四、2019年北京市一模試題及高頻考點(diǎn)透析(數(shù)列、不等式極坐標(biāo)與參數(shù)方程常用邏輯用語

1、2019年北京市各區(qū)一模試題分類解析及高頻考點(diǎn)剖析六、數(shù)列（必修五）1.已知等差數(shù)列1,a,b，等比數(shù)列3,a+2,b+5，則該等差數(shù)列的公差為B . 3 或-1C . 3 D . -3直面考點(diǎn)：1）等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)性質(zhì)；2）等比數(shù)列中任何一項(xiàng)都不能為0.略解：方法1由嚴(yán)5 2得*3(b+5) =(a+2)2仁翻:；，由于當(dāng)a=-2時(shí),a+2=0,等比數(shù)列中任一項(xiàng)均不能為0,故舍去，從而f 。等差數(shù)b = 7列中的三個(gè)數(shù)為1, 4, 7.公差為3.方法2依次把公差為3,-3 , -1代入已知條件，看是否滿足就行。2.設(shè)等差數(shù)列aj的前n項(xiàng)和為Sn，aHa6，則S5等于（C ）A. 10B.

2、12C. 15D. 30直面考點(diǎn)：1）等差數(shù)列的性質(zhì)；2）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的含義；3） 等差中項(xiàng)；4）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。略解：aaaa2a S5 =aaaaa153.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式a則使Sn v-4成立的最小自然數(shù)B . 82C . 81D . 80直面考點(diǎn)：1）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則；2）數(shù)列前n項(xiàng)和的意義;3）解不= |og3洛E N* ）設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn , n等于（C ）等式。略解：Sn = log1 132+|og33r+|og3+|og31log3齊宀1 12, n 壬 N*),則通項(xiàng) an=( c )1 12n + 1A. 2n+1B.2n-1C. D.2n1直面考點(diǎn)：1）

3、遞推關(guān)系的運(yùn)用；2）合情推理能力。7.如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（0,1），然后接著按圖所示在x軸，y軸平行方向來回運(yùn)動(dòng)（即）,若每秒運(yùn)動(dòng)一個(gè)單(0,0) T (0,1) T (1,1) T (1,0) t(2,0)位長度，那么第2019秒時(shí)，這個(gè)粒子所在的位置為（C）A. (16,44)B . (15,44 ).C. (14,44)D . (13,44 )直面考點(diǎn)：合情推理能力。X略解：選擇A1, A2, A3, A4, A5,的坐標(biāo)及運(yùn)動(dòng)方向作為突破口。t, =2(下)(1,1) t2 =6(左)(2,2) ts =12(下)(3,) t4 = 20(左)(4

4、,4)從而可猜想出通項(xiàng)公式為tn =2十4十6+8 + .十2n =n（n +1）,兩相鄰兩數(shù)的積最接近2019的是n=44,故有點(diǎn)A44（44,44） , 44咒45 = 1980，此點(diǎn)再向左運(yùn)動(dòng)30秒，得點(diǎn)（14, 44）。8. 一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第 1次生成一個(gè)數(shù)x，以后 每次生成的結(jié)果是將上一次生成的每一個(gè)數(shù) x生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是-X ,另一個(gè)是x+3 .設(shè)第n次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為an ,則數(shù)列的前n 項(xiàng)和Sn=；若X=1，前n次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為Tn , 則Tn =2n-1n13 4直面考點(diǎn)：1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；2）合情推理能力。略解：1)Sn =1 +2

5、+4+8+.+2n-1=空3”1。2-12）寫出5行后，可以先求出:T, =1,丁2 =3,丁3 =6,丁4 =10,丁5 =14不完全歸納，猜想：Tn “34n 6(n =1)(n =2)(n 3)9.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，且有務(wù)=2 , 3Sn =5an -an_1+3Sn_, （n 2, n迂N*）. （I）求數(shù)列G 的通項(xiàng)公式；（H）設(shè)bn = （2 n-1応，求 數(shù)列tbj的前n項(xiàng)的和Tn.解: (I) 由 3Sn =5an-an4+3Sn=3an =5an-an( n2,n 亡 N*)得=丄，(n 2,n 忘 N*),3 分and2所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1為公比的等比

6、數(shù)列，所以an=225分+(n) bn =(2 n-1)”22 /. Tn =1X2 +3X2。+5咒2+ +(2 n-1) ”？2 7 分+同乘公比得Tn =仔20 +3心+5天2, +(2n-1) C 9 分 二 1Tn =1咒2 +2咒20 + 2冥2)+22, + +2 2 -(2n- 1)21n10 分=2+ 41 -(1)2 -(2n -1)右11/. Tn =12-(2n +3)右13直面考點(diǎn)：1）數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系。an =S（nJ時(shí)2 ）前n項(xiàng)和的方法：錯(cuò)位相錯(cuò)法。iSn Sn-1 （n 2時(shí)，n 忘 N *）適合求通項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后得一新數(shù)

7、列的前n項(xiàng)和。10.若一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這個(gè) 數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列an是調(diào)和數(shù)列，對(duì)于各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù) 列Xn，滿足Xn% =Xn異豐=焉42時(shí)（n N）.X2X3X4X5X6X7X8X9IIIHHII（n）把數(shù)列xn中所有項(xiàng)按如圖所示的規(guī)律排XiX10（I）證明數(shù)列Xn是等比數(shù)列；成一個(gè)三角形數(shù)表，當(dāng)X3 =8, X7 =128時(shí)，求第m行各數(shù)的和;（皿）對(duì)于（n）中的數(shù)列xn，證明:n 厶 +3 + 川 + Xn j .2 3X2 1X3 1Xn + 12證明：（I）因?yàn)閤an =XV=Xa吐，且數(shù)列Xn中各項(xiàng)都是正數(shù),所以 an Ig Xn =an +

8、 lg=andg Xn 七.設(shè) an lg Xn =anH1lg XnH1 =andg XnM = p ,因?yàn)閿?shù)列an是調(diào)和數(shù)列,21 1=+an4lanan42所以，空+丄an41 an an 七由得=Ig xn, =lgxann , lg xn十，an十a(chǎn)n42=Ig Xn七，代入式得，所以 2lg Xn+ =lg Xn +lg Xn七，即 lgx24i =lg(XnXnH2).故x2廠XnXn七，所以數(shù)列Xn是等比數(shù)列.5分解：（n）設(shè)Xn的公比為q，則X3q=X7，即8q=128 .由于xQ ,故q =2 .于是 Xn =X3qn=872 =2n.注意到第n （n =1,2,3，川）行

9、共有n個(gè)數(shù),所以三角形數(shù)表中第1行至第行共含有1 +2+3+H)+(m _1)= m(m-k k 4r(1,2,3jll,n), 個(gè)數(shù).2因此第m行第1個(gè)數(shù)是數(shù)列Xn中的第衛(wèi)哼+ 1 = m m + 3 2k +2k-22 3 2k項(xiàng).m2 m故第m行第1個(gè)數(shù)是xm2. =2m2 mH2所以第m行各數(shù)的和為Sm=22 (2m-1)m2 mH221=2 2 (2m-1)（皿）因?yàn)閄n =2n，所以Xk 12k1Xk-2k*-12k-1 22(2k-丄22所以X2 1X3 1X2 JXn打1221 n+ =2 2又兀12k -11Xk中一12-122(2-1)所以 2+3+ 川 + 丘1 AQ+t

10、+HiJX2 TX3 -1Xn 出一122已)ve+e)2we)n所以1-23g+川+ xnT 衛(wèi).X2 T X3 1xn*1 2n +14分直面考點(diǎn):1）等差中項(xiàng)；2）對(duì)新信息的處理能力；3）恒等變形能 對(duì)于連等式（有幕），常用的手段是兩邊取對(duì)數(shù)；4）等比數(shù)列的定義x2+=XnXn七二數(shù)列Xn是等比數(shù)列（各項(xiàng)不為 0）； 5）不等式的證明方法放縮法；6）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；7）綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。11.已知數(shù)列aj滿足：a1 =0,2an+1, n為偶數(shù)，2an # n +1,n =2,3,4，川.2 +2a1, n為奇數(shù)，(I)求 a5,a6,a7 的值;a?(n)設(shè)ba|n1，試求數(shù)列

11、bJ的通項(xiàng)公式;解軍：(I)a1=0 , a = VI 2a1 = 1 , 83=2+24 = 2 , a4=1 + 2a = 3 ,二 as =3+2a2 =5 ; as =1+2a3 =5 ; a7=4 + 2a3=8. 3 分(n)由題設(shè)，對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有:a：豐 2 + 2a2n 1 bn+ =2n1bn+ -bn4. 數(shù)列是以b-=0為首項(xiàng)，i為公差的等差數(shù).n 1b 直面考點(diǎn):1)函數(shù)的思想及分段函數(shù)；2)對(duì)通項(xiàng)的理解及等差數(shù)列的定義。-312.已知數(shù)列Xn滿足X1=4，亦二3 I )求證：Xn3 ；( n )求證:2Xn -4Xn+3即n =k +1時(shí)，結(jié)論成立.由（1）

12、（2）可知對(duì)任意的正整數(shù)n ,都有Xn 3.4 分（n）證明:2 2X X_Xn3 X _ Xn +4Xn 3 _ （X 1）（X 3）Xn 半一Xn =- - Xn =2x-42x-42x-4因?yàn)閄n3，所以士宀2 時(shí)，an =Sn - Sn=(a -1)an/又 ai = S = 1 ,an =1(n =1),i(a1)a2, (n 2).（皿）當(dāng) a =4, n32時(shí)，a4n，此時(shí)9an_9x3y(an +3)(an+3) (3x4n+3)(3天4n，+3)3x429ai(4n，+1)(蘋斗+1) _4n，+1 _羊斗+1又 b =901=31 (a3)(a3)8bn =3S1 1n _

13、2 I ,n d 丄.,14+14+1(n =1)(n2)Ti3，3Tn=bl+b2 +川+bn=- + (8恙1是1）+川+嚴(yán)1）-718 4n+1若心，則等式+羔=8為|+舒8，“5不是整數(shù)，不符合題意.若n二2，則等式Tn+竺=7為r占+冷，“ 5-是 4nri是5的因數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，丄L 是整數(shù)，扎=44+1綜上，當(dāng)且僅當(dāng)A =4時(shí),存在正整數(shù)Z，使等式+釜=成立.直面考點(diǎn)：1）數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系。fS1（n =1時(shí)）c、2an=時(shí) 2 ） Sn2=SnSn 沁 n 二 2） （ & 工 0 ）ISn Sn-1 （n 2時(shí)，n N二Sn,數(shù)列&是等比數(shù)列.3）數(shù)列求和方法一

14、一裂項(xiàng)相消法;4）綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。14.在數(shù)列an中，ai=3, an az-2 n+1 (n 2,且 n-N *) . (I)求a2 , a3的值；（n）證明：數(shù)列an+n是等比數(shù)列，并求%的通項(xiàng)公式；（皿）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解：(I) ； a1 =3 , an =an斗一 2 n+1 (n 2,且 n 亡 N *),a2 = ai 4 +1 = 6 ,a3 = a2 6 +1 =1.4 分an + n (-anjL-2n+1) + n 憐一 n+1(n)證明:=-1 ,an+( n1)an+ n1an+ n 1二數(shù)列an +n是首項(xiàng)為ai +1 =4，公比為-1的等比數(shù)列.7分

15、an + n=4(-1)2即 an =4 (-1)2-n ,二an的通項(xiàng)公式為an =4 (-1嚴(yán)-n (n亡N ).8 分(皿)解：丫 an的通項(xiàng)公式為 an =4(-1)2 - n (n N *),所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),Sn 上 ak34 C)k-k24 -歲1(n2 +n -8) .102nn彳當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，心心曠一+). 12綜上,Sn =1 2(n +n-8), n是正奇數(shù),2丄(n2+n),n是正偶數(shù).213 分直面考點(diǎn):1)由遞推公式求指定項(xiàng)；2)等比數(shù)列的定義;3)分類討論思想;4)數(shù)列求法的方法一一分組求和法。15.已知數(shù)列J 中，a1 =2 , a2=3，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn

16、P+5j = 2Sn+1(nX2,n-N *).( 1)求數(shù)列右n 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) b4nD- 2(an Z 為非零整數(shù)，n迂N * ),試確定)的值，使得對(duì)任意n迂N *，都有bn十 bn成立.解：(I )由已知，e，-Sn )-(Sn-Sn)= 1 (門二2 , N* ),2 分即卩 ai a = 1 ( n 二 2 , n 匸 N ),且.a a = 1 .二數(shù)列 是以ai =2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列. an = n +1 .4 分(II ) an= n+1，二 bn =40(-1)7右，要使 bn bn 恒成立,二 bn專-bn =4n -4n +(-1 九 2n-(-12n

17、 0恒成立,3 4n -31(-1$藝十:0恒成立,(-in眾2n恒成立.(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即A -2n恒成立,10 分當(dāng)且僅當(dāng)n=2 時(shí)，-2亠有最大值-2 ,A 2 .12即-2a1，又a為非零整數(shù)，貝J A 1.綜上，存在幾=一1，使得對(duì)任意n N，都有bnAbn.14分 直面考點(diǎn)：1)數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系；2)等差數(shù)列的定義；3) 不等式恒成立問題；4)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。16.設(shè)集合W由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列Qn 構(gòu)成:答業(yè) “n ；存在實(shí)數(shù)M使an蘭M。(n為正整數(shù))(I)在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列&,、抵中，其中a1,a2,a3=3,為集合W中的元素;(H)設(shè)cj是各項(xiàng)為正數(shù)的等

18、比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，C3 J ,4S =7，試證明sj壬W，并寫出M的取值范圍。4解：(I )對(duì)于數(shù)列an，取 啓魚=2 = 02，顯然不滿足集合 W的條件故不是集合W中的元素。對(duì)于數(shù)列bn，當(dāng)n門123,4,5時(shí)，不僅有 =3 2 , 罟 =40,4烏+03七=7，整理得，6q2-q-1=0q q 4q=2，. G Cn =尹ISn =2 - 277 分對(duì)于 P N,有 & ；Sn =2-右-二2-jn 二 Sn 十，且 Sn 2且n 亡 N*), an a1 a2an J.+丄 5 分a卄anan,b =丄+丄+.+丄+丄an + a1 a2an4 an二 bn十a(chǎn)n (bn +1總

19、卅=0(n 2且n 丘 N*);當(dāng) n=1 時(shí)，b2a(b1 +1方2=-37直面考點(diǎn)：1)構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;2)綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。七、不等式(必修五)1.設(shè) M2= (73)川 P=3 何(其中 0xy ),則M ,N,P大小關(guān)系為(D)(A) M N P(B) NPM ( C) P McN ( D) P vNj3x*3y=32 =N3.xy= P 22.奇函數(shù)f(x)在(=,0)上單調(diào)遞增，若f(-1)=0,則不等式f(x)vO的解集是（A ）A.（亠，1）U（0,1）B.U（1,TC.（-i,o）u（o,i）D.（i,o）U（r）直面考點(diǎn)：1）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；2）用

20、圖象解不等式。3.設(shè)a 0,b 0,a+b+ab =24，貝B ）A. a+b有最大值8B.a+b有最小值8C. ab有最大值8D.ab有最小值8直面考點(diǎn)：1）均值不等式；2）取特殊值法。略解：取a=b,求出對(duì)應(yīng)的a + b及ab的值，可淘汰C Db 4若A，B，C為AABC的三個(gè)內(nèi)角則舟的最小值為直面考點(diǎn)：1）三角形的內(nèi)角和；2）均值不等式；3）導(dǎo)數(shù)在求最值 上的應(yīng)用。略解：方法1設(shè)A=x 則y十凡，則八-+匕=0X =孚，最小值為。3兀方法2判別式法?；痽=4 +一1為關(guān)于X的一元二次方程，然后判X 兀一X別式大于等于0,得到關(guān)于y的一元二次方程，解出y即可。方法34十 =丄竺+丄=丄空K

21、壬比空！ + m+Ax 兀X 兀 X 兀-X 兀x2兀-2x=丄22兀-2x） +4 +1 +一2x一=丄5 + 2（ 2兀 2x + 一x一 丄X 9 兀x2兀-2x 兀X2兀-2x 兀（當(dāng)且僅當(dāng)壬空即x = 2;i時(shí)取等號(hào)）x2皿-2x35.已知函數(shù)f（X）= log1 （x+1）的圖像與函數(shù)y = g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)2稱；（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；（2）解不等式f（X）+ g（x） ；0 .解：（1）由于函數(shù)y=g（x）與f（x）=iog1（x+1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故2y =g(x)=log1(-x +1)2jx +1 0(2) f(X)+g(x) 0= log 1(-

22、x +1) +log1(X +1) 0= -x+1 0= -1 cx c12 2 21 -X 1且X HO故不等式的解集為x1-1cx0*x + y20223x2 + （y+2）2= 1,-；點(diǎn)A在曲線C上，點(diǎn)M（x,y）在平面區(qū)域直面考點(diǎn)：1）參數(shù)方程與普通方程的互化；2）圓的參數(shù)方程；3） 畫能力；4）線性規(guī)劃。x十3 （參數(shù)y =3t注：正確畫出圓的圖形及可行域是解題的關(guān)鍵。7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為 t R）,圓C的參數(shù)方程為（參數(shù)旅0,2兀）,則圓C的圓心y = si n 日 +2坐標(biāo)為,圓心到直線I的距離為.（0，2）； 242直面考點(diǎn)：1）直線的參數(shù)方程化普

23、通方程的方法：加減或代入消參 法；2）圓的普通方程化為參數(shù)方程的方法；3）點(diǎn)到直線的距離公式。8.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線1的參數(shù)方程為參數(shù)tR 圓C的參數(shù)方程為xFOsfr （參數(shù)朕0）,則圓心到直線l的距y =si no離是。運(yùn) 直面考點(diǎn)：1）直線的參數(shù)方程化普通方程的方法：加減或代入消參 法；2）圓的普通方程化為參數(shù)方程的方法；3）點(diǎn)到直線的距離公式。9.圓C的極坐標(biāo)方程P =2cos8化為直角坐標(biāo)方程為該圓的面積為2 2.x 2x + y =0 ,兀/2+2_ p2直面考點(diǎn)：1）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化x = Pco訊及:y 一 ； 2）y = Psin 日-=tanelx圓的標(biāo)準(zhǔn)

24、方程與一般方程的互化；3）圓的面積公式。注：P =2cos&的兩邊同時(shí)乘以P是常見的技巧。10.已知橢圓:2參數(shù)），將其化為直角坐標(biāo)方程是離心率e二x = Pco或y + y2直面考點(diǎn)：1）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化f- CO： 及; 2）ly = Psi n 日/ = tan 日lx橢圓的參數(shù)方程；3）橢圓的離心率一一e仝及a,b,c關(guān)系：a2=b2 + c2a注：充分利用sin2日+ cos2T =1來消參。11.經(jīng)過極點(diǎn)，圓心在極軸上，且半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程為 。P = 2cos日直面考點(diǎn)：1）直徑所對(duì)的圓周角是直角;2）直角三角形中余弦函數(shù)定義；3）極坐標(biāo)與極坐標(biāo)的含義。12.直線l：

25、xJ3y=0與曲線cjx = a7忑cosW（9為參數(shù)，ao）有J = y/2 sin 護(hù)兩個(gè)公共點(diǎn)A,B，且AB =2，則實(shí)數(shù)a的值為_；在此條件下，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為2,P2 4P COS0 +2=0直面考點(diǎn)：1）圓的參數(shù)方程；2）垂徑定理；3）點(diǎn)到直線的距離公 式；4）普通方程與極坐標(biāo)方程的互化一一直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化及廠 y = Psi 門日廣=ta n&13.已知圓的極坐標(biāo)方程為P = 2cos ,則圓心的直角坐標(biāo)(1,0) 1；半徑長為直面考點(diǎn)：直面考點(diǎn)：1 ）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化x = co及l(fā)y = Psin 日八卩2； 2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化。 廣=ta n9注：P = 2cos&的兩邊同時(shí)乘以P是常見的技巧。九、常用邏輯用語（選修2-1）1.下列命題中的假命題是（D ）A. /x0且xH1，都有 x+丄 2xB. pa北，直線ax + y = a恒過定點(diǎn)（1,0）C. 3R,使f（X）= （m -1）站*是幕函數(shù)D.g迂R，函數(shù)f（x）=s in （2xN）都不是偶函數(shù)直面考點(diǎn)：1）全稱命題與特稱命題；2）對(duì)