求軌跡方程的方法修改版

1、求軌跡方程的方法求軌跡方程的一般方法：1. 定義法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。 2. 直接法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 3. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)

2、，然后把P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程。一：用定義法求軌跡方程例1：已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C 為動點(diǎn)，且滿足求點(diǎn)C的軌跡?！咀兪?】：已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。二：用直接法求曲線軌跡方程例2： 一條線段AB的長等于2a,兩個端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？【變式2】: 動點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點(diǎn)P的軌跡方程？三：用代入法求軌跡方程例3. 軌跡方程?！咀兪健咳鐖D所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)

3、，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 練習(xí)：1.中，B，C 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，求點(diǎn)A的軌跡方程。2已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點(diǎn)P的軌跡方程。3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的弦0A，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是 .4點(diǎn)差法處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時，常用到“點(diǎn)差法”，以設(shè)而不求，優(yōu)化運(yùn)算例4 已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.變式4 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。例1【解析】由可知，即，滿足橢圓的

4、定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）?！军c(diǎn)評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點(diǎn)的距離等于定長（2） 橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）（3） 雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)的距離）（4） 到定點(diǎn)與定直線距離相等?！咀兪?】: 1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為例2： 解 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為 由平幾的中線

5、定理：在直角三角形AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點(diǎn)評】此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。一般用平面幾何性質(zhì)找到長度間，角度間的等量關(guān)系【解答】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.例3. 分析：題中涉及了三個點(diǎn)A、B、M，其中A為定點(diǎn)，而B、M為動點(diǎn)，且點(diǎn)B的運(yùn)動是有規(guī)律的，顯然M的運(yùn)動是由B的運(yùn)動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點(diǎn)，故采用相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)M的軌跡方程。 【解析】設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0） 則由M為線段AB中點(diǎn)，可得 即點(diǎn)B坐標(biāo)可表為（2x2a，2y） 【點(diǎn)評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點(diǎn)和其

6、相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式3】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 【解析】： 設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 例4解設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.則，（1），（2）得：，.又，.處理直線與圓錐曲線相