251平面幾何中的向量方法(印

1、2.5.1平面幾何中的向量方法教學(xué)目標(biāo):1. 通過平行四邊形這個幾何模型，歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”;2. 明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示.;3. 讓學(xué)生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性教學(xué)重點:用向量方法解決實際問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學(xué)難點:如何將幾何等實際問題化歸為向量問題教學(xué)方法:講練結(jié)合21教學(xué)過程:、復(fù)習(xí)引入:1.兩個向量的數(shù)量積：a ”b =1 a |b| coM .2.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:aXj x y1y2.3.向量平行與垂直的判定a/ bu x1

2、y2 -x2y =0.a 丄 bu x1 x y1 y2 = 0.4.平面內(nèi)兩點間的距離公式:1 AB | = J(Xi-X2)2+(yi-y2)25.求模:a aa = Jx2 +y2a = J(xi -X2)2 +(yi -y2)2練習(xí)教材P.106練習(xí)第1、2、3題.；教材P.107練習(xí)第1、2 題.例1.已知AC為O O的一條直徑，/二、講解新課:.求證：/ ABC= 90.ABC為圓周角證明：設(shè) AO =a =OC, OB =b, a = b，AB = AO +OB = a + b, BC = a -b.AB BC =(a +b) (a-b)=p2a0,AD, BE, CF相交于一點

3、.二 AB 丄 BC,二 NABC=90o例2.如圖，AD, BE, CF是 ABC的三條高.求證:例3.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖，AC = AB + AD, DB = AB - AD,你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？思考1 :如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？思考2 :運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;(3)把運算結(jié)果翻譯”成幾何關(guān)系.例4.如圖， ABCD中，點E、F

4、分別是AD、DC邊的中點， 現(xiàn)AR、RT TC之間的關(guān)系嗎？BE BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)課堂小結(jié)用向量方法解決平面幾何的三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;(3)把運算結(jié)果翻譯”成幾何關(guān)系.課后作業(yè)1. P113 習(xí)題 2.5 A 2教學(xué)反思：2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo):1. 通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟, 明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型，進一步加深對所學(xué)向量的概念和向量運算的認識；2

5、. 通過對具體問題的探究解決，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，體會數(shù)學(xué)在 現(xiàn)實生活中的作用.教學(xué)重點:運用向量的有關(guān)知識對物理中的力的作用、速度分解進行相關(guān)分析來計算教學(xué)難點:將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題教學(xué)方法:講練結(jié)合教學(xué)過程:、復(fù)習(xí)引入:1. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量運算的三角形法則與四邊形法則是什么?二、講解新課: 例1.在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體 向上運動，兩臂的夾角越小越省力 .你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種形象嗎？探究1 ： (1)0為何值時，I F1 |最小，最小值是多少？ (2)1

6、F1 |能等于I G |嗎？為什么？探究2:你能總結(jié)用向量解決物理問題的一般步驟嗎？(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3) 參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解一一理論參數(shù)值；(4) 問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象.例2.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d = 500 m, 艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度Ivj =0.1 min) ?10 km/h，水流速度I V2 I = 2 km/h，問行駛航程最短時，所用時間是多少(精確到ft圖 3.5 -1解：H = 7 丨 5 P V?亠所以答：U駛航程赧短時.所用時間繪気1 m

7、in*思考：1行駛最短航程”是什么意思?2. 怎樣才能使航程最短？例3.有兩個向量 0 =(1, 0), e2 =(0, 1),今有動點 P從Po(-1, 2)開始沿著與向量 0 +e2 相同的方向做勻速運動，速度為|&+ e2 |,另有一動點Q,從Qo(-2, -1)開始沿著與 3ei+2e相同的方向做勻速運動，速度為|3& +2&|,設(shè)P、Q在時刻t = 0秒時分別在 Po、Qo處，則當(dāng)PQ丄PoQo時，求t的值.三、課堂小結(jié)向量解決物理問題的一般步驟 ：(1)問題的轉(zhuǎn)化：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；模型的建立：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3) 參數(shù)的獲得：求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解一一理論參數(shù)

8、值；(4) 問題的答案：回到問題的初始狀態(tài)，解決相關(guān)物理現(xiàn)象.四、課后作業(yè)1. P113 習(xí)題 2.5 A 3教學(xué)反思:復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）4. 了解向量形式的三角形不等式：11 a|-| b|弓a b| | a |+| b |（試問：取等號的條件是什么?）和向量形式的平行四邊形定理：2(| a | 2 +| b | 2)=| a b | 2 +| a + b | 2.5. 了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）：6.

9、向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法7. 向量的坐標(biāo)運算（加.減.實數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）8. 數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念， a b=| a| b |cos=XiX2+yiy2注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”知識與方法向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考 中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長；求夾角；判垂直 典型例題例1.對于任意非零向量a與b，求證：| a | - | b | a b | | a | + | b |證明：（1）兩個非零

10、向量a與b不共線時，a + b的方向與a , b的方向都不同，并且| a | - | b |a b | | b |，則| a+b|=| aH b|.同理可證另一種情況也成立。例 2 已知 0 為 ABC內(nèi)部一點，/ AOB=150, / BOC=90 ,設(shè) OA = a , OB =b , OC = c ,且 | a 1=2 , | b 1=1 , | c 1=3，用 a 與 b 表示 c解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，其中i , j是單位正交基底向量，則B (0,1), C (-3 , 0)，設(shè)A (x,h-b- by),則條件知 x=2cos(150 90,y=-2s in (1509

11、0，即 A (1，-J3 )，也就是 a=ij, b=j,f!-I- -I-I-I-I-Hc =-3 i 所以-3 a =3 J3 b +c| 即 c=3a 3 J3 b例 3.下面 5 個命題： |a -b |=| a| |b| (a -b )2 =a 2 -b 2 a 丄(b c),則 a c = b -c a 七=0,則| a + b |=| a b |a b =0,則a =0或b = 0 ,其中真命題是()ABCD鞏固訓(xùn)練1.下面5個命題中正確的有()-c = b - c ； a c=b 9= a =b : a - ( b + c) =a - c+b - c ； a ( b - c)A

12、.2.下列命題中，B.C.正確命題的個數(shù)為( A )D.若a與b是非零向量，且a與b共線時，則a與b必與a或b中之一方向相同；若e為單位向量，且3a / e則a=| a | e a a a=| a | 若a與b共線，a與c共線，則c與b共線;若平面內(nèi)四點A.B.C.D,必有 AC + BD = BC +ADA 1 B 2 C 3 D 43.下列5個命題中正確的是對于實數(shù)p,q和向量a，若 Pa =q a則p=q對于向量a與b，若| a | a =| b | b則a = b對于兩個單位向量a與b，若|a+b|=2貝U a = b對于兩個單位向量a與b，若ka = b，貝U a = b4.已知四邊

13、形 ABCD的頂點分別為 A(2,1) , B(5,4) , C(2,7) , D(-1,4),求證：四邊形 ABCD為正方形。3.1.1兩角差的余弦公式教學(xué)目標(biāo)掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ) .教學(xué)重點：通過探索得到兩角差的余弦公式;教學(xué)難點：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是 否已經(jīng)具備的問題，運用已學(xué)知識和方法的能力問題.教學(xué)方法：講練結(jié)合 教學(xué)過程:（一）導(dǎo)入：問題 1:我們在初中時就知道 cos4，cos3，由此我們能否得到 cosl5 =cos（45

14、-30 ）=?大家 2 2可以猜想，是不是等于 cos45 -cos30呢?根據(jù)我們在第一章所學(xué)的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式COS（a - P ）=（二）探討過程:在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角a的終邊與單位圓的交點為 R，cosa等于角a與單位圓交點的橫坐標(biāo)，也可以用角a的余弦線來表示。思考1:怎樣構(gòu)造角P和角a - P ?(注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來)思考2:我們在第二章學(xué)習(xí)用向量的知識解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？(1 )結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的?(2 )怎樣利用向量的數(shù)

15、量積的概念的計算公式得到探索結(jié)果?兩角差的余弦公式：cos(a P) =cosa -cosp +sina sin P(三) 例題講解例1、禾U用差角余弦公式求 cosl5的值.解：分析：把i5構(gòu)造成兩個特殊角的差.cosl5 = cos(6d -45)，要costs cos 4) 30cosds 七 os30si點評：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如:學(xué)會靈活運用例2、已知sin ot_45,a忘倍，兀cos P = -一，P是第三象限角，求 COS(a - P )的值 V2丿13解：因為a忘/兀,兀12sin a =4 由此得 cos = 一訥-sin% = J -又

16、因為cos P=-是第三象限角，所以 sin P = -71131213335 I 13丿65所以 cos(a - P) = coso cos P +sin sin P = L3 I f- +4x f-12】 I 5八13丿點評：注意角a、 P的象限，也就是符號問題思考：本題中沒有 a f,兀,該如何分析呢?l2丿(四)練習(xí)：1不查表計算下列各式的值:(1) cos8cos2 + sin80sin20。 1 cos1 + Wsi n152 21 解：(1)cos80cos20+sin80sin20 =cos(80 20) =cos60 = ?2 .教材P127練習(xí)1、2、3、4題（五）小結(jié)：兩

17、角差的余弦公式，首先要認識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，在解題過程中注意 角a、P的象限，也就是符號問題，學(xué)會靈活運用(1)牢記公式 C(a_p =c c + s s（2）在給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關(guān)系.（六）作業(yè)：P127練習(xí)1、2、3、4題教學(xué)反思:3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（一）教學(xué)目標(biāo)理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點的 過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.教學(xué)重點:兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運用;教學(xué)難點:兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用教學(xué)方法:講練結(jié)合教學(xué)過程:（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入:

18、（1）大家首先回顧一下兩角差的余弦公式：cos（a - P ） = cosacosP +sinet sinP .（2）si nd =cos ？（二）新課講授問題：由兩角差的余弦公式，怎樣得到兩角差的正弦公式呢?探究1、讓學(xué)生動手完成兩角和與差正弦公式sin（ot + P）=cos琴（a + P *=cos=cosp 二 _a +p1=cos丿-otcos P +sin 倍-asin P12丿 12丿= sin acosP +cosasin P .sin（ ot - P）= si n A +（ P ） = si not cos（ P）+co眈 si n（-P）= si not cosP co吳

19、sin P.（學(xué)生動手）探究2、讓學(xué)生觀察認識兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式taw + P）=sine+；）= sinMos7+co皿叮cos（a + P）CO泊 cosp -sin a sin p探究3、我們能否推倒出兩角差的正切公式呢?tanP ） = tanA+（邛卄怕皿+tan（；） = tan-tan ； L1 -tana tan（-P）1 + tana tanP探究4、通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有tana、tan P的形式呢?（分式分子、分母同時除以cosa cos P ,得到tan （a + P ）=+tan 1-tana tan P、,njTn j

20、T.注意：a + P 豐一工一 + k兀，Ph +k（kz）2 25、將S（a狷、C（a書、T鎬稱為和角公式,S申）、C（邛、T（邛稱為差角公式。（三）例題講解3例1、已知sinG = 是第四象限角，求 sin56i）-a,cos+ct , tanu 丿l4丿a遷的值.3解：因為sin a = ,a是第四象限角，得 cos5=Jl -sin%GIj 5tag =沁cos35453:=4于是有：sin勺)；Iji-a f=sincoso cossina =14丿 4472 4 72 f 3)7210f兀)兀.兀.cosi +ot = coscosinsinot14丿 4塑4也7252 I 5丿

21、10tanCJI兀tana -tan 44 J兀丿 1 +tana tan 41昇3廠7V 4丿思考：在本題中,sin（二_（/） =cos（叟+ a），那么對任意角 a，此等式成立嗎？若成立你能否證明？44練習(xí)：教材P131面1、2、3、4題例2、利用和（差）角公式計算下列各式的值:(1)、ri24 on；(2)、2 riOO解:（ 1）、r7402rS2 4no9 0(2)、=a4(5 d6練習(xí)：教材P131面5題（四）小結(jié):本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，學(xué)會靈活運用（五）作業(yè):P137 習(xí)題 3.1 A 6、7、8教學(xué)反思:3.1.2兩角和與差的正弦、余弦

22、、正切公式（二）教學(xué)目標(biāo)1、理解兩角和與差的余弦、正弦和正切公式，體會三角恒等變換特點的過程;2、掌握兩角和與差的余弦、 正弦和正切公式的應(yīng)用及 asina + bcos。類型的變換。教學(xué)重點：兩角和、差正弦和正切公式的運用;教學(xué)難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用教學(xué)方法：講練結(jié)合 教學(xué)過程:（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：（1）基本公式sin (a - P) =si n a cos P cosot sin Psin(a + P) = sin a cos P + cosa sin Pcos(0 - P)= cosot cosP +sinot sin Pcos(+P) = coco8 -sinsi

23、nn tana - tan P tagdl+tan-tanPtana + tan PtanSb.tantanP（2）練習(xí)：教材P132面第6題。思考：怎樣求 a sin a +bcosa 類型？ （二）新課講授例 1、化簡 J2cosx - J6sinx解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢?5/2cosx-亦sin X =2/21匚、C0SX sin x 12 2=272(sin 30cosx-cos30sin x )= 2V2sin(30 - x )思考：2j2是怎么得到的?2/2 = J（72）2 +（76）,我們構(gòu)造一個使它的正、余弦分別等于1和

24、 的角.tan-a歸納：asi na +bcosa = Ja2 +b2 sin (a +)例 2、已知：函數(shù) f(x) =2sinx2j3cosx,（1）求f （x）的最值。（2）求f（X）的周期、單調(diào)性。例 3.已知 A、B、C 為 ABC 的三內(nèi)角，向量 m=(1,J3) , n=(cosA,si nA)，且 用 *0 = 1,(1) 求角Ao (2)若1中2嚴(yán) B= _3，求tanC的值。cos B - sin B練習(xí)：（1）教材P132面7題(2)在ABC中，sin Asin B YcosAcosB，則 ABC為(A. 直角三角形B. 鈍角三角形C. 銳角三角形D. 等腰三角形思考:三

25、、小結(jié):四、作業(yè):教學(xué)反思:A.已知屁0皚5$的值為12B. 2cos(a - P)123祐，sin+P)一5，求sin2掌握兩角和與差的余弦、正弦和正切公式的應(yīng)用及asina +bco融類型的變換P132 練習(xí) 6、73.1.3倍角的正弦、余弦和正切公式教學(xué)目標(biāo)以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其教學(xué)重點:以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ),推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式;教學(xué)難點:二倍角的理解及其靈活運用教學(xué)方法:講練結(jié)合教學(xué)過程:（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式,sin (a - P) =si n a c

26、os P -cosa sin Psin(a + P) = sin a cos P + cosa sin Pcos(a - P) =cosa cos P + sinasin Pcos(+ P) = cocos -sinsintana - tan Ptan2 J=1+tantanPtana + tan Ptan (a + P)=1 - ta na、tan P練習(xí)：（1）在 ABC中,sin AsinB cosAcosB，則 ABC為(CB.鈍角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形(2)J3 cos !12A.0B. 2思考：已知兀n3兀 P A.直角三角形2兀sin二的值為12123=12，swf 一5，求sin2我們由此能否得到 s