313空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1、選修2-13.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（教案）【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律，了解空間向量 數(shù)量積的幾何意義；2. 掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式，會用向量的方法解決有關(guān)垂直、 夾角和距離問題.【重點(diǎn)】空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律 【難點(diǎn)】用向量的方法解決有關(guān)垂直、夾角、距離等問題.【創(chuàng)設(shè)情景】1.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo);17 學(xué)習(xí)探究：32. 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律；3. 平面向量的數(shù)量積、夾角、模等概念.【預(yù)習(xí)提綱】（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第90 頁第92 頁）1. 空間向量夾角的概念：已知兩個(gè)非零向

2、量 a, b，在空間任取點(diǎn) O,作0 = a ,O = b，則N AOB叫做向量a, b的夾角，記如圖.n如果a,b=,那么向量a,b互相垂直，記作a丄b.2空間向量夾角的范圍：a,b 迂0, n .2. 空間向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量 a,b則I a | b| cos a,b叫做a, b的數(shù)量積，記作a b.即a b =|a |b|cos ca,b .規(guī)定：0 3= 0 .特別地,a a =| a |2.3.空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律:(Za) b = Z( a b)；a b = b a (交換律)；a (b +c) = a b+a c (分配律)思考：教材P90.【基礎(chǔ)練習(xí)】

3、【典型例題】例 1 已知 A(3,1,3)，B(1,0,5)，求:(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度;(2)到A, B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P(x, y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件”【審題要津】* 1 - *3解：(1 )設(shè) M 是線段 AB 的中點(diǎn)，貝y 0M =(0A+0B)=(2,3,).223 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3,3),2AB =(2,4,3)1 AB 1=J(-2)2 +42 +(3 =729.(2)v點(diǎn)P(x,y,z)到A,B兩點(diǎn)的距離相等,則 J(x 3)2 +(y 1)2 +(z3)2 =J(x1)2 +(y 5)2+(z 0)2 ,化簡得：4x 8y+6z+7=0.所以，

4、到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x, y, z)的坐標(biāo)x, y,z滿足的條件是4x 8y +6z + 7 = 0 .【方法總結(jié)】到 A, B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P(x, y, z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面，若將點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件 4x-8y+6z+7=0的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量a =(4,弋,6)，發(fā)現(xiàn)與AB=(24,3)共線.例2已知三角形的頂點(diǎn)是 A(1,-1,1) , B(2,1,1), C(1,1,2),試求這個(gè)三角形的面積。1【審題要津】可用公式 -| AB| |AC| si nA來求面積*解： AB=(1,2,/) , 7C=(/,0,), |AB|=+22 +(2)2

5、=3 , |= JE2 +0+(3)2 =713 AB AC =(1,2,2) (0, -3) = 6=4 ,AC44/13- cosA =cos =星宜 w -| AB | | AC | 3x辰39IT I2_ 丨 I13x7101sin A =sin = cos =39所以，S蟲BC =丄 | AB | HAG | sin A 二西1 a 22【方法總結(jié)】1.兩個(gè)向量（非零）的模相等是兩個(gè)向量相等的的條件。2.已知0、A、B是平面上的三點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2AC +CB = 0 ,則0C =.(用70A，0B表示）。3.空間四邊形ABCD中，若E、F、G、 是H分別為AB、BC、C

6、D、DA邊的中點(diǎn)，則下列各式成立的(1) EB +BF +EH +GH =0 ;(2) EB +FC +EH +GE =0 ；(3) EF +FG +EH +GH =0 ；(3)EF FB +CG +GH =0。4.正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列運(yùn)算結(jié)果為向量BD1的是(1) (A1D -A1AAB ；(2) BD1 (BC +BBJ -DG ；(3)(AD AB) 2DD4 ；(4) (BiDi-AA) + DDi。5.四面體ABCD中，設(shè)M為CD的中點(diǎn)，則AB + （BD + BC）化簡結(jié)果為6、梯形 ABCD 中，AB / CD , AB=2CD，點(diǎn) O 為空間任意一點(diǎn)，設(shè) O

7、A = a, OB = b,OC = C ,則向量OD用a,b,c表示為7.平行六面體ABCD-AiBiCiDi,M為AiCi與BiDi的交點(diǎn)，化簡下列向量的表達(dá)式。(1)； AA +A1B11-1 -(2) - AB-A1D1 ；2 2 1 (3) AA-A1B121 -+ A1 D1 ；2(4) AB + BC +CG +GA + A A；選修2-13.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（學(xué)案）【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律，了解空間向量 數(shù)量積的幾何意義；2. 掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式，會用向量的方法解決有關(guān)垂直、 夾角和距離問題.【重點(diǎn)

8、】空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律 【難點(diǎn)】學(xué)習(xí)探究， r 一用向量的方法解決有關(guān)垂直、夾角、距離等問題.【創(chuàng)設(shè)情景】1. 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；2. 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律；3. 平面向量的數(shù)量積、夾角、模等概念【預(yù)習(xí)提綱】（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第90 頁第92 頁）1.空間向量夾角的概念：已知兩個(gè)非零向量 a, b，在空間任取點(diǎn) 0,作OA = a ,OB = b，則N AOB叫做向量a, b的夾角，記作 Va, b.如果 v a，b=-，那么向量a,b互相垂直，記作a空間向量夾角的范圍: 0, n .2. 空間向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量 a,b

9、則I a | b| cos ca,b 叫做a, b的數(shù)量積，記作a b即a b =|a |b|cos 規(guī)定：0 a = 0 特別地,a a =| a |2.3. 空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律:a b = b a (交換律)；a (b +c) = a ”b+a c (分配律)思考：教材P90.【基礎(chǔ)練習(xí)】【典型例題】例 1 已知 A(3,1,3)，B(1,0,5)，求:(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度;(2)到A, B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P(X, y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件*【審題要津】1 3 解：(1 )設(shè) M 是線段 AB 的中點(diǎn)，貝y OM =-(OA+OB) =(2,3,-).

10、2 23 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3,3),2AB =(2,4,3)|AB| = J(-2)2 +42 +(3 =殛-(2)v點(diǎn)P(x, y,z)到A,B兩點(diǎn)的距離相等,I?222222貝 yv(x3) +(y1) +(z-3) =J(x1) +(y-5) +(z-0),化簡得：4x-8y+6z + 7=0,所以，到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P (x,y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件是4x-8 y+6z + 7 = 0 .【方法總結(jié)】到 A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) P(x, y,z)構(gòu)成的集合就是線段 AB的中垂面，若將點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件 4x-8y+6z+ 7=0的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量

11、a =(4,6)，發(fā)現(xiàn) 與AB =(24,3)共線.例2已知三角形的頂點(diǎn)是 A(1,-1,1) , B(2,1,1) , C(1,1,/),試求這個(gè)三角形的面積。【審題要津】可用公式 1| AB| | AC | sin A來求面積* 解： AB=(1,2,/), 定=(/,0,),- I 忌=護(hù)+22 +(2)2 =3 , |7c|=2)2 +0+( 3)2 =713 , Ab Ac =(1,2,2) (2,0, -3) = -2+6 =4 ,- cosA =cos caB,AC=匸二&I AB I I AC I 3x713 39sin A =sin = J -cos2 cAB, AC =13

12、乂 10139所以,S緲c =丄 |AB | HAG | sin A2 2【方法總結(jié)】1.兩個(gè)向量(非零)的模相等是兩個(gè)向量相等的的條件。2.已知0、A、B是平面上的三點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C,滿足2AC +CB = 0，則0C =.(用90A， 0 B 表示)。3.空間四邊形ABCD中，若E、F、G、 是H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，則下列各式成立的(1) EB +BF +EH +GH =0 ；(2) EB +FC +EH +GE =0 ；(3) EF +FG +EH +GH =0 ；(3) EF -FB +CG +GH =0。4.正方體ABCD-AiBiCiDi中，下列運(yùn)算結(jié)果為向量BDi的是(1) ( ADi - A A) - AB ；(2) bD1 (BC +BBJ -DG ；(3) (AD -AB) -2DD4 ；(4) (B1D A1A*DD1 o5.四面體ABCD中，設(shè)M為CD的中點(diǎn)，則AB(BD + BC)化簡結(jié)果為6、梯形 ABCD