海水淡化介紹

1、題目：海水淡化摘要本文通過對逆滲透的物理過程的相關(guān)分析，運用方向場、Euler方法、分離變量法、控制變量法和非線性規(guī)劃等方法建立有效的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的分析及相關(guān)matlab，lingo等軟件的應(yīng)用，對題目提出的三個問題作出了解答。針對問題一，考慮到溶液體積隨時間的變化而改變，導(dǎo)致滲透壓的變化，當(dāng)滲透壓與外界壓力平衡時實驗停止。由于時間變化使?jié)B透壓變化的不規(guī)律性，建立極小時間的Euler法的迭代方程。根據(jù)微分方程和題目給出的公式，作出方向場的圖像并畫出對應(yīng)的淡水生成量X與時間t的函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像求解題目提出的問題，從4L海水中大約可提取出3.3400L淡水，提取2L淡水大約需要2

2、9小時。針對問題二，明確設(shè)計參數(shù)對淡水性能的影響應(yīng)該使用控制變量法，考慮到要刻畫生成淡水的性能，又由給出的微分方程的性質(zhì)，由分離變量法可以對微分方程進行求解，并由控制變量法來刻畫不同的設(shè)計參數(shù)的影響關(guān)系，求解微分方程后，使用matlab軟件對四種設(shè)計參數(shù)分別作圖，根據(jù)函數(shù)圖像研究影響關(guān)系，具體的影響關(guān)系為：t與、A成反比例函數(shù)關(guān)系；t隨著V、的增大，提取相同體積的淡水所耗用的時間逐漸減少，所耗時間的變化速率逐漸降低，只是由于限制取值的條件的不同，t與V隨著增大趨近于1.7d（t=x/p/A/），t隨著的增大趨近于0d。針對問題三，由于問題二中就是借助得到相同體積的淡水來間接刻畫不同的設(shè)計參數(shù)的

3、影響關(guān)系，在本題中就是固定溶液體積為2L時的時間變化，所以影響關(guān)系與問題二相似。根據(jù)題目給出的限制條件和目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)建立非線性規(guī)劃的最優(yōu)化模型，利用lingo軟件進行求解，得到題目中要求的最佳參數(shù)：=30bar，A=1.2dm2，V=8L ；在體積為2L時達到最優(yōu)條件，即所需時間近似為0.7673天，約為18.4個小時。利用在最佳參數(shù)的微小變化對時間t的影響不大（變化范圍5%-10%）的性質(zhì)，說明該數(shù)據(jù)具有一定的容錯率，并由此撰寫給企業(yè)的相關(guān)數(shù)據(jù)及報告。關(guān)鍵詞：海水淡化；Eluer方法；控制變量法；非線性規(guī)劃；靈敏度分析一、問題重述11問題的背景當(dāng)兩種濃度不同的水溶液被半透膜隔開時，水會從濃

4、度低的一側(cè)流向濃度高的一側(cè)，此過程稱為滲透。在高濃度的一側(cè)施加外部壓力，溶液的流動會停止，甚至逆轉(zhuǎn)，這一過程稱為逆滲透。滲透壓力由Vant Hoff 方程建立的滲透模型確定，如下(1)式所示: (1)其中?？紤]逆滲透模型，外部壓力作用在膜的高溶質(zhì)濃度溶液的一側(cè)，產(chǎn)生的通過膜的流量正比于外部壓力與滲透壓力之差。若用表示溶液中被提取的水的體積，那么 （2）由方程(1)和(2)即可推得淡化的微分方程。從淡化微分方程可以看出，滲透率、膜的面積、外部壓力都會影響提取的水的體積。12需要解決的問題問題一：用方向場和Euler方法大致刻畫微分方程的解。用以下數(shù)據(jù)計算，物理常數(shù)：c=0.103 mol/L，R

5、=0.082 Lbar/moloK，T=293 oK，設(shè)計參數(shù)：=0.1 dm/(dmdbar)， dm2，bar，L。并求解從4L海水中可提取多少淡水？提取2L淡水大約需要多少時間？問題二：分析淡化的性能是如何依賴于設(shè)計參數(shù)？問題三：某一海水淡化公司計劃建設(shè)一種新的可移動水凈化器將海水中的鹽提取出來。他們已經(jīng)設(shè)計了一臺機器，圖示見附件。該公司的市場人員報告，若要在市場上有競爭力，一天至少能生產(chǎn)2L淡水。若機器是可移動的，它一次最多可處理8L海水。因為壓力容器的壁相當(dāng)薄，施加的壓力最大值為30 bar。此機器的過濾器很貴，所以過濾器的面積不得超過1.2dm2。最后，最佳的適用過濾器的滲透常數(shù)。

6、在他們花錢制造一個模型之前，希望你們準(zhǔn)備一份報告。重要的事項是及其生產(chǎn)2L水需要多長時間。報告中應(yīng)分析此時間如何依賴于設(shè)計參數(shù)。用“最佳”機器的設(shè)計參數(shù)值的建議來結(jié)束你們的報告?！白罴选睓C器應(yīng)該具有某種容錯性，因而若有可能，選取你們的參數(shù)具有一定的上下變化范圍(5%-10%)。二、問題分析21問題一的分析針對問題一，題目要求運用方向場和Euler方法大致刻畫提取出的淡水量與提取所用時間的微分方程。由題目背景可知，兩種濃度不同的溶液被半透膜隔開時，自然環(huán)境下會發(fā)生滲透現(xiàn)象（低濃度溶液中的水流向高濃度溶液），產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是因為不同濃度之間產(chǎn)生了滲透壓（）；滲透壓受到溶質(zhì)濃度（c）、萬有氣體常數(shù)

7、（R）、絕對溫度（T）的影響。此時為了達到提取淡水的目的，給高濃度溶液的一側(cè)施加外部壓力（P），當(dāng)外部壓力大于滲透壓時，溶液的流動就會發(fā)生逆轉(zhuǎn)，這一現(xiàn)象被稱為逆滲透。由Vant Hoff 方程建立的滲透模型可以確定滲透壓=cRT，在外部壓力作用發(fā)生逆滲透現(xiàn)象時，高濃度溶液體積（V）不斷減小，此時因為溶質(zhì)濃度所以可以知道溶質(zhì)濃度在增大，進一步可以得出滲透壓也在增大；這時假設(shè)滲透出的淡水量為x，可以得到一個描述滲透壓變化規(guī)律的方程。將該方程帶入題目中的常微分方程后便可以推導(dǎo)出淡化的微分方程。當(dāng)滲透壓的值增大到與外部壓力相同時逆滲透現(xiàn)象將不再繼續(xù)，實驗過程結(jié)束。分析淡化的常微分方程可以發(fā)現(xiàn)，在除過時

8、間與滲透出的淡水量x以外的變量都為定值的情況下，滲透出的淡水量x是一個變化規(guī)律不確定的變量，這種情況下假設(shè)時間t趨于無窮小時可以得到在那一時刻x的值，想要得到一系列x的值則需要引入歐拉方法通過迭代算出在一段時間內(nèi)x的所有值；在作圖過程中利用方向場對常微分方程斜率和對函數(shù)曲線趨勢的體現(xiàn)可以有效地刻畫出滲透的淡水微分方程的解。問題一接下來的兩個小問題但便可以由常微分方程的解來解答。22問題二的分析針對問題二，題目要求分析淡化海水的性能，也就是淡化一定量海水時各個設(shè)計參數(shù)對時間的影響；為體現(xiàn)不同設(shè)計參數(shù)對性能的不同影響，采用的解題思路為控制變量法，也就是每次從設(shè)計參數(shù)中給出一個變量（其余變量假設(shè)成定

9、值）求其與時間的關(guān)系，因此需要做出四個設(shè)計參數(shù)分別于時間的對應(yīng)關(guān)系。在建立模型前，首先應(yīng)當(dāng)明確設(shè)計參數(shù)有：是水的滲透率常數(shù)，A是膜垂直于流動的面積，V是溶液的體積和外部壓力四個。在明確設(shè)計參數(shù)后，根據(jù)控制變量法的原理，依次把，A，V，設(shè)為變量，將設(shè)為變量的設(shè)計參數(shù)外的其余三個設(shè)計參數(shù)同常量x，c，R，T設(shè)為定值。然后根據(jù)題目中給的微分方程，以及由Vant Hoff方程建立的滲透模型和溶質(zhì)濃度計算公式，假設(shè)滲透出的淡水量是x，由于隨著淡水的流出使V減少，即Vi;=V-xi。聯(lián)立方程組并化簡，根據(jù)常微分方程的分離變量法解出微分方程的解，即t=f（x）。最后根據(jù)解出的微分方程，借助軟件分別將t=f（

10、）；t=f（A）；t=f（V）；t=f（）的圖像描繪出來，根據(jù)畫出圖像的趨勢，斜率變化和相關(guān)數(shù)據(jù)等函數(shù)信息，便可以分析出淡化的性能是如何依賴于設(shè)計參數(shù)的。23問題三的分析針對問題三，題目要求我們根據(jù)問題二的結(jié)果來綜合考慮，當(dāng)多個設(shè)計參數(shù)共同作用時，如何調(diào)整設(shè)計參數(shù)的值，使提取相同量的淡水所用的時間最短。首先將題干中的對于海水淡化機的相關(guān)限制條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，由于要設(shè)計海水淡化機確定其相關(guān)最佳的設(shè)計參數(shù)，并在報告中分析產(chǎn)生2L淡水的時間是如何依賴于設(shè)計參數(shù)的，可以使用問題二中微分方程的解進行進一步的計算，可以得到從溶液中提取恒定體積的淡水所需要的時間。因為要尋找最佳設(shè)計參數(shù)，即是尋找使得t最小

11、的同時滿足各限制條件的設(shè)計參數(shù)，也就是最優(yōu)化的求解問題。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和限制函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)可知，應(yīng)當(dāng)建立非線性規(guī)劃的最優(yōu)化問題，利用相關(guān)軟件可求解出最佳的設(shè)計海水淡化機的相關(guān)設(shè)計參數(shù)，為了使海水淡化機具有某種容錯性，參數(shù)應(yīng)當(dāng)具有一定的上下變化范圍（5%10%）以此來提高容錯率，這一點也可以利用相關(guān)軟件的靈敏性分析對該問題進行求解，最終完成寫給該公司的報告。三、模型假設(shè)1、假設(shè)海水中可以通過半透膜的成分只有水（H20）。2、假設(shè)實驗過程只受到滲透壓和外部壓力的影響。3、假設(shè)實驗過程中成分都沒有任何形式的額外消耗。四、符號說明符號符號意義滲透壓力C溶質(zhì)濃度R萬有氣體常數(shù)T絕對溫度溶質(zhì)的摩爾數(shù)溶液的體

12、積水的滲透率常數(shù)膜垂直于流動的面積外部壓力五、模型的建立與求解51問題一的模型建立與求解由題目一的分析可知，滲透壓力由Vant Hoff 方程建立的滲透模型確定，如下(a)式所示: (a)溶液濃度計算公式，如下（b）式所示 （b）根據(jù)逆滲透模型，可得微分方程公式，如下（c）式所示 （c）在實驗過程中高濃度溶液的體積隨提取出的淡水量x的增大而減小，所以高濃度溶液在t時刻溶液的體積可表示，如下（d）式所示Vi=V-xi （d）聯(lián)立四組方程可得到，如下（e）式所示dx/dt=A(-(n R T)/(V-X) (e)由問題一分析可得解析（e）式需要采用Eluer方法(euler方程由下（f）式所示)x

13、(0)=0t(n)=nt （f） x(n+1)=x(n)+tf(t(n),x(n)其中f(t(n),x(n)=dx/dt。利用matlab軟件對（e）式進行求解并刻畫出（e）式的方向場（源代碼見附錄，程序1）得到t與x的函數(shù)關(guān)系圖，如下圖1.1所示（方向場圖片）（1.1）通過Eluer方法的迭代思想利用matble可解出某一時刻t所對應(yīng)的提取出的淡水量x的具體數(shù)值，為更準(zhǔn)確測量提取出的淡水量對應(yīng)的時間，計算過程中將時間單位由天轉(zhuǎn)化為小時。（源代碼見附錄，程序2），對應(yīng)關(guān)系圖，如下圖1.2所示（迭代圖）（1.2）終上所述，可得4L海水中，最多可以提取出大約3.3400L淡水，提取2L海水時需要的

14、時間大約為29小時。（數(shù)據(jù)來源詳見附錄，數(shù)據(jù)1）52問題二的模型建立與求以問題一中的（e）式為基礎(chǔ)，由問題二分析可知521與t的關(guān)系以水的滲透率常數(shù)為變量，求與時間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到與t的關(guān)系式為：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出與t之間的函數(shù)關(guān)系圖（源代碼見附錄，程序3），如下圖2.1所示（-t關(guān)系圖）2.1由公式以及所得出的函數(shù)圖可知，t=f1()成反比例函數(shù)關(guān)系，隨著的增大提取相同體積的淡水所耗用的時間逐漸減少并趨近于0.2d，所耗時間的變化速率逐漸降低。522A與t的關(guān)系以膜垂直于流動的面積A為變量，求A與時間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到A與t的關(guān)系式為：xxxxxx

15、xxxxxxx利用matlab可作出A與t之間的函數(shù)關(guān)系圖（源代碼見附錄，程序4），如下圖2.1所示（A-t關(guān)系圖）2.2由公式以及所得出的函數(shù)圖可知，t=f2(A)成反比例函數(shù)關(guān)系，隨著A的增大提取相同體積的淡水所耗用的時間逐漸減少并趨近于0d，所耗時間的變化速率逐漸降低。523V與t的關(guān)系以溶液的體積V為變量，求V與時間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到V與t的關(guān)系式為：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出V與t之間的函數(shù)關(guān)系圖（源代碼見附錄，程序5），如下圖2.3所示（V-t關(guān)系圖）2.3由公式以及所得出的函數(shù)圖可知，t=f3(V)成如圖所示的函數(shù)關(guān)系，隨著V的增大提取相同體積的淡水所

16、耗用的時間逐漸減少并趨近于1.7d（t=x/p/A/），所耗時間的變化速率逐漸降低。由問題分析（1）的平衡關(guān)系得限制條件為V=X+cVRT/。524與t的關(guān)系以外部壓力為變量，求與時間t的關(guān)系。經(jīng)過化簡可得到與t的關(guān)系式為：xxxxxxxxxxxxx利用matlab可作出與t之間的函數(shù)關(guān)系圖（源代碼見附錄，程序6），如下圖2.4所示（-t關(guān)系圖）2.4由公式以及所得出的函數(shù)圖可知，t=f4()成如圖所示的函數(shù)關(guān)系，隨著的增大提取相同體積的淡水所耗用的時間逐漸減少并趨近于0d，所耗時間的變化速率逐漸降低。由問題分析（1）的平衡關(guān)系得限制條件為=9.89(=Cvrt/(V-x)。綜上所述是淡化的性

17、能對設(shè)計參數(shù)、A、V、的依賴關(guān)系。53問題三的模型建立與求解根據(jù)問題三分析，可以將題目中所給的相關(guān)限制條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，具體公式如下式所示：V=8=30A=2t=1由問題一分析可知，當(dāng)外界壓力等于滲透壓時，即（=cRT），達到平衡狀態(tài)，實驗過程停止，此時得到的淡水量x如下所示：x=V-cVRT/根據(jù)問題二解出的微分方程的解和問題三分析可知，為了得到最佳參數(shù)，應(yīng)當(dāng)建立解最優(yōu)化問題的非線性規(guī)劃模型，針對得到相同體積的淡水所需時間長短來刻畫提取淡水的性能，具體函數(shù)表達如下式所示：Min t=(x+2.474678Vln(V-2.474678V)/(V-x-2.474678V)/)/(0.08A);V=8=30A=2t=X+cVRT/。隨著的增大提取相同體積的淡水所耗用的時間逐漸減少并趨近于0d，所耗時間的變化速率逐漸降低。由問題分析（1）的平衡關(guān)系得限制條件為=9.89(=Cvrt/(V-x)。六、模型的評價61模型的優(yōu)點（1）模型相對簡介容易理解（2）對時間進行細化，由相對明確的數(shù)據(jù)輸出，不僅限于圖像數(shù)據(jù)的發(fā)現(xiàn)61模型的缺點（1）歐拉方法的精度較低迭代出的結(jié)果具有一定誤差（2）假設(shè)條件過于理想化，在實際情況下有很多外在因素會干擾實驗七、模型的推廣依