20132014年度下學(xué)期七年級下冊第五章第三節(jié)初中論證幾何教學(xué)的基本策略

1、word整理版 學(xué)習(xí)參考資料 初中論證幾何教學(xué)的基本策略 河西中學(xué) 梅勤榮 隨著素質(zhì)教育的深入與課程改革的實施，初中幾何課程發(fā)生了很大的變化。從其內(nèi)容呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)上看，新課程將初中幾何內(nèi)容分為圖形認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明四大模塊；從其研究方法上看，新課程將初中幾何分為實驗幾何與論證幾何。新課程實施以來，對于幾何課程結(jié)構(gòu)、教學(xué)內(nèi)容、研究方式，多數(shù)教師經(jīng)歷了由誤解到理解、由陌生到熟悉、由不適應(yīng)到逐漸適應(yīng)的過程。到目前為止，應(yīng)該說多數(shù)教師對新課程中幾何教學(xué)的新理念、新要求、新方法都能夠很好地理解和運(yùn)用；然而，不容忽視的問題是，部分教師對論證幾何教學(xué)認(rèn)識不足、重視不夠，還有部分教師對論證

2、幾何教學(xué)的方式、方法運(yùn)用不當(dāng)，影響了課堂教學(xué)效果，制約了學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展，影響了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。雖然新課程中對論證幾何的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整，難度要求降低，證明技巧淡化，但對幾何教學(xué)的最基本能力要求并沒有降低。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。為了更好地落實新課程的目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、發(fā)揮幾何教學(xué)在數(shù)學(xué)教育中的作用，筆者對論證幾何教學(xué)進(jìn)行了較深入的思考，并結(jié)合自己的教學(xué)實踐，總結(jié)、提煉、概括出論證幾何教學(xué)的一些基本策略。 一、文字語言符號化 所謂文字語言符號化就是將文字語言向符號語言轉(zhuǎn)化。幾何教學(xué)有三種不同形式的語

3、言，即圖形語言、文字語言和符號語言。教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握這三種語言，還要培養(yǎng)學(xué)生對三種語言互相轉(zhuǎn)化的能力。由于這三種語言的特點不同，在幾何教學(xué)中各自發(fā)揮的作用也不同。圖形語言形象、直觀，能幫助學(xué)生認(rèn)識問題和理解問題；文字語言抽象、概括，對圖形本身及圖形中所蘊(yùn)含的關(guān)系能予以精確地描述和解釋，對幾何的定義、公理、定理、命題等內(nèi)容能予以精確地表達(dá)；而符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象，具有更強(qiáng)的抽象性。在三種語言中符號語言是幾何初學(xué)者最難word整理版 學(xué)習(xí)參考資料 掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎(chǔ)。目前，對于初中階段推理能力的培養(yǎng)要求是循序漸進(jìn)的，由開始的“說明理由”到“說理”“簡單推

4、理”，到最后的“符號表示推理”，為了讓學(xué)生更好地掌握“符號表示推理”，教師在教學(xué)過程中應(yīng)不失時機(jī)地引導(dǎo)他們將定義、公理、定理、命題等文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，培養(yǎng)學(xué)生文字語言符號化的意識，訓(xùn)練學(xué)生文字語言符號化的能力，只有這樣才能為論證幾何的后續(xù)學(xué)習(xí)建立良好的基礎(chǔ)。 二、已知條件圖形化 所謂已知條件圖形化就是用各種不同的符號將已知條件在圖形中直觀地表示出來。在幾何教學(xué)中，雖然注重了圖形語言、文字語言及符號語言間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，但學(xué)生在解決問題時仍然存在題、圖分家現(xiàn)象，特別是處理較為復(fù)雜的問題時學(xué)生“看圖忘條件”這種現(xiàn)象表現(xiàn)得更為突出。為了讓學(xué)生能很好地將題和圖有機(jī)統(tǒng)一，教學(xué)中可采用各種不同的符號將已

5、知條件在圖形中表示出來，使條件更直觀，實現(xiàn)條件與圖形的有機(jī)融合，從而克服“看圖忘條件”的現(xiàn)象發(fā)生。 通常相等的線段可以分別用一杠、兩杠、三杠等記號對應(yīng)表示出來，相等的角可以分別用點、叉、弧等記號對應(yīng)表示出來，兩直線平行可以用同向箭頭對應(yīng)表示出來，兩直線互相垂直可以用直角符號對應(yīng)表示出來，等等。教學(xué)中可以用特有的記號將已知條件在圖形中直觀地表示出來，不僅起到使條件直觀的作用，同時也起到暗示提醒的作用，有利于問題的有效解決。 三、分析過程綜合化 所謂分析過程綜合化就是指分析問題時從已知出發(fā)，結(jié)論入手，結(jié)合圖形進(jìn)行問題解決。在幾何論證問題的分析過程中，通常使用兩種邏輯思維方法，即綜合法和分析法。所謂

6、綜合法是指從問題的條件出發(fā)，尋求其結(jié)論的方法。綜合法的特點是從已知看可知，逐步推出未知。所謂分析法是指從問題的結(jié)論出發(fā)，尋求其成立條件的方法。分析法的特點是從未知看需知，逐步靠近已知。對于一些思維過程比較簡單的問題，采用分析法或綜合法都可以順利解決問題，但對word整理版 學(xué)習(xí)參考資料 于思維過程相對復(fù)雜的問題，單一地使用其中的一種方法都顯得無能為力，只有將二者結(jié)合起來，從已知出發(fā)，從結(jié)論入手，結(jié)合圖形，尋找出解決問題的一個接洽點，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的。 例，分別以ABC的邊AB，AC為直角邊向ABC外部作等腰直角三角形BDA和CEA，點P，M，N分別為BC，BD，EC的中點。求證：PM=P

7、N。 如果從已知條件“BDA和CEA是等腰直角三角形”出發(fā)就可以直接得到結(jié)論：AB=AD，AC=AE及BAD=CAE=90?，再根據(jù)已有的解題經(jīng)驗，又顯而易見ADCABE，從而可以得到ADC和ABE的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。這道題如果從結(jié)論P(yáng)M=PN入手，實際上，就是從未知看需知。由于已知PM和PN分別是BDC和CBE的中位線，所以只需證CD=BE即可。從已知條件出發(fā)我們可以得到CD=BE，從結(jié)論入手我們需要CD=BE，這樣我們就找到了思維結(jié)點，使這個問題得到順利解決。 在分析問題時，采用分析過程綜合化的策略，不僅可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本的思維方法，同時培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，提高了學(xué)生解決問題的

8、水平。 四、解題方法多樣化 所謂解題方法多樣化是指在同一問題的解決過程中，鼓勵學(xué)生進(jìn)行獨立思考，用適合自己且科學(xué)合理的方法解決問題，從而在群體中盡可能出現(xiàn)多樣化的問題解決方法。在長期教學(xué)實踐中，多數(shù)教師比較重視一題多法，讓每一名學(xué)生獲得多種解決問題的方法，但解題方法多樣化與一題多法是有所不同的。解題方法多樣化主要是關(guān)注學(xué)生個體的獨立思考過程，關(guān)注學(xué)生群體的解題方法多樣，解題方法多樣化要盡可能地保證學(xué)生獨立思考的質(zhì)量。首先，要保證學(xué)生獨立思考的時間，有了充分的時間，學(xué)生的思維才能充分活動起來，進(jìn)而對有用信息進(jìn)行分析、綜合和科學(xué)加工，這樣學(xué)生的獨立思考才能有相應(yīng)的思考結(jié)果。其次，要保證在有限的課堂

9、時間內(nèi)學(xué)生的思維得到較大的發(fā)展，教師就應(yīng)給學(xué)生搭建合作、研討、交流的平臺和空間，開拓學(xué)生的思維路徑，word整理版 學(xué)習(xí)參考資料 獲得多種解決問題的思路和方案，提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而提高思維水平。在幾何教學(xué)中，存在大量的素材可以實現(xiàn)解題方法多樣化，這里就不再舉例。總之，解題方法多樣化策略有利于學(xué)生個體思維能力的發(fā)展，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識的形成；同時，解題方法多樣化策略也有利于轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)方式，開闊教師的視野，豐富教師的教學(xué)經(jīng)驗，實現(xiàn)教學(xué)相長的良性效果。 五、復(fù)雜圖形基本化 所謂復(fù)雜圖形基本化就是將復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為一些基本圖形。幾何教學(xué)離不開幾何圖形，幾何問題中所涉及的幾何圖形有基本圖形和

10、復(fù)雜圖形，而這些復(fù)雜圖形又都是由一些基本圖形復(fù)合而成。不管遇到什么樣的復(fù)雜幾何問題，只要能夠善于發(fā)現(xiàn)基本圖形，并熟練掌握這些基本圖形的構(gòu)成、形式及其性質(zhì)，就能使模糊問題清晰化、復(fù)雜問題簡單化。幾何中每個定義、定理、公理都對應(yīng)著一個基本圖形，除了掌握這些最基本的圖形外，還要掌握定義、定理。 當(dāng)然，還有很多基本圖形，在此不一一例舉。利用這些基本圖形及其性質(zhì)能比較有效地解決一些復(fù)雜問題，采用復(fù)雜圖形基本化的策略，一般都會取得事半功倍的效果。 六、圖形變換手段化 所謂圖形變換手段化就是將圖形變換作為探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段。新課程下的初中數(shù)學(xué)增加了圖形變換的內(nèi)容，特別是平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三

11、種全等變換為學(xué)生解決幾何問題打開了一扇找到解題思路和方法的窗戶。平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三種變換的共同特點是改變圖形位置的同時，保證圖形變換前后的對應(yīng)元素的大小不發(fā)生變化。平移能夠?qū)D形的各元素沿著某一方向平行移動，旋轉(zhuǎn)能夠?qū)D形的各元素繞著某一點沿著順時針或逆時針的方向轉(zhuǎn)動，軸對稱能夠?qū)D形的各元素沿著某條直線翻轉(zhuǎn)180?。平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三種變換在幾何問題中各自發(fā)揮不同的作用。 例，在正方形ABCD中，E在BC邊上移動，EAF=45?，AF交CD于F，連接EF。求證：EF=BE+DF。 word整理版 學(xué)習(xí)參考資料 這道題對大多數(shù)學(xué)生來說解決起來是比較困難的，因為需要添加輔助線。如何添加輔助線

12、是幾何教學(xué)的難點，要證EF=BE+DF，就需要將分散的線段BE，DF集中到一起，如果恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90?， 可見，將圖形變換作為探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段是論證幾何教與學(xué)的重要策略之一，把握好平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的特征，恰當(dāng)?shù)乩闷揭啤⑿D(zhuǎn)和軸對稱變換能大大提高學(xué)生解題的能力，有利于學(xué)生空間想象力的形成與發(fā)展。 七、問題設(shè)計開放化 所謂問題設(shè)計開放化就是改變常規(guī)封閉問題的呈現(xiàn)形式，不直接給出問題的結(jié)論或使問題的條件不完備，問題的結(jié)論由學(xué)生設(shè)計或問題的條件由學(xué)生探究完成。問題設(shè)計開放化體現(xiàn)了新課程理念，體現(xiàn)了教師以學(xué)生為中心的教學(xué)觀。教師要注意開放度，既要大

13、膽地“放”，把時間留給學(xué)生，讓學(xué)生有機(jī)會去嘗試問題設(shè)計，又要善于把握全局，凡是學(xué)生能提的問題，教師決不代替；凡是學(xué)生能思考的問題，教師決不暗示；凡是學(xué)生能解決的問題，教師決不插手，真正做到適時而“放”，提高“放”的整體效率。問題的設(shè)計開放化可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，有效地激發(fā)學(xué)生敢于思考問題、主動參與知識的建構(gòu)過程，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；問題設(shè)計開放化可以改變原有的封閉思維模式，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。 八、問題結(jié)論推廣化 所謂問題結(jié)論推廣化就是將某些特殊條件下成立的結(jié)論，推廣為一般條件下成立的結(jié)論。在問題結(jié)論推廣化的過程中，不僅教給學(xué)生歸納推理、類比推理的方法，還要向?qū)W生滲透由特殊到一般的思想。在問題結(jié)論推廣的過程中，教師要避免越俎代庖的現(xiàn)象發(fā)生，應(yīng)盡力讓學(xué)生經(jīng)歷歸納和類比、猜測和發(fā)現(xiàn)、探索和證明等過程，讓學(xué)生成為問題推廣的真正主體，讓學(xué)生體會到有許多變化的條件和圖形中往往蘊(yùn)含著恒定不變的幾何規(guī)律。在問題推廣的學(xué)習(xí)過程中，往往學(xué)生收獲的不僅僅是學(xué)會一個問題，而是學(xué)會一類問題，word整理版 學(xué)習(xí)參考資料 這樣學(xué)生就可以