高中數(shù)學(xué) 探究導(dǎo)學(xué)課型 第二章 平面向量 2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義 新人教版必修4

1、2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義,自主預(yù)習(xí)】 主題1:向量的數(shù)乘運算 1.類比:實數(shù)運算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否寫成3a呢? 提示:可以,即a+a+a=3a,2.3a與a的方向有什么關(guān)系?-3a與a的方向呢? 提示:3a與a的方向相同,-3a與a的方向相反. 3.按照向量加法的三角形法則,若a為非零向量,那么3a的長度與a的長度有何關(guān)系. 提示:3a的長度是a的長度的3倍,即若|a|=,則|3a|=3,結(jié)合以上探究過程,試著總結(jié)向量數(shù)乘運算的有關(guān)概念. 定義:實數(shù)與向量a的積是一個_,a,a,相同,相反,0,向量,運算律: (a)=_;(+)a=_; (a+b)=_. 特別地

2、,(-)a=-(_)=(_),(a-b)=_,a,a+a,a+b,a,a,a-b,主題2:共線向量定理 1.如果兩個向量共線,則這兩個向量具有哪幾種情況? 提示:方向相同或方向相反或其中一個為零向量. 2.根據(jù)向量的數(shù)乘運算,a與a(0,a0)的方向有何關(guān)系? 提示:相同或相反,3.向量a與a(為常數(shù))一定共線嗎? 提示:共線,結(jié)合以上探究過程試著總結(jié)共線定理: 向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù), 使_,b=a,深度思考】 結(jié)合教材P89例6你認(rèn)為應(yīng)怎樣判斷A,B,C三點共線? 第一步:_. 第二步:_,利用向量的線性運算證明向量 共線,指明兩向量有公共點A,然后得出結(jié)論,預(yù)習(xí)小

3、測】 1.若|a|=1,|b|=2,且a與b方向相同,則下列關(guān)系式正確的是() A.b=2aB.b=-2a C.a=2bD.a=-2b,解析】選A.因為a與b的方向相同,且|b|=2|a|,故b=2a,2.若a與b共線且|a|=|b|(a0,b0),則下列結(jié)論正確的是() A.a=bB.a=-b C.a=bD.不確定 【解析】選C.因為a與b共線,且|a|=|b|,故a=b,3.化簡:2(3a+4b)-7a=_. 【解析】原式=6a+8b-7a=-a+8b. 答案:-a+8b,4.向量a與b不共線,向量c=3a-b,d=6a-2b,則向量c與d的關(guān)系是_.(共線,不共線) 【解析】d=6a-2

4、b=2(3a-b)=2c, 所以向量c與d共線. 答案:共線,備選訓(xùn)練】已知e1與e2不共線, =e1+e2, =2e1+8e2, =3(e1-e2),求證:A,B,D三點共線.(仿照教材P89例6 的解析過程,證明】因為 =e1+e2, =(2e1+8e2)+(3e1-3e2) =5e1+5e2=5(e1+e2)=5 ,所以 共線. 又 有公共點B,所以A,B,D三點共線,互動探究】 1.實數(shù)與向量能否進行加減運算? 提示:不能.實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算,但不能進行加減運算,2.設(shè)x,y為實數(shù),若xa-ya=0,能否得出x=y? 提示:不一定.因為xa-ya=0,會得到(x-y)a=0,所

5、以x=y或a=0,3.向量數(shù)乘得到的依然是向量,那么它的方向由誰確定? 提示:實數(shù)與向量a數(shù)乘,得到向量a,其方向由的正負(fù)及向量a的方向共同確定,4.若向量a與向量b(b0)共線,則a=b,如何確定 的值? 提示:當(dāng)a,b同向時,= ,當(dāng)a,b反向時,=-,5.定理中為何要限制a0? 提示:共線向量定理中,若不限制a0,則當(dāng)a=b=0時,的值不唯一,定理不成立.并且當(dāng)b0,a=0時,的值不存在,6.若向量a,b不共線,且a=b,則,的值如何? 為什么? 提示:=0.假設(shè)0,由于向量a,b不共線,則 a0,b0,且a= b,從而a,b共線,與向量a,b不共線 矛盾,可知=0,拓展延伸】向量中常見

6、的一些結(jié)論 (1)表示a-b,a+b的有向線段恰為同一平行四邊形的 兩條對角線. (2)設(shè)D為ABC中線段BC的中點,則 (3)設(shè)G為ABC的重心,則,探究總結(jié)】 知識歸納,方法總結(jié):向量線性運算的基本方法 (1)類比方法:向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算.例如實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是在這里的“同類項”“公因式”指向量,實數(shù)看作是向量的系數(shù),2)方程方法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用代數(shù)方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當(dāng)運用運算律,簡化運算,題型探究】 類型一:向量的線性運算 【典例

7、1】化簡下列各式. (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a,解題指南】簡單的化簡問題,把握運算順序為:運算 律去括號數(shù)乘向量向量加減. 【解析】(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式= (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c,規(guī)律總結(jié)】向量的線性運算的思路 (1)利用實數(shù)與向量的積的運算律可以化簡有關(guān)向量式.其化簡方法與代數(shù)式的化簡有些類似. (2)已知某些向量,而要化簡與它們有關(guān)的向量式,其解題方法可類比初中所學(xué)的“求代數(shù)式的值”,即先化簡向量式,再代入求值.這樣能簡化解題過程,3)解向量的線性方程組的方法同解實數(shù)系中的一次方程組一樣,

8、即進行消元,其消元方法也有代入消元法、加減消元法,鞏固訓(xùn)練】化簡: (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c,解析】(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c =(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b. (2)原式= (a+4b)-(4a-2b) = (-3a+6b)=2b-a,類型二:共線向量定理及應(yīng)用 【典例2】設(shè)兩個非零向量a和b不共線,如果 =a+b, =3(a-b), =2a+8b. (1)計算 (2)證明 共線,解題指南】(1)利用向量加法的三角形法則即 (2)只需證明存在一個常數(shù),使 即可,解析】(1,延伸探究】

9、1.本例條件不變,試證明 共線. 【證明】由本例(1)解析知,2.本例條件不變,試證明A,B,D三點共線. 【證明】由本例(2)解析知 而向量 與向量 又有一個公共點B,故A,B,D 三點共線,3.若本例條件換為“設(shè)兩非零向量a和b不共線且m=ka+b,n=a+kb,若m與n共線”,求k的值,解析】因為m與n共線.所以存在常數(shù)使得 ka+b=(a+kb), 所以(k-)a+(1-k)b=0, 又因為a與b不共線, 所以 所以k=1,規(guī)律總結(jié)】 1.用向量證明三點共線的關(guān)鍵與步驟 (1)關(guān)鍵:能否找到一個實數(shù),使得b=a(a,b為這三點構(gòu)成的其中任意兩個向量). (2)證明步驟:先證明向量共線,

10、再由兩個向量有公共點,證得三點共線,2.由共線向量定理求向量系數(shù)的步驟 (1)把向量等式通過向量線性運算,轉(zhuǎn)化為與另一個式子相同的形式. (2)由兩等式相同知對應(yīng)系數(shù)相同,列方程可求向量的系數(shù),拓展延伸】向量共線與線段共線的區(qū)別以及作用 (1)向量共線與線段共線的區(qū)別:向量共線時,兩向量所在的線段可能平行,也可能共線;而兩條線段共線時,這兩條線段必定在同一條直線上. (2)向量共線定理的作用:向量共線定理可以證明線段平行,也可以證明三點共線,補償訓(xùn)練】已知向量 則() A.A,B,C三點共線B.A,B,D三點共線 C.A,C,D三點共線D.B,C,D三點共線 【解析】選B.因為 所以A,B,D三點共線,類型三:用已知向量表示未知向量 【典例3】已知在ABCD中,M,N分別是DC,BC的中點. 若 試用e1,e2表示,解題指南】結(jié)合圖形找出所求向量和已知向量的等量關(guān)系,用加減法及數(shù)乘運算求解,解析】因為M,N分別是DC,BC的中點, 所以MN BD. 因為 =e2-e1,