為：其中，這個(gè)解明顯要小，下面解釋一下它的含義先看它對(duì)應(yīng)的過(guò)程：1、倒?jié)M1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒?jié)M1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒?jié)M1.7升；6、1.7升倒入4升中，還剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒

8、滿1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒?jié)M1.7升；12、1.7升倒入4升，還剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒?jié)M1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒?jié)M1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒?jié)M1.7升；20、倒入4升，還剩1.6升21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒?jié)M1.7升；24、倒入4升；25、倒?jié)M1.7升；26、倒入4升，還剩1升可以看出，每次從大桶中倒入兩個(gè)小桶的都是1.7升，每次從兩個(gè)小桶中倒回大桶的都是4升，所以兩個(gè)小桶中量出的1升可以看做是，倒進(jìn)的1.7x減去倒出的4y的差那么就得到了上面的不定方程另一個(gè)不定方程

9、同理也很容易想明白例1.2.8、某校開(kāi)學(xué)時(shí)，七年級(jí)新生人數(shù)在5001000范圍內(nèi)，男、女生的比例為到八年級(jí)時(shí)，由于收40名轉(zhuǎn)學(xué)生，男、女生的比例變?yōu)檎?qǐng)問(wèn)，該年級(jí)入學(xué)時(shí)，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：設(shè)開(kāi)始時(shí)共人，后來(lái)變?yōu)槿?，則，易知a為8的倍數(shù)，b為5的倍數(shù)，故可設(shè)，方程化簡(jiǎn)為，且解得，入學(xué)時(shí)總?cè)藬?shù)為人，男生320人，女生280人例1.2.9、在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽如圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)17分、11分和4分每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)試問(wèn)：如果比賽規(guī)定恰好投中100分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)

10、飛鏢？如果規(guī)定恰好投中120分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢？隨堂練習(xí)隨練1.1、下列方程的自然數(shù)解：（1），則；（2），則；（3），則；（4），則答案：（1）（2）（3）無(wú)解（4）解析：枚舉法隨練1.2、小高有若干張8分的郵票，墨莫有若干張15分的郵票，兩人的郵票總面值是99分，那么小高的8分郵票有_張答案：3張解析：設(shè)小高有8分郵票x張，15分郵票y張，依題意得：，解得，所以小高有3張8分郵票隨練1.3、將426個(gè)乒乓球裝在三種盒子里，大盒每盒裝25個(gè)，中盒每盒裝20個(gè)，小盒每盒裝16個(gè)現(xiàn)共裝了24盒，則用了_個(gè)大盒隨練1.4、新發(fā)行的一套珍貴的紀(jì)念郵票共三種不同的面值：20分、4

11、0分和50分，其中面值20分的郵票售價(jià)5元，面值40分的郵票售價(jià)8元，面值50分的郵票售價(jià)9元小明花了156元買回了總面值為8.3元的郵票，那么三種面值的郵票分別買了_張答案：20分的郵票3張，40分的郵票3張，50分的郵票13張解析：設(shè)買了x張20分的郵票，y張40分的郵票，z張50分的郵票，依題意得：，消y得，解得，同時(shí)還要滿足y為整數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，符合題意，所以買了20分的郵票3張，40分的郵票3張，50分的郵票13張課后作業(yè)作業(yè)1、方程有_組自然數(shù)解答案：11解析：易知y可為0至的所有自然數(shù)，即方程有11組自然數(shù)解作業(yè)2、求的所有整數(shù)解答案：為任意整數(shù)）解析：先找出一組基本的解，然后寫(xiě)

12、出所有解即可作業(yè)3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整數(shù)解答案：解析：先確定z的值，把三元一次不定方程轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程，再進(jìn)行計(jì)算正整數(shù)解如下：作業(yè)4、設(shè)A和B都是自然數(shù)，并且滿足那么_答案：3解析：，又因?yàn)锳、B為自然數(shù)得，作業(yè)5、有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大油桶能裝8千克油，小油桶能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶問(wèn)：大油桶_個(gè)，小油桶_個(gè)答案：大油桶3個(gè)，小油桶4個(gè)解析：設(shè)有x個(gè)大油桶，y個(gè)小郵桶，依題意得，解得，所以有3個(gè)大油桶，4個(gè)小郵桶作業(yè)6、新學(xué)期開(kāi)始了，幾個(gè)老師帶著一些學(xué)生去搬全班的100本教科書(shū)已知老師和學(xué)生共14人，每名老師能搬12本，每名男生能搬8本，每

13、名女生能搬5本，恰好一次搬完問(wèn)：搬書(shū)的老師_名、男生_名、女生_名答案：老師3名，男生2名，女生8名解析：設(shè)搬書(shū)的老師有x名，男生有y名，女生有z名，依題意得：，消去z得，解得，所以，所以搬書(shū)的老師有3名，男生2名，女生8名作業(yè)7、小李去文具店買圓珠筆、鉛筆和鋼筆，每種筆都只能整盒買，不能單買鋼筆4支一盒，每盒5元；圓珠筆6支一盒，每盒6元；鉛筆10支一盒，每盒7元小李總共花了97元，買了90支筆請(qǐng)問(wèn)：三種筆分別買了多少盒？答案：圓珠筆3盒，鉛筆2盒，鋼筆13盒解析：設(shè)圓珠筆買了x盒，鉛筆買了y盒，鋼筆買了z盒，依題意得：，消去x得，解得，將y、z代入原方程組，發(fā)現(xiàn)只有時(shí)，x有自然數(shù)解所以買了圓珠筆3盒，鉛筆2盒，鋼筆13盒作業(yè)8、卡莉婭到商店買糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每種糖都買了請(qǐng)問(wèn)：卡莉婭共買了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨設(shè)巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分別有包、包、包和包，則把系數(shù)都化成整數(shù)，得：由于我們只關(guān)心奶糖的數(shù)量，我們將未知數(shù)分為一組，其余未知數(shù)分為另一組：也就是令，則它的自然數(shù)解只有，所以卡莉婭共買了12包奶糖作業(yè)9、雨軒圖書(shū)館內(nèi)有兩人桌、三人桌和四人桌共五十多張，