《常微分方程》A卷及答案

1、安慶師范學(xué)院第1頁共7頁得分1 、含了它的所有解。常微分方程A卷 一、判斷題(8分，每題2分)n階常微分方程的通解包2、函數(shù)y=C1e是微分方程yH-y，-2y = 0 的通解。(3、n階線性齊次微分方程的n 個解為(t),X2(t),川，Xn(t)在a,b上線性無關(guān)的充要條件是W(t) HO,t 引a,b。4、設(shè)(t)為X = A(t)X的基解矩陣，則甲(t)為其基解矩陣=存在n階常數(shù)矩陣C，使空(t) =6(t)C。得分二、選擇題(10分，每題2分)2微分方程y + (y)-y= cosy三階線性方程四階線性方程A三階非線性方程C 四階非線性方程下列方程中為齊次方程的是A y =xy7半(

2、y)B xy = y + xta n，xc y Jxy+f(y)D cos ydx = cos xdyn階齊次線性微分方程的所有解構(gòu)成一個B n+1n1)維線性空間。D n +24、Lipschitz條件是一階微分方程初值問題存在唯一解的(A 充分條件C充分必要條件B必要條件D既不是充分也不是必要條件)條件。Idxi = _y5.方程 dt 的奇點(0,0)I L dt的類型是A結(jié)點B焦點C 中心D鞍點三、填空題(12分,得分每空2 分)1、向量函數(shù)x1(t),x2(t)JH,xn(t)是線性方程組X =A(t)X的基本解組的充要條件是:2、方程M（X, y）dx + N（X, y）dy =

3、0存在只與y有關(guān)而與x無關(guān)的積分因子的充分必要條件是3、 方程9丫 =、瓦的奇解是。dx 74、 伯努利方程=P （x）y+Q（x）yn,（n 工0,1）通過變量替換dx可化為線性方程。 2I 5、歐拉方程x y xy + y=O的通解為四、求下列方程的通解（40分，每題10 分）1、xy -2y =x3 COSX.112、(sin y + ysi n x +)dx +(x cosy-cos x + )dy =0.xy3、(y 中 x)dx + (y - x)dy = 04、x1 q.14 1丿五、計算與證明題（30分，每題10分）1、試用皮卡逐步逼近法求方程9丫 =x2 y通過點（1,0）的

4、第二次近似解。dx2、已知方程x+ax+x = 2cost的一個解為x1（t si nt,試求此方程的通解。3、設(shè)曲線L位于XOY平面的第一象限內(nèi)， L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點記為 A，已知3 3| MA |=| OA I且L過點（?，3），求L的方程.安慶師范學(xué)院常微分方程A卷（本答案僅供參考，若有多種解法，則按相應(yīng)標準酌情評分）一、判斷題（8分，每題2分）1、錯；2、錯；3、對;4、錯二、選擇題（10分，每題2 分);4、A ; 5、C三、填空題（12分，每空2 分)（1 ） Xi（t）, X2（t）,川，Xn（t）是方程組的解;(2) X1(t),X2(t)J|(,Xn(t)

5、線性無關(guān);cMcN3、y = 0 ；4、z1-0=yy =（G In x）x（其中Ci,c2為任意常數(shù)）四、求下列方程的通解（40分，每題10 分）1、xy，-2y =x3cosx.解：改寫方程為：2=x cosx先求齊次線性方程=0的通解，分離變量得dy積分得通解為y= cx2再利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解=c(x)x2，代入得： c(x)x2 = x2 cosx ,積分得c(x) = sin X + c2從而所求通解為y =（c+sinx）x （其中c為任意常數(shù)）.-1011(sin y + ysin x +)dx +(xcosy-cosx + )dy =0.xy解：由于釗 =CO

6、Sy +sin x=，所以原方程是恰當方程-4分 oyex第7頁共7頁原方程可化為11(sin ydx +xd sin y) -(yd cosx +cosxdy) + dx + dy = 0. xyd (xsin y - y cosx + In xy) = 0-8分故原方程的通解為 xsi ny- ycosx + ln xy =c ,其中c為任意常數(shù).-103、（y+x）dx+（ yx）dy = 0 解：原方程化為：ydx xdy + xdx + ydy = 0 =xdx + ydy = xdy - ydx (2 分)兩邊同除以X2 +y2 ”得：xdy - ydx寸X2 +y2xdx + y

7、dyX2 +y2即:dgrctan)d(lnx2 + y2)x 2(7分）化簡得:2 arctanZX2 +y2 =ce x（C為任意常數(shù)）故原方程的通解為:2 2x +y =cey2 arctan、 x(10 分)注：用其他方法解得正確結(jié)果給滿分。4、x4I4方程為A-aE=0-2入一3 = 0所以特征根為=3，扎2-1-31-31何 41一3八3丿6可確定出同樣可算出幾2 = 1對應(yīng)的特征向量為$2 lb2八-2丿所以，原方程組的通解為fe3t2 ）3丿-2幾-10五、計算與證明題(30分，每題10分)1、解：申o(x) =0,X 2131申 1（x）=s ds =-x -,332 1 4

8、 2（x） = 1 （s -申1（s）ds = -12X13.+x + x3312-10 分2、解：將x,(t) =sint代入原方程得-sin t +acost +s in t =2cost 即a =2.從而原方程化為x + 2x + x=2cost , 對應(yīng)齊次方程的特征值為-4 分Z =1 ,（二重）-6 分所以原方程的通解為X =(G +Qt)et +sint. q,C2為任意常數(shù).-10分3、設(shè)曲線L位于XOY平面的第一象限內(nèi)，L上任一點M處的切線與Y軸總相交，交點記為 A，已33=OA且L過點(一，一)，求L的方程。2 2解： 設(shè)點M的坐標為(x,y)，則切線MA的方程為:知MAY-y = y（X-x）（2 分）=y xy ，故點A的坐標為：(0, y xy)mA =|0A，y -xy； = J（x-O）2 +（y -y + xy）2 ；化簡后得：2yyX令 z = y2，得dz dx解得：z =e即y2 =由有2-X（5 分）l-d