全等三角形的性質(zhì)和判定

1、.全等三角形的性質(zhì)和判定要點(diǎn)一、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.要點(diǎn)二、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1. 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，ABC與DEF全等，記作ABCDEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；A和D，B和E，C和F是對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)四、全等三角形的判定

2、 （SSS、SAS、ASA、AAS、HL）全等三角形判定一（SSS，SAS）全等三角形判定1“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB，AC，BC，則ABC. 要點(diǎn)二、全等三角形判定2“邊角邊”1. 全等三角形判定2“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB ，A，AC ，則ABC. 注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，ABC與ABD中，ABAB，ACAD，BB，但ABC與ABD不完全重合，故不全

3、等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【典型例題】類型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”1、已知：如圖，RPQ中，RPRQ，M為PQ的中點(diǎn)求證：RM平分PRQ證明：M為PQ的中點(diǎn)（已知），PMQM在RPM和RQM中，RPMRQM（SSS） PRMQRM（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）即RM平分PRQ.舉一反三：【變式】已知：如圖，ADBC，ACBD.試證明：CADDBC.類型二、全等三角形的判定2“邊角邊”2、已知：如圖，ABAD，ACAE，12求證：BCDE證明： 12 1CAD2CAD，即BACDAE 在ABC和ADE中 ABCADE（SAS） BCDE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相

4、等）3、如圖，將兩個(gè)一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三點(diǎn)共線，ABCB，EBDB，ABCEBD90），連接AE、CD，試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 證明：延長AE交CD于F， ABC和DBE是等腰直角三角形 ABBC，BDBE 在ABE和CBD中 ABECBD（SAS） AECD，12 又1390，34（對(duì)頂角相等） 2490，即AFC90 AECD舉一反三：【變式】已知：如圖，PCAC，PBAB，AP平分BAC，且ABAC，點(diǎn)Q在PA上，求證：QCQB類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、“三月三，放風(fēng)箏”下圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)DEDF，EHFH，不用度量

5、，就知道DEHDFH請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明【答案與解析】證明：在DEH和DFH中， DEHDFH(SSS) DEHDFH一、選擇題1. ABC和中，若AB，BC，AC.則（ ） A.ABC B. ABC C. ABC D. ABC2. 如圖，已知ABCD，ADBC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A.ABDC B.BD C.AC D.ABBC3. 下列判斷正確的是（ ） A.兩個(gè)等邊三角形全等 B.三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等 C.腰長對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等 D.直角三角形與銳角三角形不全等6. 如圖，已知ABBD于B，EDBD于D，ABCD，BCED，以下結(jié)論不正確的是（ ） A.ECAC

6、B.ECAC C.ED AB DB D.DC CB 二、填空題9. 如圖，在ABC和EFD中，ADFC，ABFE，當(dāng)添加條件_時(shí)，就可得ABCEFD（SSS）10. 如圖，ACAD，CBDB，230，326，則CBE_.12. 已知，如圖，ABCD，ACBD，則ABC ，ADC .三、解答題13. 已知：如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，ADCBCD，ADBC，求證：CODO14. 已知：如圖，ABCD，ABCD求證：ADBC分析：要證ADBC，只要證_，又需證_證明： ABCD （ ）， _ （ ），在_和_中， _ （ ） _ （ ） _（ ）15. 如圖，已知ABDC，A

7、CDB，BECE求證：AEDE.全等三角形判定3“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果A，AB，B，則ABC. 要點(diǎn)二、全等三角形判定4“角角邊”1.全等三角形判定4“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在ABC和ADE中，如果DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC和ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表： 已知條

8、件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SAS AAS ASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASA AAS 兩邊對(duì)應(yīng)相等SAS SSS類型一、全等三角形的判定3“角邊角”1、已知：如圖，E，F(xiàn)在AC上，ADCB且ADCB，DB求證：AECF證明：ADCB AC 在ADF與CBE中 ADFCBE （ASA）AF CE ，AFEFCEEF故得：AECF舉一反三：【變式】如圖，ABCD，AFDE，BECF.求證：ABCD.類型二、全等三角形的判定4“角角邊”2、已知：如圖，ABAE，ADAC，EB，DECB求證：ADAC證明：ABAE，ADAC， CADBAE90 CADDABBAEDAB ，即BACEAD 在BAC和EA

9、D中 BACEAD（AAS） AC AD 舉一反三：【變式】如圖，AD是ABC的中線，過C、B分別作AD及AD的延長線的垂線CF、BE.求證：BECF.【答案】證明：AD為ABC的中線BDCDBEAD，CFAD，BEDCFD90，在BED和CFD中BEDCFD（AAS）BECF3、已知：如圖，AC與BD交于O點(diǎn)，ABDC，ABDC（1）求證：AC與BD互相平分；（2）若過O點(diǎn)作直線l，分別交AB、DC于E、F兩點(diǎn)，求證：OEOF.證明：ABDC 在ABO與CDO中 ABOCDO（AAS）AOCO ，BO=DO在AEO和CFO中AEOCFO（ASA）OEOF.一、選擇題1. 能確定ABCDEF的

10、條件是 （ ）AABDE，BCEF，AEBABDE，BCEF，CECAE，ABEF，BDDAD，ABDE，BE2如圖，已知ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中，和ABC全等的圖形是 （ ）圖43A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙3AD是ABC的角平分線，作DEAB于E，DFAC于F，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）ADEDFBAEAFCBDCDDADEADF4 如圖，已知MBND，MBANDC，下列條件不能判定ABMCDN的是 （ ）AMNBABCDCAMCNDAMCN6如圖，12，34，下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） AADCBCDBABDBACCABOCDODAODBOC 二、填空題7. 如圖,1

11、2，要使ABEACE，還需添加一個(gè)條件是 .(填上你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)條件即可).8. 在ABC和中，A44，B67，69，44，且AC ，則這兩個(gè)三角形_全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如圖，ABCD，AFDE，AFDE，且BE2，BC10，則EF_.11. 如圖, 已知：1 2 , 3 4 , 要證BD CD , 需先證AEB AEC , 根據(jù)是 ，再證BDE ，根據(jù)是 12. 已知:如圖，BDEF，ABDE，要說明ABCDEF，（1）若以“ASA”為依據(jù)，還缺條件 （2）若以“AAS”為依據(jù)，還缺條件 （3）若以“SAS”為依據(jù)，還缺條件 三、解答題13閱讀下題及一位同學(xué)的解答過

12、程：如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，且OAOB，AC那么AOD與COB全等嗎？若全等，試寫出證明過程；若不全等，請(qǐng)說明理由答：AODCOB證明：在AOD和COB中， AODCOB （ASA）問：這位同學(xué)的回答及證明過程正確嗎？為什么？14. 已知如圖，E、F在BD上，且ABCD，BFDE，AECF，求證：AC與BD互相平分.15. 已知：如圖, ABCD, OA OD, BC過O點(diǎn), 點(diǎn)E、F在直線AOD上, 且AE DF. 求證：EBCF.要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到

13、的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 已知：如圖，ABBD，CDBD，ADBC求證：（1）ABCD：（2）ADBC證明：（1）ABBD，CDBD， ABDCDB90 在RtABD 和RtCDB中， RtABDRtCDB（HL） ABCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） （2）由ADBCBD ADBC .舉一反三：【變式】已知：如圖

14、，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求證：EDAC2、 判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“”，全等的注明理由：（1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（ ）（2）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等； （ ）（3）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等； （ ）（4）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等 （ ）舉一反三：【變式】下列說法中，正確的畫“”；錯(cuò)誤的畫“”，并舉出反例畫出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（ ）（2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ）（3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ）3、已知：如圖，ACBD，ADAC，BCBD求證：ADBC；

15、證明：連接DC ADAC，BCBD DACCBD90 在RtADC與RtBCD中， RtADCRtBCD（HL） ADBC .（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）舉一反三：【變式】已知，如圖，AC、BD相交于O，ACBD，CD90 .求證：OCOD.4、如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)置于直線上，且過A，B兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為D，E，請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程.一、選擇題1下列說法正確的是 （ ）A一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B斜邊相等的兩個(gè)直角三角形全等C斜邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等D一邊長相等的兩等腰直角三角形全等3. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是( ) A.斜邊相等 B.一銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等 D.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等5. 直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成的兩個(gè)三角形的關(guān)系是（）A形狀相同B周長相等C面積相等D全等6. 在兩個(gè)直角三角形中，若有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)直角三角形（ ） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二、填空題7如圖，BE，CD是ABC的高，且BDEC，判定BCDCBE的依據(jù)是“_”8. 已知