初三數(shù)學(xué)幾何定理的運用

1、初三數(shù)學(xué)幾何定理的運用：教師在教學(xué)時經(jīng)常需要面對不同的學(xué)生，如何根據(jù)不同的情況采取相應(yīng)的措施顯得非常必要。一些學(xué)生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，思考時沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了“定理教學(xué)”，采取了先集中講授再平時滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發(fā)，通過建立表象、組合定理、聯(lián)想定理等教學(xué)對策，從而使學(xué)生具備“用定理”的意識。：建立表象、組合定理、聯(lián)想定理教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的，尤其在農(nóng)村中學(xué)，有時由于教學(xué)上的需要，往往到了初三，也會出現(xiàn)面對陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學(xué)生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結(jié)論，但講不出定理的內(nèi)容

2、；更多的學(xué)生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務(wù)重，怎么辦呢？經(jīng)過一番苦思冥想，針對學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄，決定狠抓“定理教學(xué)”。通過一段時間的復(fù)習(xí)，學(xué)生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發(fā)現(xiàn)了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。那么，學(xué)生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：不理解定理是進行推理的依據(jù)。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個一個第 1頁定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解， 不會用符號語言表達， 從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習(xí)題中去。找不到運用定

3、理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。推理過程因果關(guān)系模糊不清。針對以上的原因，我們在教學(xué)中采取了一些自救對策。一、教學(xué)環(huán)節(jié)對幾何定理的教學(xué)，我們在集中講授時分5 個環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3 環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4 環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“模式定理”的書寫方法； 第 5 環(huán)節(jié)是定理在解題分析時的導(dǎo)向作用，提出了“圖形定理”的思考方法。程序圖設(shè)計如下：基本要求重新建立表象推理模式組合定理聯(lián)想定理二、

4、操作分析和說明定理的基本要求我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。第 2頁因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關(guān)的定理），集中展示給學(xué)生。例如定理 43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。一劃：就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論，題設(shè)用直線，結(jié)論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質(zhì)部分。如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。二畫：就是依據(jù)定理的內(nèi)容，能畫出所對應(yīng)的基本圖形。如：三寫：就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上， 能

5、用符號語言表達，允許采用等同條件。如： ABC 是 Rt， CDAB 于 D（條件也可寫成： ACB 90, CDB90等 ) ACD BCD ABC。學(xué)生在書寫時果然出現(xiàn)了一些問題：不理解每個定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書寫時往往漏掉條件（如定理 19 漏掉垂直，定理 46 漏掉高、中線等） ；對條件太簡單的不會寫（如定理 3）；或者把條件當(dāng)成結(jié)論（如定理 12 把三線都當(dāng)成結(jié)論） 。還表現(xiàn)在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學(xué)生把定理重新證明一遍（如定理 5、 6）；或者在一個定理中出第 3頁現(xiàn)，又，的錯誤。更多的是沒有抓住本質(zhì)。具體表現(xiàn)在把非本質(zhì)的條件當(dāng)成本質(zhì)條件（如定理 7 出現(xiàn)1 和

6、2是同位角， ABCD）；條件重復(fù)（如定理 49，結(jié)論 APO BPO 已經(jīng)包括過圓心 O，學(xué)生在條件中還加以說明） ；圖形過于特殊（如把定理 1 的圖畫成射影定理的基本圖形） ；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。重新建立表象從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數(shù)學(xué)教師傳授知識的重要原則?！氨硐蟆本褪侨藗儗^去感知過的客觀世界中的對象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應(yīng)著一個圖形，這給我們在教學(xué)中提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學(xué)生有意識的記圖形，想圖形，以形成和

7、喚起表象。我們認為，這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。教給學(xué)生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實例引導(dǎo)學(xué)生，下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi)容：問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或第 4頁其他兩個條件之一， 子里就會浮 出垂徑定理。目的：建立 個定理的表象，要求能想到非 準(zhǔn) 形。 ：看到弧相等，你 只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來 ？答：想到了 心角相等、 周角相等、弦相等甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦目的：通 表象， 行 想，使學(xué)生理解定理 的 系。

8、：從定理 21 開始，你能找出和它有 系的定理 ？答：有定理 22（擦短使平行直 成 段） ，定理 25（特殊化成菱形），定理 27目的：一般化或特殊化或 形的平移、旋 等 化，加深定理 的 系。下面的步 ，我 學(xué)生自主思考。學(xué)生在不斷 的 程中，通 比 、 分析、判斷， 一步熟悉定理的三種 言、定理之 的 系和區(qū) 。從學(xué)生思考的角度看，他 主要是在 找基本 形，由于定理之 有一定的 系，在一個基本 形中往往存在著另一個殘缺的基本 形，所以學(xué)生大多通 、延 、作 、平移、旋 等手段，也有通 特殊化、找同 等途徑把不同的定理 系起來。下面摘 的是學(xué)生自主思考后，得到的富有 意性的 。定理 16（

9、延 中 成矩形）定理 24（作矩形的外接 ）定理 34。第 5頁定理 51（一線過圓心，且兩線垂直）定理36（一線平移成切線）定理47、 48（繞切點旋轉(zhuǎn)）定理50。如下圖，把EF 向下平移（或繞A 點旋轉(zhuǎn)），使定理 37 和50 聯(lián)系起來（有同結(jié)論D）：推理模式從學(xué)生各方面的反饋情況看，多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納整理，總結(jié)了三種基本推理模式。具體教學(xué)分三個步驟實施：精心設(shè)計三個簡單的例題，讓學(xué)生歸納出三種基本推理模式

10、。條件結(jié)論新結(jié)論（結(jié)論推新結(jié)論式）新結(jié)論（多個結(jié)論推新結(jié)論式）新結(jié)論（結(jié)論和條件推新結(jié)論式）通過已詳細書寫證明過程的題目讓學(xué)生識別不同的推理模式。通過具體習(xí)題，學(xué)生有意識、有預(yù)見性地練習(xí)書寫。這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學(xué)生書寫的盲目性。但教學(xué)表明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步，這是什么原因第 6頁呢？我們把它歸結(jié)為對推理的因果關(guān)系不明確、定理是推理的依據(jù)和單位不明白。因而我們根據(jù)需要，又設(shè)計了以下一個環(huán)節(jié)。組合定理基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環(huán)節(jié)，我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個定理的因果關(guān)系、多個定理的組合方式

11、，然后由幾個定理組合后構(gòu)造圖形，進一步強化學(xué)生“用定理”的意識。下面通過一例來說明這一步驟的實施。例 1：已知如圖，四邊形ABCD外接O 的半徑為 5，對角線AC與 BD相交于 E，且 ABAEAC， BD 8。求 BAD的面積。（ 2019 年嘉興市質(zhì)量評估卷六）證明：連結(jié) OB，連結(jié) OA交 BD于 F。學(xué)生從每一個推測符號中找出所對應(yīng)的定理和隱含的主要定理：比例基本性質(zhì) S/AS/證相似相似三角形性質(zhì)垂徑定理勾股定理三角形面積公式由于學(xué)生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結(jié)起來的，也讓學(xué)生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理

12、過程。 此時，可順勢布置以下的任務(wù)： 給出勾股定理，你能再結(jié)合一個或多個定理，構(gòu)造圖形，并編出證明題或計第 7頁算題嗎？實踐表明：經(jīng)過“模式定理”書寫方法的熏陶后，學(xué)生基本具備了完整書寫的意識。聯(lián)想定理分析圖形是證明的基礎(chǔ)，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構(gòu)造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想（這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本方法之一） ，但對于識圖或想象力較差的學(xué)生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側(cè)面，即證明題的“已知、 求證”上給學(xué)生

13、以支招， 即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理，以配合圖形想象。例：如圖， O1 和 O2 相交于 B、 C 兩點， AB是 O1 的直徑， AB、 AC的延長線分別交 O2 于 D、E，過 B 作 O1 的切線交 AE于 F。求證： BFDE。討論此題時，啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“ AB 是O的直徑”聯(lián)想定理“直徑所對的圓周角是 90”，因而連結(jié) BC；“過 B 作O的切線交 AE于 F”聯(lián)想定理“切線的性質(zhì)”，得出 ABF90。從而構(gòu)造出基本圖形。由命題的結(jié)論“ BFDE”聯(lián)想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構(gòu)造出基本圖形。將上述基本圖形的性第 8頁質(zhì)結(jié)合在一起，學(xué)生就易于思考了。這一環(huán)節(jié)我們的引

14、導(dǎo)語有：“由已知中的哪一個條件，你能聯(lián)想起什么定理？”、“條件組合后能構(gòu)成哪個定理？”、“有無對應(yīng)的基本圖形？”、“能否構(gòu)造出基本圖形？”等。目的是讓學(xué)生樹立起“圖形定理”的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。三、幾點認識復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有通過學(xué)生的自身實踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑，因此在復(fù)習(xí)時，我們始終堅持主體性原則。在組織復(fù)習(xí)的各個環(huán)節(jié)中，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性： 提出問題讓學(xué)生想， 設(shè)計問題讓學(xué)生做，方法和規(guī)律讓學(xué)生體會，創(chuàng)造性的解答共同完善?！皼]有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾） 。我們認為傳授方法或解答后讓

15、學(xué)生進行反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們在教學(xué)時總留出足夠的時間來讓學(xué)生進行反思，使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書寫方法。集中講授能使學(xué)生對幾何定理的應(yīng)用有一定的認識，但如果不加以鞏固， 也會造成遺忘。 因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導(dǎo)、反復(fù)滲透。參考資料：高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的理論和實踐孟祥東等中學(xué)數(shù)學(xué)教第 9頁與學(xué) 2019、 3全國初中數(shù)學(xué)教育第十屆年會論文集P380、 P470附錄：初中數(shù)學(xué)幾何定理集錦（摘錄）1. 同角（或等角）的余角相等。3. 對頂角相等。5. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。6. 在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行

16、線。7. 同位角相等，兩直線平行。12. 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。16. 直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。19. 在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。21. 夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。22. 一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。24. 有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。25. 菱形性質(zhì)：四條邊相等、對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。27. 正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相第 10 頁等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。34. 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等。36. 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。43. 直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。46. 相似三角形對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。37. 圓內(nèi)接