彈塑性力學(xué)第十一章答案

1、彈塑性力學(xué)第十一章答案 第十一章 習(xí)題答案 11.3使用靜力法和機(jī)動法求出圖示超靜定梁的極限載荷。 解1：（1）靜力法 首先該超靜定梁（a）化為靜定結(jié)構(gòu)（b）、（c）。分別求出其彎矩圖，然后疊加，得該超靜定梁的彎矩圖（f） 在極限情況下 MA?Ms,MB?Ms 設(shè)C點(diǎn)支反力為RC，則： RC2l?Pl1?Ms RC(2l?l1)?Ms 由上二式得P?Mp?4l?l1? 2l?l1l1 當(dāng)P值達(dá)到上述數(shù)值時(shí)，結(jié)構(gòu)形成破壞機(jī)構(gòu)，故P為該梁的完全解。 （2）機(jī)動法 設(shè)破壞機(jī)構(gòu)如圖（g），并設(shè)B點(diǎn)撓度為?，則： ?A?l1,?C?(2l?l1) ?B?A?C?2l? l12l?l1外力功We?P? 內(nèi)

2、力功Wi?MA?A?MB?B?4l?l1Ms? l12l?l1由We?Wi，可得極限載荷上限為 P?4l?l1Ms l12l?l1由于在P?作用下，?Ms?M?x?Ms，故上式所示載荷為完全解的極限載荷。 解2：（1）靜力法 先將該超靜定梁化為靜定梁（b）、（c），分別作彎矩圖，疊加得該超靜定梁的彎矩圖（f） 設(shè)A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)彎矩方程為： 12M?x?RB?l?x?q?l?x? 2 在極限狀態(tài)時(shí)，有 x?0,M?0?Ms x?x1,M?x1?Ms 令dM?x?0得q(l?x1)?RB （1） dx 1而RBl?ql2?Ms （2） 2 12RB?l?x1?q?l?x1?Ms （3） 2

3、聯(lián)立解（1）、（2）、（3）得 M?12qMs?ql?s? l?2 解得q?M1?2s 12l2?2 1 取較大的值，可得q0?11.66Ms l2 在以上q0值作用下，梁已形成破壞機(jī)構(gòu)，故其解為完全解。 （2）機(jī)動法 如圖（g） 設(shè)在A、C兩點(diǎn)形成塑性鉸?A?B?,?C?2? 內(nèi)力功為 Wi?Ms?Ms?2?3Ms? 外力功為 l We?2?2q?x?dx?1 04q?l2 由虛功原理Wi?W 得：q?12MsM l2?q0?11.66sl2 該解與完全解的誤差為 q?q0 q?3% 解3：（1）靜力法 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在C點(diǎn)，此時(shí)彎矩方程為： BC段（0?x?l2）M(x)?R1 cx?2qx2

4、 AB段（l2?x?l）M(x)?R1?1? cx?2ql?x?4l? 在x?處，M為極大值，設(shè)?在BC段，由dM?x? dx?0 x? 得Rc?q?0 ?Rc q 1） 2 （ 在極限情況下 M?l?Ms ， M?Ms 即：R3 cl?8ql2?Ms （2） R?12 c2q?Ms （3） 聯(lián)立解（1）、（2）、（3）得 q?1?88?Ms 9l2 取正號q?19.2Ms l2 由于此時(shí)形成破壞機(jī)構(gòu)，故q值完全解。 （2）機(jī)動法,如圖（g） 設(shè)此梁在A和?處形成塑性鉸，則 ?A?0?l?,?C?0，?A?l?0 B?l? 內(nèi)力功為 Wi?MA?A?MB?B?Ml? C?C?l?Ms?0 外力

5、功為 W? e?q?wx?l2 ?dx?q?wl?x? 000l?dx ?q?0 2?q?0 8(l?)?3l2?8l?4?2? 由虛功原理Wi?W 得 q?8?l? ?l(3l?4?)Mdq s由極值條件d? 0得?1 22?l 代入q的表達(dá)式，則得q?的極小值 q?8 9l2?11?MMss?19.2l2 由于此結(jié)果滿足?Ms?M?Ms，故所得q的值為完全解的極限載荷。 11.4試用機(jī)動法求下列圖示板的極限載荷 Ps。 3 (1)四邊簡支，邊長為a的正方形板，載荷作用在板的中點(diǎn)； (2)三邊簡支一邊自由的矩形板，在自由邊中點(diǎn)承受集中力的作用； (3)四邊簡支矩形板，在板上任意點(diǎn)(x,y)承

6、受集中力的作用 解（a）外力功We?Pw0 如破壞時(shí)四角可以翹起。內(nèi)力功Wi?8Ms?ctg?ctg?w0 其中?3? 4? 代入上式后，得W?8M?3? is?ctg?ctg?4?w0 由虛功原理W?3? e?Wi得P?8Ms?ctg?ctg?4? 其中?值由dP?0確定即11 d?sin2?0 sin2?3? ?4? 由此得?3? 8 因此P?16ctg3? 8Ms?6.63Ms （b）外力功We?Pw0 內(nèi)力功Wi?2Ms?ctg?ctg?w0 由We?Wi得P?2Ms?ctg?ctg? 而ctg?a 2bctg?2b a 故P?2M?a2b?a4b? s?2b?a?Ms?b?a? 4

7、（c）外力功We?Pw0 4 內(nèi)力功Wi?Msw0?ctg?i?ctg?i? i?1 ctg?y 1? 其中x,ctg?xa?xy 1?y,ctg?2?y,ctg?2?a?x ctg?b?ya?xxb?y 3?a?x,ctg?3?b?y,ctg?4?b?y,ctg?4?x 4 由W?WP?M?baba? ei得s?ctg?i?ctg?i?Ms?a?x?b?y? i?1?xy 11.5使用機(jī)動法求圖示連續(xù)梁的極限載荷。 解1：次梁為一次超靜定梁，可能的破壞機(jī)構(gòu)有兩種，如圖（b）、（c）。 若塑性鉸在B、D處形成，此時(shí) 外力功WP1 e?2? 內(nèi)力功Wi?Ms?2?Ms?3Ms? 由WMs e?W

8、i得P?6l 若塑性鉸在B、E處形成，設(shè)E到C得距離為x，此時(shí)有 5 ww0wwl E?w0,?B?l?x,?0 E?x?0 l?x?xl?xw0 外力功Wl e?2qlwl 0?2Pw0 內(nèi)力功Wi?Ms?w0 l?x?Ml s?xl?xw0 由W?Wx?l ei得P?2Ms?xl?x 令dP dx?0得x?0.41l 將x?0.41l代入P的表達(dá)式P?11.66Ms l 比較以上兩種可知該梁的極限荷載為P?6Ms l 解2：該連續(xù)梁形成破壞機(jī)構(gòu)有如下三種形式： （1） 形成兩個(gè)塑性鉸產(chǎn)生局部破壞有兩處可能，圖（ ?w l?ww3w C?0,E?0 2l?0 l?0 2l 故W?3w0w?5

9、M i?Ms?2l?0 l?2ws 0l We?Pw0 由We?Wi得P?5Ms 2l 圖（c）E、F兩點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí)有?w0 E?2l, 故WM?3ww0?Ms i?s?0 ?2l?2l?2w0l We?Pw0 由We?Wi得P?2Ms l b）B、C形成塑性鉸 w0w3wF?2l?0l?02l 6 ? （2） 形成三個(gè)塑性鉸，產(chǎn)生局部破壞有三種可能： 圖（d）在B、D、E三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí)有 3www?B?0,?D?20,?E?0 2lll 9MWi?Ms?B?D?E?w0s 2l We?2Pw0 9Ms 4l 圖（e）在C、D、F三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí) www?C?0,?D?20,?

10、F?30 lll MWi?6w0s We?Pw0?P?2w0?3Pw 0l M由We?Wi得P?2s l 圖（f）在C、D、E三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí) www?C?0,?D?20,?E?0 lll MWi?4w0s We?Pw0 l M由We?Wi得P?4s l （3） 形成三個(gè)塑性鉸，產(chǎn)生整體破壞，只有一種可能性，如圖（g），此時(shí) 3www?B?0,?D?20,?F?30 2lll 13MWi?w0s 2l由We?Wi得P? We?Pw0?Pw0?P?2w0?4Pw0 由We?Wi得P?M13Ms?1.625s 8ll 比較上述六種情況，以（g）的情況P為最小，而且此載荷滿足?Ms?M?Ms的

11、7 塑性彎矩條件。 Ms l 解3：該梁的可能破壞結(jié)構(gòu)與第一題完全相同 若塑性鉸在B、D處形成 MP?12s l 若塑性鉸在B、E處形成 MP?11.66s l M比較可知梁的極限載荷為P?11.66s l 解4：此梁為一次超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)形成兩個(gè)塑性鉸時(shí)，梁即成為破壞機(jī)構(gòu)，其破壞形式有（b）（c）（d）三種可能。 故破壞載荷為P?1.625 按圖（b）形式破壞時(shí) ww?B?0,?D?20 ll MWi?3w0s We?2Pw0 l 3Ms由We?Wi得P? 2l 按圖（c）形式破壞時(shí)，同上得 3MsP? l 按圖（d）形式破壞時(shí) ww?E?20,?D?20 ll MWi?4w0s We?3Pw

12、0 l M由We?Wi得P?1.33s l M比較得P?1.33s l 11.6試求圖示剛架的極限載荷 8 解（a）設(shè)如圖在ACDE四點(diǎn)形成塑性鉸， 由We?Wi得2P?l?P?2l?Ms?Ms?2?Ms? 得P?1.5Ms l 且此值滿足?Ms?M?Ms，條件 所以P?1.5Ms l 解2：如圖設(shè)在ACDE四點(diǎn)形成塑性鉸， 由B點(diǎn)到C點(diǎn)的距離x待定。 ?2l?x?x?x? 2?1?2l 由W1x? e?Wi得P?4P?2?2l?4Ms?2Ms? 9 P?P?x?2?x?Ms l?l2l?xl? 化簡得 4l?x?Ms? P?2l?xl?x令dP?0得 dx x2?8lx?6l2?0 M故x?

13、0.838l P?1.4s l 解3：如圖設(shè)在ACDEFG等處形成塑性鉸。 外力功We?P?2l?2Pl?4Pl? 內(nèi)力功Wi?Ms?4Ms?3Ms?Ms?Ms?Ms?11Ms? 由We?Wi得4Pl?11Ms Ms l 11.7簡支圓板半徑為R，受半徑為軸對稱均布載荷作用，試求其極限載荷 故P?2.75 r 解：圓板的平衡方程為 d?rMr?M?rQr dr 當(dāng)r?0，M?Mr對應(yīng)于Tresca條件的A點(diǎn)，當(dāng)r?R時(shí)，Mr?0,M?0，對 10 應(yīng)于Tresca條件的B點(diǎn)，圓板r從0到R對應(yīng)圖上的AB線，即M?Mr，故平衡方程可寫為 d?rMr? dr?M?rQr 在0?r?a處，存在如下平

14、衡關(guān)系：2?rQr r?0q2?rdr?0 即rQ1 r?2qr2 平衡方程為 d?rMr?M?1 ?2qr2 dr 積分上式得M?1qr2?C1 r?M?6r 由r?0處，M?Mr，所以C1?0 因此有M1 r?M?qr2 6?0?r?a? 在a?r?R處 2?rQa1 r?0q2?rdr?0即rQr?2qa2 故此時(shí)區(qū)域的平衡方程為 d?rMr? dr?M1 ?2qa2 積分上式得M1C r?M?2qa2?2 r 在r?a處連續(xù)條件，可得M112C ?6qa2?M?2qa?2 a 如C13 2?3qa 因此有 13 M21ar?M?2qa?3qr?a?r?R? 當(dāng)r?R時(shí)，M?0 如M12

15、1a3 ?2qa?3qr?0 得q?6M?R a23R?2a 11 此式即為所求的極限載荷。 11.8對圖所示的連續(xù)梁，利用上限定理求極限載荷 q. 題圖11.6 解 1）對破損機(jī)構(gòu)（a） ?x? ?1kl qkl?1ql?k2l?ql Pe?1? 222?x? Pi?Ms?1?2? Msl? x(l?x) 可得q? 2Ms 2 (l?x)(x?kl) l1?k28Ms?q ?0，得x?由代入上式，得q? （a） 222?x2l?1?k?2）對破損機(jī)構(gòu)（b） ?ql2Ms,?2? Pe? P q?M?2?is?12?xl?x2l ? ?1?由 2?1 ? ?xl?x? 2MM?q ?0，得x?

16、 0.414l，代入上式得，q?2s3?11.6572s （b） ?xll當(dāng)（a）式和（b）式相等時(shí)，k?0.441，故有 ?Ms8? 22? ?1?k2?lq? ?2Ms?k2l2 (0?k?0.441) (k?0.441) 11.9圖示寬度b不變，高度h線性變化的矩形截面梁，簡支座截面高為h0，固定端處截面高為4h0。集中力P據(jù)簡支端距離為l1，對 l111 ? ,兩種情況用上限l35 12 方法求塑性極限載荷P值。 題圖11.7 解 由于各截面的Ms值不同，因此除集中力 作用點(diǎn)B能形成鉸外，另一鉸C距B點(diǎn)距離 為l2，而不一定總在固定端，如圖所示。 2bh0?s?3l1?MsB?1? 4

17、?l?2 MsC?bh?s 420?3?l1?l2?1? l?2 ?1?,?2? l1l2 由外力功率Pe?P?，內(nèi)力功率Pi?MsB(?1?2)?MsC?2，得 ?11?1P?MsB?MsC l2?l1l2? 令x?l1l,y?2，得 ll 21?bh02?s?1?2?1P?1?3x?1?3x?y? ?4l?y?xy? 2bh0?s?4l?121 （a） 12?27x?2?12x?18x?9y?xy? ?P?0，得 ?y上式中x是定值，調(diào)整y使P最小，由 2?12x?18x2 y? （b） 92 13 1） 當(dāng)l111?時(shí)，即x?，代入（b ）式，得y?。因?yàn)閤?y?1，而現(xiàn)在 l333 1

18、21故P最小值的y只能取在固定端處，將x?,y?代入（a）x?y?1，3333 bh02?s式，得P?10.5 l 2） 當(dāng)l111?時(shí)，即x?，代入（b ）式，得y?。因?yàn)閤?y?1，這表明鉸l55bh02?s1C 不在固定端，將x?,y?a）式，得P?8.994 l5 11.10 用上限和下限方法求圖示剛架的極限載荷P。 解 1）上限法： 圖示破損機(jī)構(gòu)（a），（b），（c），（d）都是分別由一外載荷引起的。 機(jī)構(gòu)（a），點(diǎn)8，10，11成鉸 8MsP? （a） l 機(jī)構(gòu)（b），點(diǎn)4，5，6成鉸 8MsP? （b） l 機(jī)構(gòu)（c），點(diǎn)1，4，6，9，11，12成鉸 4MsP? （c） l 機(jī)

19、構(gòu)（d），只上層剛架傾斜，點(diǎn)3，8，11，12成 8MsP? （d） l對比之下，方案（c）對應(yīng)的P值最小，為要進(jìn)一步小 個(gè) 減14 P值應(yīng)減小內(nèi)力功率，而增加外力功率所相應(yīng)的速度項(xiàng)。 3在圖示機(jī)構(gòu)（e）中，Pe?Pl?，與機(jī)構(gòu)（c）時(shí)一樣，但Pi較小，點(diǎn)1，6，9，2 10轉(zhuǎn)角為?，而點(diǎn)4，10，12轉(zhuǎn)角為?2，由此得出 11MsM?3.667s （e） 3ll 這比機(jī)構(gòu)（c）有了進(jìn)一步改進(jìn)， 是否最小的上限值還可用下限法作進(jìn)一步檢驗(yàn)。 3） 下限法： 從機(jī)構(gòu)（e）出發(fā)，規(guī)定桿內(nèi)表層受拉時(shí)彎矩為正， P?時(shí)有M1?Ms，M2?Ms，M9?Ms， M4?Ms，M6?Ms，M10?Ms，M12?

20、Ms， 11Ms，未知的彎矩是M3,M5,M7,M8,M11?？?3l 列出平衡方程來求出這些未知彎矩。 P? 由結(jié)點(diǎn)A的平衡，得M3?M2?M4，得M3?0 由機(jī)構(gòu)（b），得平衡方程 11l?M4?2M5?M6?P 得M5?Ms?Ms 122 由機(jī)構(gòu)（c）得平衡方程 13lM1?M4?M12?M11?M6?M9?P 得M11?Ms?Ms 22 由機(jī)構(gòu)（a），得平衡方程 1l?M11?2M10?M8?P 得M8?Ms 32 2最后由結(jié)點(diǎn)B的平衡，得M6?M8?M7?0 得M7?Ms 3 由于所有的Mi?Ms，故所得的P又是極限載荷的下限，因此 P?11MsM?3.667s是極限載荷值。 3ll

21、 11.11用靜力法（即下限法）求圖示剛架的極限載荷P，要求把問題歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，并用單純形法求解。 15 題圖11.9 解 該鋼架為二次超靜定結(jié)構(gòu)，可以列出兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，選用兩種破損機(jī)構(gòu)作為虛位移，可由虛功原理求得兩個(gè)平衡方程為 ?M2?2M3?M4?2Pl? （a） ?M1?M2?M4?6Pl? 引進(jìn)量綱為一的量mi?MiPl，則上式可表示成 ,q?MsMs ?m2?2m3?m4?2q? （b） ?m1?m2?m4?6q? 這些截面的彎矩絕對值不允許超過Ms，故有 （c） ?1?mi?1 ?i?1,2,3?, 4 標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題的提法為：求xi(i?1,2,?,n)，使

22、f?cixi取極小值。 i?1n 并滿足下列約束條件： ?a j?1nkj?,m, ) (m?n) xj?dk (k?1,2 ?,n, )xi?0 (i?1,2 ?,m, )dk?0 (k?1,2 現(xiàn)在要把滿足方程（b），（c）及使q取最大值的問題化成標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，這時(shí)可作下列變換： （1）令xi?mi?1 ?i?1,?,可保證4xi? （2）令f?q，把求q最大變成求f最小。 ?0 16 （3）增加變量xi?0(i?5,6,7,8)，使不等式約束變成等式約束。 （4）在方程（b）中消去q成為一個(gè)等式約束。 這樣問題就變成如下標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題： xx求xi?0(i?1,?,8)，使f?

23、2?x3?4最小。滿足： 22 x1?4x2?6x3?2x4?1 x1?x5?2 x2?x6?2 x3?x7?2 x4?x8?2 下面我們采用單純形法求解，用列表方式進(jìn)行。 x1 1 1 0x2?401001 2x360010?1?x4?2000112x5010000x6001000x7000100x8000010d122 220 表中的值方程的系數(shù)，最后一行是f的系數(shù)。 初始基本可行解： 取x2?x3?x4?0，基本變量為x1?1,x5?1,x6?2,x7?2,x8?2。由于滿足xi?0， 故是基本可行解，對應(yīng)的f?0。 接著要進(jìn)行換基，從最后一行看有哪些的系數(shù)是負(fù)的，現(xiàn)在只有一個(gè)系數(shù)負(fù)的。

24、因此x3要進(jìn)基，然后看這一列的系數(shù)，以這些系數(shù)為分母，右邊的系數(shù)121為分子，第一行為，第四行為，其余的行分母為零不考慮，的值為最小，616 故取x1出基，對第3列進(jìn)行消去法，變成1，0，0，0，0，0形式，結(jié)果如下表： 17 x1 1 6 1 1?6 1 6x2?230x3100000x4?130x5010000x6001000x7000100x8000010d162211621 61230?1 6?013116 1111這時(shí)的解為x1?x2?x4?0,x3?,x5?2,x6?2,x7?,x8?2,f?。已經(jīng)666 比初始基本解f?0有了進(jìn)步，但最后一行系數(shù)還有負(fù)的，故尚需換基，現(xiàn)在x2要進(jìn)基，由于第三行為2，第四行為33，因此x3要出基，將第二行消?312 成0，0，1，0，0，0形式如下表所示： x1x2x3x4x5x6x7x8d 112301?0006332 100010002 010001002 1121?000?106332 000100012 1111000006662 311這時(shí)對應(yīng)的解為x1?x4?x6?0,x2?2,x3?,x5?2,x7?,x8?2,f?，由于222 最后一行系數(shù)都是正的，表示已求得線性規(guī)劃問題的解，將結(jié)