正弦定理余弦定理專題訓練

1、學 科數(shù)學 年 級 高一版 本 編稿老師人教版大開本、3+x 梁文莉期 數(shù) 2339審稿教師【同步教育信息】一.本周教學內(nèi)容： 5.9正弦定理、余弦定理目標：使學生理解正弦定理、余弦定理的證明和推導過程，初步運用它們解斜三角形。 并會利用計算器解決解斜三角形的計算問題。培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納等思維能力、運 算能力、邏輯推理能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、化歸思想，以及從特殊到一般、 類比等方法，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力。二.重點、難點：重點：正弦定理、余弦定理的推導及運用。難點：（1）正弦定理、余弦定理的推導過程；（2）應用正弦定理、余弦定理解斜三角形。學法指導學習本節(jié)知識時

2、可采用向量法、等積法（面積相等）等不同方法來推導正弦定理，以 加深對定理的理解和記憶，由于已知兩邊及其中一邊的對角，不能唯一確定三角形，此時 三角形可能出現(xiàn)兩解、一解、無解三種情況，因此解此類三角形時，要注意討論。深刻領會向量的三角形法則及平面向量的數(shù)量積是用向量法推導余弦定理的關鍵。注 意余弦定理的每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知 道其中的三個量，便可求得第四個量。當有一個角為90時，即為勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已 知條件中的邊、角關系轉(zhuǎn)化為角的關系或邊的關系。一

3、般地，利用公式a= 2RsinA , b =2RsinB , c= 2RsinC （ R為 ABC外接圓半徑），可將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關系，然后利 用三角函數(shù)知識進行化簡，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理A+B+C= n。知中b2 +c2 -a2a2 +c2 -b2abc2利用 cosA =, cosB=, cosC =2bc2ac2ab可將有關三角形中的角的余弦轉(zhuǎn)化為邊的關系，然后充分利用代數(shù)知識來解決問題。 在三角形中，有一個角的余弦值為負值，該三角形為鈍角三角形；有一個角的余弦值為零， 便是直角三角形；三個角的余弦值都為正值，便是銳角三角形?！纠}分析】例1.在AABC中，已知B=30,

4、b=50J3, c=150，解三角形并判斷三角形的形狀。分析：已知兩邊及一邊對角，可用正弦定理先求出c邊的對角C,再用內(nèi)角和定理求出角A，然后用正弦定理求出邊a。至于三角形的形狀，用角或邊均可判斷。解：由正弦定理，得sin C sin Bc1500 73sirC= sir1B= si t30 =b50 J 32Tc, B =30。 ” .C =60或 120。，得從而 A =180-(60。憂0。)=90或A =180(120。430 J = 30 由正弦定理一sin Csi nAa =si nc當A =90。時,1 a = 150 =1003 邑21當A =30和寸,a =3 150 =50

5、732-由邊（角）的關系易知M B是直角三角形或等腰三角形。說明：（1）三角形的形狀既可按角分類，又可按邊分類，因而判斷三角形的形狀，既可依角 判斷，又可依邊判斷。（2）正弦定理實際上包含三個等式：a b b c c as i A sirB si rB sitC s i C s i nA每一個等式都表示了三角形兩個角和它們的對邊的關系，因此，正弦定理可以用來解 決兩類解三角形的問題：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。（此時三角形的形狀是 確定的，故有唯一解）；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進一步求出 其他的邊和角（此時不能唯一確定三角形的形狀，故要注意解的情況）。例 2.在M

6、BC 中，已知 A aB AC,且A =2C, b =4，a+ c =8,求 a、c的長。a、 Co分析：先利用正弦定理及 A = 2C可用a、c的代數(shù)式表示 cosC,再利用余弦定理用 a、 c的代數(shù)式表示cosC，即可建立a、c的等量關系式，又 a+ c= 8,解方程組即得解：，且 A =2Cs i nA s i Ca c s i t2C s i nCcs i nc即2 s i nC c o Ca/. cosC =2c2從22_ _ a -c r 又 c 0 C =且 b =42aba2 -c2 +16.cosC =8aa a -c +16 ，八= (1)2c8a又亠:a + c =8/.

7、 a =8 - c代入(1)式并整理得a2 5c 一 36c +64 =016 , ”Ci, C2 =45當蘭時，a =8 一雲(yún)24 5當c=4時，a(丁 A =2C,55=8 -4 =4/. a Hc,該組解不合題意，舍去)241655說明：合理利用正、余弦定理及角的關系，尋求邊的恒等關系，運用方程的思想是處 理此類問題的關鍵。綜上可知，a例3.根據(jù)下列所給條件，判斷 ABC的形狀。 (1)acosA =bcosB(2)分析:解：_ b _ ccosA cosB cosC(a2 +b2)sin(A -B) =(a2 -b2)sin(A +B)將所給等式中的角換算成邊或?qū)⑦吶哭D(zhuǎn)化為角進行判斷

8、。(1)方法一：常 aco A =bco Bb2 +c2 -a2a2 +c2 -b2/. a= b2bc2ac”a4 -a2c2 +b2c2 -b4 =0 即(a2 -b2)(c2 -a2 -b2) =0 .a2 -b2 =0或c2 -a2 -b2 =0 /. a =b 或 c2 =a2 +b2.A B是等腰三角形或直角三角形方法二：設 一=k (顯然 k H0)sin AsinB sin C，則a=ksiA , b=ksitB, c=ksirCT aco A =bco B/. k siiA coA=k sirtBcoB/.si t2A =si t2B/.2A =2B或2A =兀-2B?！?.

9、A =B 或 A +B =2/.aa b為等腰三角形或直角三角形 (2)方法一：2 4_|_2 2一 . c +b -a c 0 A =,2bcF a b cc o A c o B c o C. 2abc2abc”2 丄，22_2 丄 2,2c 十b a a 十c -b.2 +.222*2.2-.c 十b -a =a +c -bco B =a2 +c2 -b22ac2abc-2 + J 2a 十b-c2 + 12 2 =a 十b -ca a2 +b2 -C2 c o C 2abc2即e2c2-a22 =a+c2-b-b22 =a+ b2-c-a22 =a+ b2c222+c2+ b2+ b2/

10、. a =b =c/.AA B是等邊三角形方法二:設一a-=si nAsinBc=k (顯然 k hO),則sin Ca =ks ib =ks i rB, c =ks i rC b ccosAc o B co Ck sin B k sin CcosCcosB/. t a nA =t a rB =t a tCVA、.AB、C 引0, ；!)A =B =CB為等邊三角形(3)常(a2整理得 b2s in (A B) +si n(A +B) =a2s in (A +B) si n(A -B) 即b2 2si nA c o B =a2 2 s i IB c o A2即 L 色仝.! =1 (2)a2

11、si B co A方法一：+ b2)si nA： -B) =2 -b2)s i nA( +B)(1)absi A si nBb2/.(2)式等價于asi Aasi Bb2 丄 2.2a +c -ba 2ac 1 b ”T =1b b +c -ac=k (顯然k ho)，則sin C=ks i rC2bc 即a -b2c2 +a2c2 -I? =0 即(a2 -b2)(c2 -a2 -b2) =0 a2 -b2 =0或c2 -a2 -b2 =0 /. a =b 或 c2 =a2 +b2 沁A B是等腰三角形或直角三角形 方法二：設一=Lsin A sin B a =ks i A, b =ks i

12、 B, c 代入(1)式得：2 2 2 2k sin B 2 si A coB=k sinA sirBcoA si nA 0, s i B 0, k2 0/.2si rB coB=2siA -coA/.si t2B =si i2Af、B(0,兀)2A=2B或 2A+2B=；iJI.A =B 或 A +B =-2/.Aa b為等腰三角形或直角三角形說明:(1) 已知某條件，要判斷三角形形狀，一般將條件轉(zhuǎn)換成只含邊或只含角的式子。(2) 由于三角形各邊和它所對角的正弦比相等，故可設比值為一個值k，這時可使解 題過程簡化。實際上，這一比值為三角形的外接圓直徑2R，即a b C=2 Rs i A si

13、 B s i C故正弦定理的形式也可寫為：a=2RsiiA， b=2RsirB，c=2RsiC它在解決某些問題時可使解題過程簡單化。例4.已知圓0的半徑為R，它的內(nèi)接三角形 ABC中，2R(sin2A -sin2 C) =(72a-b) sinB成立，求 MBC面積S的最大值。分析：觀察已知等式的結(jié)構(gòu)特征可知，先用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，再用余弦定理求 cosC,得出角C后，利用正弦定理，將面積S表示為某角的三角函數(shù)形式，再求最值。解：寫 2R(si n2A -s in 2C) =(72a-b)s inB/.(2R)2 si n A -(2R)2 si n C =(72a - b)2R s i

14、rB 由正弦定理得a2 -c2 =(J2a-b)b即a2 +b2 -c2 =Qab由余弦定理得_ a2 +b2 -c2cosC =兀/. C =-4J22ab1 ,” .S =absinC =ab244R2 si nA si B442 2=R2 co A(-B) -cosA( +B) 2R2coA(-B)-跖4牡R22-也-242 2.當A =B時，S有最大值=R2co A(-B) + 2說明:(1)本題由a2 +b2-c2= V2ab,聯(lián)想余弦定理求出兀c=是解題的關鍵。4類似地，由a2 +b2 C2 =ab，可得C =-3由a2 + b2 -c2 =J3ab，可得出 C =6熟記這些結(jié)論，

15、可以快速解題。(2)斜三角形的面積常采用下面公式計算:111S =-absi nC =-bcs in A =- acs in B222【模擬試題】 一.選擇題：TT T T T|BC|=2，(AB +BC)，(AB + BC)4. 在 MBC 中，|AB|=1,A. 75B.5-2J3C.J5-2/35. 以4、5、6為邊長的三角形一 定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形6. 在 MBC中，bcosA =acosB，則三角形為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形7. 在 MBC 中，cosAcosB:si nA si nB，貝U MBC

16、 是（A.銳角三角形C.鈍角三角形8.三角形的兩邊分別為的另一邊長為（M + 則邊 |Ac| 等于()D. J5 + 沁B.直角三角形D.正三角形5和3，它們夾角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，則三角形A. 52)B. 2用C. 16D. 4在 MBC 中,a = 2J3,b =272, B =45。，則A為（A.60或120*B.60C. 30或150在3BC中，卄 sin A右=cosB，則 N B =()abA.30B. 45。C. 60。D.90。在 MBC 中,a =b +c +bc，貝y A 等于()A.60*B. 45C. 120*D.30*1.2.3.)D.30二.填空題

17、：9. 在MBC中，10. 在 MBC 中,11. 在 MBC 中,12. 在 MBC 中,a + b =12, A =60。, B =45。，貝U a =_ 化簡 b cosC + ccosB =已知 sinA:sin B:sinC=654，則 cosA =A、B均為銳角，且 cosAas inB, U比ABC是三.解答題：13. 已知在 MBC中，NA =45，a =2，c=76，解此三角形。14. 在四邊形 ABCD中，BC =a，DC =2a，四個角A、B、C、D的度數(shù)的比為 3:7:4:10， 求AB的長。15. 已知 MBC的外接圓半徑是 應，且滿足條件272（si n2Asi n

18、2C）=（a b）si nB。（1）求角C o（2） 求 MBC面積的最大值。_【試題答案】 一.選擇題：1. A提示:旦丄sinAsin AsinB= -sinB 出b22. B提示:3. C寫由題意及正弦定理可得tan B =1提示:1由余弦定理及已知可得cosA24. D提示：A AC2TTTT2 TTTTVAC =AB +BC，二 AC =(AB +BC)(AB + BC)=5+23”ac|=ac5. A提示：長為6的邊所對角最大，設它為 a口，16 +25-361 C貝y cosa =- 02X4X580a sinBVA、B均為銳角,而 y =sinx 在(0,/. I -A 0,

19、2），B q0, 專）上是增函數(shù)專）B即A +B兀C =兀一(A +B)(-，兀)三.解答題：13. 解：由正弦定理得：Q c 一 晶、應 43 s i iC =-s i nA =X a22.NC =60 或 120。當 NC =60時，NB =18O(NA +NC) =75。a2%/6 +/I廠b =si rB =x=73 +1si lA4242當NC =120時，NB =18O-(NA +NC) =15. a . q 2J6-42b =s i rB = Xsi nAJI2.b =73 +1，NC =60，乙B =75 或 b=J31，厶 C =120，厶 B=1514. 解：設四個角A、B、C D的度數(shù)分別為3x、 則有 3x +7x +4x +10x =360 解得x =15。.A =45，B =105，C =60，D =150 連BD，在的CD中，由余弦定理得：2 2