分部積分法教案(最新整理)

1、分部積分法教學(xué)目的：使學(xué)生理解分部積分法，掌握分部積分法的一般步驟及其應(yīng)用。重點(diǎn)：分部積分法及其應(yīng)用難點(diǎn)：在分部積分法中，要恰當(dāng)?shù)倪x取 u 和 v教學(xué)方法：講練法0 回顧上幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了不定積分的求法，要求我們熟記基本初等函數(shù)積分公式表熟練、靈活的運(yùn)用第一換元積分法（湊微法）熟練、靈活的運(yùn)用第二換元積分法。湊微法：實(shí)質(zhì)是在被積函數(shù)中湊出中間變量的微分； f (x)dx = f j(x)j(x)dx= f j(x)dj(x) 令 u = j(x)= f (u)du= f (u) + c= fj(x) + c第二換元積分法：關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q x = j(t) ，使得難求的積分易求 f (

2、x)dx 令x=j(t) f j(t)j(t)dt= f j(t)dj(t)= fj(t) + c= f(x) + c1 引入用我們已經(jīng)掌握的方法求不定積分 x cos xdx分析：被積函數(shù)為兩函數(shù)的乘積不是基本的積分公式。湊微法失效。 x cos x第二類換元積分法解：不妨設(shè)cos x = t則 x = arccos t原方程 t arccos t - 1 1 - tdt 更為復(fù)雜2所以湊微法和第二換元積分法都失效。反之考慮，兩函數(shù)乘積的積分不會(huì)，但兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)我們會(huì)，比如：（假設(shè) u、 v 為兩個(gè)函數(shù)）已知：(u v) = u v + uv對(duì)上式兩邊積分得： uv = u vdx +

3、uv dx移項(xiàng)得： uv dx = uv - u vdx觀察上式發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)也是兩函數(shù)乘積的形式，注意： uv dx 中 v為導(dǎo)數(shù)形式。故，我們可以嘗試來(lái)解一下上面的積分。 x cos xdx 先要化的和要求積分的形式一樣= x(sin x) dx= x sin x - xsin xdx= x sin x + cos x + c真是：ft重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村。通過(guò)上面的方法，我們順利的解決兩函數(shù)乘積的積分。其實(shí)上面的公式正是這一節(jié)課要講述的“分部積分法”。2 公式2.1 定理設(shè)函數(shù)u = u(x) 和v = v(x) 及都具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有分部積分公式： uv dx = uv - u

4、 vdx （或 udv = uv - vdu ）說(shuō)明：兩函數(shù)的積分等于將其中一個(gè)放在 d 里后，里外相乘減去換位的積分。內(nèi)外積減去換位“積”。步驟：a、放 d 中，b、套公式。2.2 例 1 求不定積分 x sin xdx解: x sin xdx x sin xdx= - xd (cos x)= -x cos x + cos xdx= -x cos x + sin x + c3 u、v 的選取問(wèn)題例 2 求不定積分 ex xdx解：llllllllllll 放d中l(wèi)lllllllll 套公式 ex xdx=ex d ( 1 x 2 )2= 1 x 2ex - 1 x 2dex22= 1 x 2

5、ex - 1 ex x 2dx22容易發(fā)現(xiàn)使用分部積分公式后，變得更加復(fù)雜了，是我們的公式用錯(cuò)了嗎？不妨換個(gè)角度看問(wèn)題： ex xdx= xdex= xex - ex dx= xex - ex + c發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決了，問(wèn)題出在哪里？觀察發(fā)現(xiàn)，這兩種做法的不同之處在于把誰(shuí)放在 d 里，換句話說(shuō)就是則樣選擇 u 和 v 的問(wèn)題，由上面的例看出運(yùn)用分部積分公式時(shí)恰當(dāng)?shù)倪x擇 u 和 v 是十分重要的，選對(duì)了可以輕松解題，選錯(cuò)了，輕則解題復(fù)雜，重則解不出結(jié)果。那么應(yīng)該如何選取 u 和 v 的呢？我們來(lái)看一下公式 udv = uv - vdu ，要把 v 放在 d 中首先要對(duì) v 積分，所以 v 要便于積分

6、；而 u 要進(jìn)行求導(dǎo)，所以 u 便于求導(dǎo)；實(shí)際上關(guān)鍵是 v，v 定了，u 怎然定了。所以u(píng)、v 選取的原則是：v 便于積分，u 便于求導(dǎo)。例 3 求不定積分 x ln xdx分析：對(duì)于 x 和 lnx 來(lái)說(shuō)明顯的 x 便于積分，故選 lnx 做 u x ln xdx=ln xd ( 1 x 2 )2= 1 x 2 ln x - 1x 2d ln x22= 1 x 2 ln x - 1 xdx22= 1 x 2 ln x - 1 x 2 + c24實(shí)際上在選取 v 時(shí)是相對(duì)的，兩個(gè)函數(shù)中更便于積分的做 v，我們列出了一個(gè)積分從難到易順序：反、對(duì)、冪、三、指；一般在做題的時(shí)候我們選取后面的做 v.

7、4 例題講解例 4 求不定積分ln xdx分析：此為一個(gè)函數(shù)的積分，當(dāng)然不能使用湊微法、換元法積分，可是不滿足兩函數(shù)乘積，能否用分部積分公式呢？其實(shí)只需要將被積函數(shù)看作1 ln x 即可。解： ln xdx= ln xdx= x ln x - xd ln x= x ln x - x + c結(jié)論：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的是記憶、理解公式，更重要的是靈活應(yīng)用。例 5 求不定積分 x 2ex dx解： x 2ex dx= x 2dex= x 2ex - 2 xex dxll再次使用分部積分公式= x 2ex - 2 xdex= x 2ex - 2(xex - ex dx)= x 2ex - 2xex + ex

8、 + c結(jié)論：分部積分公式是可以重復(fù)使用的。例 6 求不定積分 ex sin xdx解： ex sin xdx= sin xdex= ex sin x - ex cos xdx= ex sin x - ex cos x - ex sin xdx好像進(jìn)入了死胡同，實(shí)則不然，令 ex sin xdx = i ,則上式變?yōu)椋篿 = ex sin x - ex cos x - i則 2i = ex sin x - ex cos xi = 1 (ex sin x - ex cos x) + c2問(wèn)題得以解決。故要靈活的處理問(wèn)題。5 小結(jié)1、分部積分的公式2、u、v 的選取3、靈活的使用公式“”“”at

9、the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs o