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文檔簡介
1、題目:海水淡化摘要本文通過對(duì)逆滲透的物理過程的相關(guān)分析,運(yùn)用方向場、Euler方法、分離變量法、控制變量法和非線性規(guī)劃等方法建立有效的數(shù)學(xué)模型,通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的分析及相關(guān)matlab,lingo等軟件的應(yīng)用,對(duì)題目提出的三個(gè)問題作出了解答。針對(duì)問題一,考慮到溶液體積隨時(shí)間的變化而改變,導(dǎo)致滲透壓的變化,當(dāng)滲透壓與外界壓力平衡時(shí)實(shí)驗(yàn)停止。由于時(shí)間變化使?jié)B透壓變化的不規(guī)律性,建立極小時(shí)間的Euler法的迭代方程。根據(jù)微分方程和題目給出的公式,作出方向場的圖像并畫出對(duì)應(yīng)的淡水生成量X與時(shí)間t的函數(shù)圖像,根據(jù)函數(shù)圖像求解題目提出的問題,從4L海水中大約可提取出3.3400L淡水,提取2L淡水大約需要2
2、9小時(shí)。針對(duì)問題二,明確設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)淡水性能的影響應(yīng)該使用控制變量法,考慮到要刻畫生成淡水的性能,又由給出的微分方程的性質(zhì),由分離變量法可以對(duì)微分方程進(jìn)行求解,并由控制變量法來刻畫不同的設(shè)計(jì)參數(shù)的影響關(guān)系,求解微分方程后,使用matlab軟件對(duì)四種設(shè)計(jì)參數(shù)分別作圖,根據(jù)函數(shù)圖像研究影響關(guān)系,具體的影響關(guān)系為:t與、A成反比例函數(shù)關(guān)系;t隨著V、的增大,提取相同體積的淡水所耗用的時(shí)間逐漸減少,所耗時(shí)間的變化速率逐漸降低,只是由于限制取值的條件的不同,t與V隨著增大趨近于1.7d(t=x/p/A/),t隨著的增大趨近于0d。針對(duì)問題三,由于問題二中就是借助得到相同體積的淡水來間接刻畫不同的設(shè)計(jì)參數(shù)的
3、影響關(guān)系,在本題中就是固定溶液體積為2L時(shí)的時(shí)間變化,所以影響關(guān)系與問題二相似。根據(jù)題目給出的限制條件和目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)建立非線性規(guī)劃的最優(yōu)化模型,利用lingo軟件進(jìn)行求解,得到題目中要求的最佳參數(shù):=30bar,A=1.2dm2,V=8L ;在體積為2L時(shí)達(dá)到最優(yōu)條件,即所需時(shí)間近似為0.7673天,約為18.4個(gè)小時(shí)。利用在最佳參數(shù)的微小變化對(duì)時(shí)間t的影響不大(變化范圍5%-10%)的性質(zhì),說明該數(shù)據(jù)具有一定的容錯(cuò)率,并由此撰寫給企業(yè)的相關(guān)數(shù)據(jù)及報(bào)告。關(guān)鍵詞:海水淡化;Eluer方法;控制變量法;非線性規(guī)劃;靈敏度分析一、問題重述11問題的背景當(dāng)兩種濃度不同的水溶液被半透膜隔開時(shí),水會(huì)從濃
4、度低的一側(cè)流向濃度高的一側(cè),此過程稱為滲透。在高濃度的一側(cè)施加外部壓力,溶液的流動(dòng)會(huì)停止,甚至逆轉(zhuǎn),這一過程稱為逆滲透。滲透壓力由Vant Hoff 方程建立的滲透模型確定,如下(1)式所示: (1)其中??紤]逆滲透模型,外部壓力作用在膜的高溶質(zhì)濃度溶液的一側(cè),產(chǎn)生的通過膜的流量正比于外部壓力與滲透壓力之差。若用表示溶液中被提取的水的體積,那么 (2)由方程(1)和(2)即可推得淡化的微分方程。從淡化微分方程可以看出,滲透率、膜的面積、外部壓力都會(huì)影響提取的水的體積。12需要解決的問題問題一:用方向場和Euler方法大致刻畫微分方程的解。用以下數(shù)據(jù)計(jì)算,物理常數(shù):c=0.103 mol/L,R
5、=0.082 Lbar/moloK,T=293 oK,設(shè)計(jì)參數(shù):=0.1 dm/(dmdbar), dm2,bar,L。并求解從4L海水中可提取多少淡水?提取2L淡水大約需要多少時(shí)間?問題二:分析淡化的性能是如何依賴于設(shè)計(jì)參數(shù)?問題三:某一海水淡化公司計(jì)劃建設(shè)一種新的可移動(dòng)水凈化器將海水中的鹽提取出來。他們已經(jīng)設(shè)計(jì)了一臺(tái)機(jī)器,圖示見附件。該公司的市場人員報(bào)告,若要在市場上有競爭力,一天至少能生產(chǎn)2L淡水。若機(jī)器是可移動(dòng)的,它一次最多可處理8L海水。因?yàn)閴毫θ萜鞯谋谙喈?dāng)薄,施加的壓力最大值為30 bar。此機(jī)器的過濾器很貴,所以過濾器的面積不得超過1.2dm2。最后,最佳的適用過濾器的滲透常數(shù)。
6、在他們花錢制造一個(gè)模型之前,希望你們準(zhǔn)備一份報(bào)告。重要的事項(xiàng)是及其生產(chǎn)2L水需要多長時(shí)間。報(bào)告中應(yīng)分析此時(shí)間如何依賴于設(shè)計(jì)參數(shù)。用“最佳”機(jī)器的設(shè)計(jì)參數(shù)值的建議來結(jié)束你們的報(bào)告。“最佳”機(jī)器應(yīng)該具有某種容錯(cuò)性,因而若有可能,選取你們的參數(shù)具有一定的上下變化范圍(5%-10%)。二、問題分析21問題一的分析針對(duì)問題一,題目要求運(yùn)用方向場和Euler方法大致刻畫提取出的淡水量與提取所用時(shí)間的微分方程。由題目背景可知,兩種濃度不同的溶液被半透膜隔開時(shí),自然環(huán)境下會(huì)發(fā)生滲透現(xiàn)象(低濃度溶液中的水流向高濃度溶液),產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是因?yàn)椴煌瑵舛戎g產(chǎn)生了滲透壓();滲透壓受到溶質(zhì)濃度(c)、萬有氣體常數(shù)
7、(R)、絕對(duì)溫度(T)的影響。此時(shí)為了達(dá)到提取淡水的目的,給高濃度溶液的一側(cè)施加外部壓力(P),當(dāng)外部壓力大于滲透壓時(shí),溶液的流動(dòng)就會(huì)發(fā)生逆轉(zhuǎn),這一現(xiàn)象被稱為逆滲透。由Vant Hoff 方程建立的滲透模型可以確定滲透壓=cRT,在外部壓力作用發(fā)生逆滲透現(xiàn)象時(shí),高濃度溶液體積(V)不斷減小,此時(shí)因?yàn)槿苜|(zhì)濃度所以可以知道溶質(zhì)濃度在增大,進(jìn)一步可以得出滲透壓也在增大;這時(shí)假設(shè)滲透出的淡水量為x,可以得到一個(gè)描述滲透壓變化規(guī)律的方程。將該方程帶入題目中的常微分方程后便可以推導(dǎo)出淡化的微分方程。當(dāng)滲透壓的值增大到與外部壓力相同時(shí)逆滲透現(xiàn)象將不再繼續(xù),實(shí)驗(yàn)過程結(jié)束。分析淡化的常微分方程可以發(fā)現(xiàn),在除過時(shí)
8、間與滲透出的淡水量x以外的變量都為定值的情況下,滲透出的淡水量x是一個(gè)變化規(guī)律不確定的變量,這種情況下假設(shè)時(shí)間t趨于無窮小時(shí)可以得到在那一時(shí)刻x的值,想要得到一系列x的值則需要引入歐拉方法通過迭代算出在一段時(shí)間內(nèi)x的所有值;在作圖過程中利用方向場對(duì)常微分方程斜率和對(duì)函數(shù)曲線趨勢的體現(xiàn)可以有效地刻畫出滲透的淡水微分方程的解。問題一接下來的兩個(gè)小問題但便可以由常微分方程的解來解答。22問題二的分析針對(duì)問題二,題目要求分析淡化海水的性能,也就是淡化一定量海水時(shí)各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)時(shí)間的影響;為體現(xiàn)不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)性能的不同影響,采用的解題思路為控制變量法,也就是每次從設(shè)計(jì)參數(shù)中給出一個(gè)變量(其余變量假設(shè)成定
9、值)求其與時(shí)間的關(guān)系,因此需要做出四個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)分別于時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在建立模型前,首先應(yīng)當(dāng)明確設(shè)計(jì)參數(shù)有:是水的滲透率常數(shù),A是膜垂直于流動(dòng)的面積,V是溶液的體積和外部壓力四個(gè)。在明確設(shè)計(jì)參數(shù)后,根據(jù)控制變量法的原理,依次把,A,V,設(shè)為變量,將設(shè)為變量的設(shè)計(jì)參數(shù)外的其余三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)同常量x,c,R,T設(shè)為定值。然后根據(jù)題目中給的微分方程,以及由Vant Hoff方程建立的滲透模型和溶質(zhì)濃度計(jì)算公式,假設(shè)滲透出的淡水量是x,由于隨著淡水的流出使V減少,即Vi;=V-xi。聯(lián)立方程組并化簡,根據(jù)常微分方程的分離變量法解出微分方程的解,即t=f(x)。最后根據(jù)解出的微分方程,借助軟件分別將t=f(
10、);t=f(A);t=f(V);t=f()的圖像描繪出來,根據(jù)畫出圖像的趨勢,斜率變化和相關(guān)數(shù)據(jù)等函數(shù)信息,便可以分析出淡化的性能是如何依賴于設(shè)計(jì)參數(shù)的。23問題三的分析針對(duì)問題三,題目要求我們根據(jù)問題二的結(jié)果來綜合考慮,當(dāng)多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)共同作用時(shí),如何調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)的值,使提取相同量的淡水所用的時(shí)間最短。首先將題干中的對(duì)于海水淡化機(jī)的相關(guān)限制條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,由于要設(shè)計(jì)海水淡化機(jī)確定其相關(guān)最佳的設(shè)計(jì)參數(shù),并在報(bào)告中分析產(chǎn)生2L淡水的時(shí)間是如何依賴于設(shè)計(jì)參數(shù)的,可以使用問題二中微分方程的解進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算,可以得到從溶液中提取恒定體積的淡水所需要的時(shí)間。因?yàn)橐獙ふ易罴言O(shè)計(jì)參數(shù),即是尋找使得t最小
11、的同時(shí)滿足各限制條件的設(shè)計(jì)參數(shù),也就是最優(yōu)化的求解問題。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和限制函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)可知,應(yīng)當(dāng)建立非線性規(guī)劃的最優(yōu)化問題,利用相關(guān)軟件可求解出最佳的設(shè)計(jì)海水淡化機(jī)的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù),為了使海水淡化機(jī)具有某種容錯(cuò)性,參數(shù)應(yīng)當(dāng)具有一定的上下變化范圍(5%10%)以此來提高容錯(cuò)率,這一點(diǎn)也可以利用相關(guān)軟件的靈敏性分析對(duì)該問題進(jìn)行求解,最終完成寫給該公司的報(bào)告。三、模型假設(shè)1、假設(shè)海水中可以通過半透膜的成分只有水(H20)。2、假設(shè)實(shí)驗(yàn)過程只受到滲透壓和外部壓力的影響。3、假設(shè)實(shí)驗(yàn)過程中成分都沒有任何形式的額外消耗。四、符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)意義滲透壓力C溶質(zhì)濃度R萬有氣體常數(shù)T絕對(duì)溫度溶質(zhì)的摩爾數(shù)溶液的體
12、積水的滲透率常數(shù)膜垂直于流動(dòng)的面積外部壓力五、模型的建立與求解51問題一的模型建立與求解由題目一的分析可知,滲透壓力由Vant Hoff 方程建立的滲透模型確定,如下(a)式所示: (a)溶液濃度計(jì)算公式,如下(b)式所示 (b)根據(jù)逆滲透模型,可得微分方程公式,如下(c)式所示 (c)在實(shí)驗(yàn)過程中高濃度溶液的體積隨提取出的淡水量x的增大而減小,所以高濃度溶液在t時(shí)刻溶液的體積可表示,如下(d)式所示Vi=V-xi (d)聯(lián)立四組方程可得到,如下(e)式所示dx/dt=A(-(n R T)/(V-X) (e)由問題一分析可得解析(e)式需要采用Eluer方法(euler方程由下(f)式所示)x
13、(0)=0t(n)=nt (f) x(n+1)=x(n)+tf(t(n),x(n)其中f(t(n),x(n)=dx/dt。利用matlab軟件對(duì)(e)式進(jìn)行求解并刻畫出(e)式的方向場(源代碼見附錄,程序1)得到t與x的函數(shù)關(guān)系圖,如下圖1.1所示(方向場圖片)(1.1)通過Eluer方法的迭代思想利用matble可解出某一時(shí)刻t所對(duì)應(yīng)的提取出的淡水量x的具體數(shù)值,為更準(zhǔn)確測量提取出的淡水量對(duì)應(yīng)的時(shí)間,計(jì)算過程中將時(shí)間單位由天轉(zhuǎn)化為小時(shí)。(源代碼見附錄,程序2),對(duì)應(yīng)關(guān)系圖,如下圖1.2所示(迭代圖)(1.2)終上所述,可得4L海水中,最多可以提取出大約3.3400L淡水,提取2L海水時(shí)需要的
14、時(shí)間大約為29小時(shí)。(數(shù)據(jù)來源詳見附錄,數(shù)據(jù)1)52問題二的模型建立與求以問題一中的(e)式為基礎(chǔ),由問題二分析可知521與t的關(guān)系以水的滲透率常數(shù)為變量,求與時(shí)間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到與t的關(guān)系式為:xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出與t之間的函數(shù)關(guān)系圖(源代碼見附錄,程序3),如下圖2.1所示(-t關(guān)系圖)2.1由公式以及所得出的函數(shù)圖可知,t=f1()成反比例函數(shù)關(guān)系,隨著的增大提取相同體積的淡水所耗用的時(shí)間逐漸減少并趨近于0.2d,所耗時(shí)間的變化速率逐漸降低。522A與t的關(guān)系以膜垂直于流動(dòng)的面積A為變量,求A與時(shí)間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到A與t的關(guān)系式為:xxxxxx
15、xxxxxxx利用matlab可作出A與t之間的函數(shù)關(guān)系圖(源代碼見附錄,程序4),如下圖2.1所示(A-t關(guān)系圖)2.2由公式以及所得出的函數(shù)圖可知,t=f2(A)成反比例函數(shù)關(guān)系,隨著A的增大提取相同體積的淡水所耗用的時(shí)間逐漸減少并趨近于0d,所耗時(shí)間的變化速率逐漸降低。523V與t的關(guān)系以溶液的體積V為變量,求V與時(shí)間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到V與t的關(guān)系式為:xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出V與t之間的函數(shù)關(guān)系圖(源代碼見附錄,程序5),如下圖2.3所示(V-t關(guān)系圖)2.3由公式以及所得出的函數(shù)圖可知,t=f3(V)成如圖所示的函數(shù)關(guān)系,隨著V的增大提取相同體積的淡水所
16、耗用的時(shí)間逐漸減少并趨近于1.7d(t=x/p/A/),所耗時(shí)間的變化速率逐漸降低。由問題分析(1)的平衡關(guān)系得限制條件為V=X+cVRT/。524與t的關(guān)系以外部壓力為變量,求與時(shí)間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到與t的關(guān)系式為:xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出與t之間的函數(shù)關(guān)系圖(源代碼見附錄,程序6),如下圖2.4所示(-t關(guān)系圖)2.4由公式以及所得出的函數(shù)圖可知,t=f4()成如圖所示的函數(shù)關(guān)系,隨著的增大提取相同體積的淡水所耗用的時(shí)間逐漸減少并趨近于0d,所耗時(shí)間的變化速率逐漸降低。由問題分析(1)的平衡關(guān)系得限制條件為=9.89(=Cvrt/(V-x)。綜上所述是淡化的性
17、能對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)、A、V、的依賴關(guān)系。53問題三的模型建立與求解根據(jù)問題三分析,可以將題目中所給的相關(guān)限制條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,具體公式如下式所示:V=8=30A=2t=1由問題一分析可知,當(dāng)外界壓力等于滲透壓時(shí),即(=cRT),達(dá)到平衡狀態(tài),實(shí)驗(yàn)過程停止,此時(shí)得到的淡水量x如下所示:x=V-cVRT/根據(jù)問題二解出的微分方程的解和問題三分析可知,為了得到最佳參數(shù),應(yīng)當(dāng)建立解最優(yōu)化問題的非線性規(guī)劃模型,針對(duì)得到相同體積的淡水所需時(shí)間長短來刻畫提取淡水的性能,具體函數(shù)表達(dá)如下式所示:Min t=(x+2.474678Vln(V-2.474678V)/(V-x-2.474678V)/)/(0.08A);V=8=30A=2t=X+cVRT/。隨著的增大提取相同體積的淡水所耗用的時(shí)間逐漸減少并趨近于0d,所耗時(shí)間的變化速率逐漸降低。由問題分析(1)的平衡關(guān)系得限制條件為=9.89(=Cvrt/(V-x)。六、模型的評(píng)價(jià)61模型的優(yōu)點(diǎn)(1)模型相對(duì)簡介容易理解(2)對(duì)時(shí)間進(jìn)行細(xì)化,由相對(duì)明確的數(shù)據(jù)輸出,不僅限于圖像數(shù)據(jù)的發(fā)現(xiàn)61模型的缺點(diǎn)(1)歐拉方法的精度較低迭代出的結(jié)果具有一定誤差(2)假設(shè)條件過于理想化,在實(shí)際情況下有很多外在因素會(huì)干擾實(shí)驗(yàn)七、模型的推廣依
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