2023-2024學(xué)年北京朝陽(yáng)區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京朝陽(yáng)高三（上）期中數(shù)學(xué)2023.11（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知全集，集合，，則（A） （B） （C） （D）（2）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（A） （B） （C） （D）（3）若，則（A） （B） （C） （D）（4）已知，，，則（A） （B） （C） （D）（5）函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（A） （B） （C） （D）（6）設(shè)，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（A） （B） （C） （D）（8）已知一個(gè)圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為．在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長(zhǎng)為（A） （B） （C） （D）（9）已知函數(shù)．設(shè)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）（10）已知點(diǎn)集，．設(shè)非空點(diǎn)集，若對(duì)中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)（與不重合），使得線段上除了點(diǎn)外沒(méi)有中的點(diǎn)，則中的元素個(gè)數(shù)最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）已知函數(shù)，則的最小正周期是________．（12）已知單位向量滿足，則向量與的夾角為_(kāi)_______．（13）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（），能說(shuō)明“若，則數(shù)列是遞減數(shù)列”為假命題的一組的值依次為_(kāi)_______．（14）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓心角的弦長(zhǎng)表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表．托勒密把圓的半徑等分，用圓的半徑長(zhǎng)的作為單位來(lái)度量弦長(zhǎng)．將圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)記為．如圖，在圓中，的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)恰好等于圓的半徑，因此的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，即．若為圓心角，，則________．（15）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓??；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡與沒(méi)有公共點(diǎn)；③三棱錐的體積的最小值為；④平面截該正方體所得截面的面積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題13分）已知是遞增的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為（），滿足，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及；（Ⅱ）若，求的最小值．（17）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．（18）（本小題15分）如圖，在三棱錐中，平面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．（19）（本小題14分）已知函數(shù)（）．（Ⅰ）若，求在區(qū)間上的最小值和最大值；（Ⅱ）若，求證：在處取得極小值．

（20）（本小題15分）已知函數(shù)（）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）試比較與的大小，并說(shuō)明理由．（21）（本小題15分）已知（）是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：=1\*GB3①（）；②對(duì)任意，存在，，使得，則稱為數(shù)表．（Ⅰ）判斷是否為數(shù)表，并求的值；（Ⅱ）若數(shù)表滿足（），求中各數(shù)之和的最小值；（Ⅲ）證明：對(duì)任意數(shù)表，存在，使得．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D （2）B （3）C （4）A （5）C（6）B （7）D （8）D （9）A （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12） （13）（14） （15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知．因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即．解得或．因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以．所以．所以．所以．. 8分（Ⅱ）由，得．所以．因?yàn)?，且，所以．所以，即的最小值?． 13分

（17）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．又，所以?5分（Ⅱ）選①②．由，又，所以．由正弦定理，得．所以．又因?yàn)?，所以，．又因?yàn)?，所以，即，解得．所以?13分（Ⅱ）選①③．由，又，所以．所以．由正弦定理，得．所以．所以． 13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，又平面，所以．在中，因?yàn)?，，所以．在中，因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，平面，所以平面?5分（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作．因?yàn)槠矫?，所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以．xzy設(shè)平面的一個(gè)法向量為．xzy由得整理得令，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得整理得令，則．設(shè)二面角為，則．由題可知，二面角為銳角，所以二面角的大小為． 12分（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則． 15分（19）（共14分）解：（Ⅰ）若，則，．因?yàn)?，所以．則．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為． 6分（Ⅱ）考慮時(shí)函數(shù)的變化情況．設(shè)，，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最小值為．=1\*GB3①若，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在處取得極小值．=2\*GB3②當(dāng)，即時(shí)，．因此存在，使得．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在處取得極小值．綜上，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值． 14分（20）（共15分）解：（Ⅰ）若，則，．所以，．故曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即． 5分（Ⅱ）由已知得．設(shè)，則．①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，符合題意．②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，不符合題意．綜上，的取值范圍為． 12分（Ⅲ），理由如下：由（Ⅱ）知時(shí)，在區(qū)間上恒成立，即．令，得，即．所以． 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）是數(shù)表，． 4分（Ⅱ）由題可知（）．當(dāng)時(shí)，有，所以．當(dāng)時(shí)，有，所以．所以（）．所以，，．或．或．或，或．故各數(shù)之和．當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小值．（例子不唯一） 9分（Ⅲ）由于數(shù)表中共個(gè)數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個(gè)數(shù)滿足．設(shè)第行中的個(gè)數(shù)為（）．當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用