二次微分方程的通解

1、第六節(jié) 教學目的:二階常系數齊次線性微分方程使學生掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數非齊教學重點： 教學過程:二階常系數齊次線性微分方程的解法一、二階常系數齊次線性微分方程 二階常系數齊次線性微分方程：方程yyy=0稱為二階常系數齊次線性微分方程、其中P、q均為常數.如果yi、y是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解r那么y上iyi+C2y2就是它的通解.我們看看*能否適當選取 J使?jié)M足二階常系數齊次線性微分方程為此將代入方程yrypy=02rx(r 巾r+q)e =0.只要r滿足代數方程r2+prpm、函數“就是微分方程的解.特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方

2、程yHpyHqy=0的特征方程.特征方程的兩個根 可用公式由此可見門、2-p + Jp 2 -4qri,2 =2特征方程的根與通解的關系(1)特征方程有兩個不相等的實根ri、2時.函數yi =eriX、yer2X是方程的兩個線性無關yqX函數yeriX、y2=er2X是方程的解 又= y2er2x=e(rr2)x不是常數.因此方程的通解為y Pex +C2er2X次線性微分方程的解法方程的兩個線性無關的解這是因為r y =er是方程的解、又(xeX)” +p (xer1x)+q(xer1x) =(2 +xr12)er1x + p (1 + xr1)er1x +qxer1x=erix(2ri +

3、 p)+xerix(ri2 + pri+q)=O 、所以yxerix也是方程的解、且x牛訐x不是常數因此方程的通解為y =Ger1x +C2xer1x(3)特征方程有一對共軛復根關的復數形式的解.函數ycosPx1,時*函數y=e(皿x是微分方程的兩個線性無、yw%in Px是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解.函數1=3%和y2w(WBx都是方程的解而由歐拉公式(of pxxy w (cosx+isi nx)(aLpxxy2=e=e(cosx-isi nx)y1W2=2e xcosxexCOSPx=2(y1+y2)y1-y2=2ie xsinx尹sin Px=(y1-y2)2i故 ecos

4、Rx、y2 =esinPx也是方程解.可以驗證.y1N%osPx、y2 wsin Px是方程的線性無關解.因此方程的通解為y=e*tCicos図弋2Sin Px ).第一步求二階常系數齊次線性微分方程y巾ypyn的通解的步驟為：寫出微分方程的特征方程第二步r2 巾rp=O求出特征方程的兩個根1、2.第三步根據特征方程的兩個根的不同情況.寫出微分方程的通解.求微分方程y2yyy=0的通解.所給微分方程的特征方程為r2-2r3=0、即(r+l)(r3)=0其根1亠12書是兩個不相等的實根-因此所求通解為亠 孑丄亠 3xy=C1e 七2e .例2求方程y“H2y，Hy=0滿足初始條件 yX=04、y

5、|x亠2的特解.解所給方程的特征方程為2 2r242r+1、即(r+1)2=0其根ri才21是兩個相等的實根、因此所給微分方程的通解為ynCiM2X)e.將條件y|x2蟲代入通解、得Ci 4、從而yn42X)e,將上式對x求導、得xy=(C2/-C2X)e .再把條件y很=0=2代入上式 得C2=2 .于是所求特解為例3求微分方程y-2yH5y= 0的通解.解所給方程的特征方程為2r -2+=0特征方程的根為1=1 42i2-2i是一對共軛復根因此所求通解為y=eX(Cicos2x 乜sin2x).n階常系數齊次線性微分方程：方程y齊1y(n)+p2+ ”+ pn jypny=0 ”稱為n階常

6、系數齊次線性微分方程、其中pir P2Pn_l、Pn都是常數.二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n階常系數齊次線性微分方程上去.引入微分算子 D及微分算子的n次多項式L(D)=Dn 巾1Dn巾2 Dn+ “ + Pn4D*pn則n階常系數齊次線性微分方程可記作/n 丄 fn-l,fn-2(D +p1D 巾2 D注D叫做微分算子 D0y=yDy=/+ +pnD +pn)y=0 或 L(D)y=0D2y=yD3y=yDny=y(n)分析 令yF伙則L(D)y=L(D)e伙=(rn+p1rnd 邛2 rn + ”+ p nxr+pn)e伙丸(伙因此如果r是多項式L(r)的

7、根 則ywrx是微分方程L(D)y=0的解n階常系數齊次線性微分方程的特征方程L(r)Tn 巾仃2邛2 rn稱為微分方程L(D)yn的特征方程特征方程的根與通解中項的對應單實根r對應于一項:Cerx ;一對單復根riip對應于兩項：e密(Cicospx2sinPx)；rxk 1k重實根r對應于k項:e (Ci 次+”4Ckx )；一對k重復根riip對應于2k項：e癥(CiM2X +M0 .解這里的特征方程為r4+P SPP它的根為上二石土。，3,4 =-石(1i) 因此所給微分方程的通解為-xPp- xppy=eT2 （C1COS石X +C2Sin石x） +e、2 （C3COS石X+C4Si

8、n石x）.、二階常系數非齊次線性微分方程簡介二階常系數非齊次線性微分方程：方程yPyFEx)稱為二階常系數非齊次線性微分方程、其中P、q是常數.二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程的通解yM(x)與非齊次方程本身的一個特解y弓*(x)之和：yh(x) + y*(x).當f(x)為兩種特殊形式時.方程的特解的求法：一、f(x) =Pm(x)e 型.因此*設特解形式為當f(x)=Pm(x)e云時.可以猜想*方程的特解也應具有這種形式 y*F(x)/、將其代入方程、得等式Q ”(x) +(2 幾巾)Q (x)丸泊邛)+q)Q(x) =Pm(x).(1)如果)不是特征方程r2巾r+q=0

9、的根、則a邛入為 0.要使上式成立、Q(x)應設為m次多Qm(x)=boxm4bixm+ ”+bmjix+bm *通過比較等式兩邊同次項系數可確定bo *bi*bm *并得所求特解y* =Qm(x)e如果)是特征方程r2 4pr +q =0的單根、則a+pZJq T、但2 A/巾0、要使等式2Q (X)+(2 k4p)Q(X)% A Fp)K)Q(x)=Pm(x).成立P(x)應設為m4l次多項式：Q(x) =xQm(X)、Qm(X)=b0Xm +bixmd+ ” +bmx+bm ,通過比較等式兩邊同次項系數*可確定bo*bi并得所求特解y* nQm(x)eX.2 2如果A是特征方程r切+q=

10、0的二重根、則A巾A+q=0 2沖=0、要使等式Q (X)+(2 幾巾)Q (xph/-hZ+q)Q(x) =Pm(x).成立、Q(x)應設為m吃次多項式：Q(x) /Qm(x)、 Qm(X)=b0Xm 加ixm+bmx+bm ,通過比較等式兩邊同次項系數、可確定b0 .birbm ,并得所求特解y* m2Qm(x)e 為.綜上所述 我們有如下結論：如果f(x)=Pm(x)e趙.則二階常系數非齊次線性微分方程ypypy #(x)有形如y* =xkQm(x)e 入的特解、其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式、而k按/不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.例

11、1求微分方程y“2yynxF的一個特解.解 這是二階常系數非齊次線性微分方程.且函數f(x)是Pm(x)?x型(其中Pm(x)=3x十1丄=0).與所給方程對應的齊次方程為y2yy=0 *它的特征方程為r2-2r3=0 .由于這里A =0不是特征方程的根、所以應設特解為y* =b0x+bi.把它代入所給方程.得-3box-2bo-3bi =3x+1 ,比較兩端x同次幕的系數*得3bo =32bo -3bi =13bo =3、2bo-3bi =1 .由此求得bo=_1 r d二丄.于是求得所給方程的一個特解為3* 亠1求微分方程yHyH6y=xe2x的通解.解所給方程是二階常系數非齊次線性微分方

12、程.且f(x)是Pm(x)x型(其中Pm(X)=X J尸2).與所給方程對應的齊次方程為它的特征方程為特征方程有兩個實根 ri.于是所給方程對應的齊次方程的通解為Y=Cie%2e3x .由于A=2是特征方程的單根.所以應設方程的特解為 y* =(box 加 i)e2x.把它代入所給方程.得-2box吃bo-bi=x.比較兩端x同次幕的系數、得：-2bo =12bo-bi=o-2boW . 2boTi=O .由此求得bo*bi亠1.于是求得所給方程的一個特解為yJx(x1歸“從而所給方程的通解為y =Cie2x +C2e3x -2 (x2x)e2x提示2x22xy*=Xbox+bi)e pbox

13、 加ix)e(box2 也ixjeV豐(2box%i)丸box2+bix) 2e2x(box2北ixjeVboabox+bi) 2+(box2+bix) 22e“ y-ny-七y* 彳(box+bixlerK box2+bix)e2x北(box2+bix)e2x22 2x22x22x=2bo 吃(2box+bi) 2+(box +bix) 2 e -5(2box+bi)+(box +bix) 2e +6(box +bix)e2x2x42 bo -44(2 box+bi) -5(2b0x+bi) e一2b0x+2b0i e方程 y4py4qy=eP| (x)coso3x+Pn(x)sinx的特解

14、形式應用歐拉公式可得e Pl (x)cosKix+Pn(x)si nxrxeix+e-xeix_e-it5X=ex P(X)e子+ Pn(x)22i=iP(x)-iPn(x)e(Ex+2P(x)+iPn(x)eM)x=P(x)e仃Mx +P(x)e(l x其中 P(x)=1(PPni) r P(x)=i(P+Pni) .而 mmax l,n. 設方程 yFyFy=P(x)e0如的特解為 yi* zkQm(x)ex則* =xkQm(x)e(3簡必是方程yf Py+qy =P(x)ee的特解*其中k按kdi 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 .于是方程 y巾ypy=e勺Pi(x)cos

15、o;)x+Pn(x)sinccx的特解為y* =xkQm(x)e仇如x+xkge恥=xke 紐Qm(x)(cosx +i si n 詠)+ Qm(x)(cosx -isi n x)k e必Rm(x)coscox枳m(x)sincox.綜上所述、我們有如下結論：如果f(x)/P|(x)cosxPn(x)sinX r則二階常系數非齊次線性微分方程yrypyh(x)的特解可設為y* 怙作只m(x)cosx托m(x)sin Ox、其中Rm(x)、Rm(x)是m次多項式、m=max i、n、而k按入松(或Xh)不是特征方程的根或是 特征方程的單根依次取O或i .例3求微分方程y*ymcos2x的一個特解.解所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程且 f(x)屬于 e勺Pl(x)cos酥+Pn(x)sinx型(其中 Z Z Fl(x)點*Pn(x)=0).與所給方程對應的齊次方程為它的特征方程為r2+1 由于這里A出=2i不是特征方程的根、所以應設特解為y* =(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.把它代入所給方程、得(-3ax -3b +4c)cos2x -(3cx +3d 4a)sin2x =xcos2x .比較兩端同類項的系數*得a = 1d=4 .39于是求得一個特解為y* =1xcos2x +4sin2x .39提示y* =(ax+