函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性

1、函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)之一，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷的是問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的之美。對(duì)稱性，在幾何中研究的較多，在代數(shù)中研究的較少。本文只探討函數(shù)的關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性。I.函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性命題1：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的充要條件是fx+f2a-x=2b(或者a+x+fa-x=2b)證明：（必要性）設(shè)P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(a,b) 的對(duì)稱點(diǎn)P(2a-x

2、,2b-y)也在y=f(x)圖像上，2b-y=f2a-x，即y+f2a-x=2b故fx+f2a-x=2b，必要性得證。（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0=f(x0)，fx+f2a-x=2b，fx0+f2a-x0=2b，即2b-y0=f2a-x0，故點(diǎn)P(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱，充分性得證。推論1：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。證明：設(shè)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則奇函數(shù)定義有，由命題1可得函數(shù)y=f(x) 圖像關(guān)于源點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱。推論2：如果函數(shù)y=f(x)滿足fa+x+fa-x=0,則函數(shù)y=f(x)圖

3、象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱。（證明略）推論3：函數(shù)fx=cx+dax+b，(x-ba)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-ba,ca) 。證明：f-ba-x=c（-ba-x）+da（-ba-x）+b，f-ba+x=c（-ba+x）+da（-ba+x）+b，f-ba-x+f-ba+x=c（-ba-x）+da（-ba-x）+b+c（-ba+x）+da（-ba+x）+b =-bca-cx+d-b-ax+b+-bca+cx+d-b+ax+b =bca+cx-d-bca+cx+dax=2ca 由命題1有函數(shù)fx=cx+dax+b的圖像關(guān)于點(diǎn)(-ba,ca)對(duì)稱。例1 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(4+x)且

4、函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+)上單調(diào)遞增，如果x12x2且x1+x24，則f(x1)+f(x2)的值（ ）A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能為零 D. 可正可負(fù)分析：先x-2代替x，使f(-x)=-f(4+x)變形為f(2-x)=-f(2+x)，它的特征就是推論2，因此函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱。f(x)在區(qū)間(2,+)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-,2)上也單調(diào)遞增。我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)的圖象向右平移了兩個(gè)單位。解：2x24-x1且在區(qū)間(2,+)上單調(diào)遞增，f(x2)f(4-x1)，f(-x)=-f(4+x)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，f4-x1=-fx1,

5、 f(x1)+f(x2)f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0.所以選A例2 如果函數(shù)y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函數(shù)的對(duì)稱中心。（因?yàn)樽宰兞考悠饋頌?時(shí)函數(shù)值的和始終為6，所以中點(diǎn)固定為（3.5，3），這就是它的對(duì)稱中心） 如果f(x)為奇函數(shù)，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對(duì)稱軸，所以x=-1+2n為對(duì)稱軸，(2k，0)為對(duì)稱中心其中kZ）例3 定義在R上的函數(shù)fx滿足 f12+x+f12-x=2，則f1

6、8+f28+f38+f78=_解：由命題1可得函數(shù)fx關(guān)于點(diǎn)12，1對(duì)稱，所以點(diǎn)18，f18關(guān)于點(diǎn)12，1的對(duì)稱點(diǎn)1-18，2-f18也在函數(shù)fx圖象上，所以f1-18=2-f18，即f78+f18=2；同理可得f68+f28=2，f58+f38=2，2f48=2；于是f18+f28+f38+f78=7.例4 已知定義在R上的函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)-34，0成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有fx=-fx+32，且f1=1、f0=-2，則f1+f2+f3+f2009+f2010+f2011的值為（ ）。A. 2 B. -1 C. 0 D. 1解：由函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)-34，0成中心對(duì)稱，得fx+f-

7、x-32=0，又fx=-fx+32，fx+32=f-x-32;令t=x+32則ft=f-t,于是fx是偶函數(shù)，且fx+3=fx+32+32=-fx+32=fx，即fx是以3為周期的函數(shù)，則f-1=1=f2=f-2=f1=f4，f0=-2=f3， f1+f2+f3+f2009+f2010+f2011= f1+f2+f3+f4+f2009+f2010+f2011670次=1.例4 函數(shù)fx=a-xx-a-1的圖象關(guān)于點(diǎn)4，-1成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a=_.解：由推論3可知fx=a-xx-a-1圖象關(guān)于點(diǎn)a+1，-1成中心對(duì)稱,所以a+1=4，即a=3.例5函數(shù)fx=a-xx-a-1的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)

8、Mm，3成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a=( ).A. 2 B. 3 C. -2 D. -4由推論3可知fx=a-xx-a-1圖象關(guān)于點(diǎn)a+1，-1成中心對(duì)稱,又x=a-xx-a-1的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)Mm，3成中心對(duì)稱，所以點(diǎn)a+1，-1與點(diǎn)Mm，3關(guān)于直線y=x,即a+1=3，a=2.II.不同函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性命題1: 函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱。證明：設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)是Q(2a-x0,2b-y0),因?yàn)辄c(diǎn)Q(2a-x0,2b-y0)在函數(shù)y=2b-f(2a-x)的圖象上，所以函數(shù)y=f(

9、x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱。命題2：設(shè)a,b,c均為常數(shù)，函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的定義域均為R，那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于(a+c2,b2)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是：對(duì)一切xR,均有f(c+x)+g(a-x)=b. 證明：（1）充分性：設(shè)P(c+x0,f(c+x0)是函數(shù)y=f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于(a+c2,b2)的對(duì)稱點(diǎn)是Q（a-x0,b-f(c+x0)）,且f(c+x0)+g(a-x0)=b.所以g(a-x0)=b-f(c+x0),即點(diǎn)Q(a-x0,b-fc+x0)是y=g(x)函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，也

10、即函數(shù)y=f(x)圖象上任意一關(guān)于點(diǎn)(a+c2,b2)的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)y=g(x)的圖象上；同理可證，函數(shù)y=g(x)圖象上任意一關(guān)于點(diǎn)(a+c2,b2)的對(duì)稱點(diǎn)也都在函數(shù)y=f(x)的圖象上。(2) 必要性：設(shè)點(diǎn)P(c+x0,f(c+x0)是函數(shù)y=f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(a+c2,b2)的對(duì)稱點(diǎn)Q(a-x0,b-fc+x0)在函數(shù)y=g(x)圖象上， b-f(c+x0)=g(a-x0),即f(c+x0)+g(a-x0)=b，也即對(duì)一切xR,均有f(c+x)+g(a-x)=b. 由（1）（2）證明可知：命題2成立。推論1 :設(shè)a,b,c均為常數(shù)，則函數(shù)y=f(a+x)的圖象與函數(shù)y=c-f(b-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b-a2,c2)成中心對(duì)稱。證明：令m(x)=f(a-x),n(x)=c-f(b-x),則m(x-a)=f(x),n(b-x)=c-f(x),對(duì)xR均成立。m(x-a)+n(b-x)=c對(duì)xR均成立.由命題2，函數(shù)y=m(x)與函數(shù)y=n(x)的圖象，即函數(shù)y=f(a+x)的圖象與函數(shù)y=c-f(b-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b-a2,c2)成中心對(duì)稱。例1 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的函