高一數(shù)學(xué)期中必備知識(shí)點(diǎn)：集合與函數(shù)概念

1、高一數(shù)學(xué)期中必備知識(shí)點(diǎn)：集合與函數(shù)概念數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。精品小編準(zhǔn)備了高一數(shù)學(xué)期中必備知識(shí)點(diǎn)，希望你喜歡。一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性：1. 元素的確定性 ;2. 元素的互異性 ;3. 元素的無(wú)序性說(shuō)明： (1) 對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2) 任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3) 集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較

2、它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4) 集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如 我校的籃球隊(duì)員 ， 太平洋 , 大西洋 ,印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合： a=我校的籃球隊(duì)員 ,b=1,2,3,4,52. 集合的表示方法：列舉法與描述法。第 1頁(yè)注意啊：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集 ( 即自然數(shù)集 ) 記作： n正整數(shù)集 n*或 n+整數(shù)集 z 有理數(shù)集 q實(shí)數(shù)集 r 關(guān)于屬于的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如： a 是集合 a 的元素，就說(shuō) a 屬于集合 a 記作 aa，相反， a 不屬于集合 a 記作 a?a列舉法：把集

3、合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。語(yǔ)言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是 x?r|x-32或 x|x-324、集合的分類：1. 有限集含有有限個(gè)元素的集合2. 無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合3. 空集不含任何元素的集合例： x|x2=-5 二、集合間的基本關(guān)系 1. 包含關(guān)系子集注意：有兩種可能 (1)a 是 b 的一部分， ;(2)a 與 b 是同一集合。第 2頁(yè)反之 : 集合 a 不包含于集合b, 或集合 b 不包含

4、集合a, 記作 ab或 ba2. 相等關(guān)系 (55 ，且 55，則 5=5)實(shí)例：設(shè)a=x|x2-1=0b=-1,1元素相同結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合 a 與 b，如果集合 a 的任何一個(gè)元素都是集合 b 的元素，同時(shí) , 集合 b 的任何一個(gè)元素都是集合 a 的元素，我們就說(shuō)集合 a 等于集合 b，即： a=b 任何一個(gè)集合是它本身的子集。 aa真子集 : 如果 ab,且 a1b那就說(shuō)集合 a 是集合 b 的真子集，記作 ab(或 ba)如果 ab,bc,那么 ac如果 ab同時(shí) ba那么 a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集

5、合的運(yùn)算1. 交集的定義：一般地，由所有屬于a 且屬于 b 的元素所組成的集合, 叫做 a,b 的交集 .記作 ab(讀作 a 交 b) ，即 ab=x|xa ，且 xb.2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合a 或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，叫做a,b 的并集。記作：ab(讀作 a并 b)，即 ab=x|xa ，或 xb.3、交集與并集的性質(zhì)：aa=a,a=b=ba， aa=a,第 3頁(yè)a=a,ab=ba.4、全集與補(bǔ)集(1) 補(bǔ)集：設(shè) s 是一個(gè)集合， a 是 s 的一個(gè)子集 ( 即 ) ，由 s 中所有不屬于 a 的元素組成的集合， 叫做 s 中子集 a 的補(bǔ)集 ( 或余集 )記作：

6、csa即 csa=x|x?s 且 x?ascsaa(2) 全集：如果集合 s 含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用u來(lái)表示。(3) 性質(zhì)： cu(cua)=a(cua)(cua)a=u二、函數(shù)的有關(guān)概念1. 函數(shù)的概念：設(shè)a、b 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f ，使對(duì)于集合a 中的任意一個(gè)數(shù) x，在集合 b 中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f ：ab為從集合 a 到集合 b 的一個(gè)函數(shù) . 記作： y=f(x) ， xa. 其中，x 叫做自變量， x 的取值范圍 a 叫做函數(shù)的定義域 ; 與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值， 函

7、數(shù)值的集合 f(x)|xa 叫做函數(shù)的值域 .注意：2 如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合 ;3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.第 4頁(yè)定義域補(bǔ)充能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零 ;(2) 偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零;(3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零 ;(4) 指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x 的值組成的集合 .(6) 指數(shù)為零底不可以等

8、于零 (6) 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義 .( 又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域再注意： (1) 構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等( 或?yàn)橥缓瘮?shù) )(2) 兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同; 定義域一致( 兩點(diǎn)必須同時(shí)具備 )( 見(jiàn)課本 21 頁(yè)相關(guān)例 2)值域補(bǔ)充(1) 、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函

9、數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2). 應(yīng)熟悉掌握一第 5頁(yè)次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(xa)中的 x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y 為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(x ，y) 的集合 c，叫做函數(shù) y=f(x),(xa)的圖象 .c 上每一點(diǎn)的坐標(biāo) (x ，y) 均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x) ，反過(guò)來(lái)，以滿足 y=f(x) 的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y 為坐標(biāo)的點(diǎn) (x ，y) ，均在 c 上. 即記為 c=p(x,y)|y=f(x),xa圖象 c 一般的是一條光滑的連續(xù)曲線 ( 或直線 ),

10、也可能是由與任意平行與 y 軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2) 畫(huà)法a、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y 的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)p(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái).b、圖象變換法 ( 請(qǐng)參考必修4 三角函數(shù) )常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換(3) 作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2 、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。第 6頁(yè)4. 快去了解區(qū)間的概念(1) 區(qū)間的分類：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間;(2) 無(wú)窮區(qū)間 ;(3) 區(qū)間的數(shù)軸表示.5. 什么叫做映射

11、一般地，設(shè)a、 b 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f ，使對(duì)于集合a 中的任意一個(gè)元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y 與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f ：ab為從集合 a 到集合 b 的一個(gè)映射。記作f ：ab給定一個(gè)集合 a 到 b 的映射，如果 aa,bb. 且元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象說(shuō)明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，集合 a、b 及對(duì)應(yīng)法則 f 是確定的 ; 對(duì)應(yīng)法則有方向性，即強(qiáng)調(diào)從集合 a 到集合 b 的對(duì)應(yīng)，它與從 b 到 a 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的 ; 對(duì)于映射 f ：ab來(lái)說(shuō)，

12、則應(yīng)滿足： ( ) 集合 a中的每一個(gè)元素， 在集合 b 中都有象， 并且象是唯一的 ;( )集合 a 中不同的元素，在集合b 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);( ) 不要求集合b 中的每一個(gè)元素在集合a 中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域 ;3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域; 化第 7頁(yè)簡(jiǎn)函數(shù)的解析式 ; 觀察函數(shù)的特征 ;4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征 .注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法

13、：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù)( 參見(jiàn)課本p24-25)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況 .(1) 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù) ;(2) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集 . 補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u),(um),u=g(x),(xa),則 y=fg(x)=f(x)，(xa)稱為 f 、 g 的復(fù)合函數(shù)。例如 :y=2sinxy=2cos(x2+1)7

14、. 函數(shù)單調(diào)性(1).增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)閕 ，如果對(duì)于定義域i 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng) x1如果對(duì)于區(qū)間d 上的任意兩個(gè)自變量的值x1， x2，當(dāng) x1注意： 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，第 8頁(yè)是函數(shù)的局部性質(zhì);2 必須是對(duì)于區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2; 當(dāng) x1(2) 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么說(shuō)函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 ( 嚴(yán)格的 ) 單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的 .(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a)

15、 定義法：1 任取 x1， x2d，且 x1(b) 圖象法 ( 從圖象上看升降)_(c) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x) ，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)注意： 1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間, 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.2 、還記得我們?cè)谶x修里學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎?8. 函數(shù)的奇偶性(1) 偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù) f(x) 的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(-x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函數(shù) .(2) 奇函數(shù)第 9頁(yè)一般地，對(duì)于函數(shù) f(x) 的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(-x)=f(x) ，那么

16、 f(x) 就叫做奇函數(shù) .注意： 1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì); 函數(shù)可能沒(méi)有奇偶性, 也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則 -x 也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量 ( 即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱 ; 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;2 確定 f(-x)與 f(x)的關(guān)系 ;3 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x

17、)-f(x)=0，則 f(x)是偶函數(shù) ; 若 f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則 f(x)是奇函數(shù) .注意?。汉瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件 . 首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù) . 若對(duì)稱， (1) 再根據(jù)定義判定 ;(2) 有時(shí)判定 f(-x)=f(x) 比較困難，可考慮根據(jù)是否有 f(-x)f(x)=0或 f(x)/f(-x)=1 來(lái)判定 ;(3) 利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .第 10 頁(yè)9、函數(shù)的解析表達(dá)式(1). 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域 .(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等， 如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)， 可用待定系數(shù)法 ; 已知復(fù)合函數(shù) fg(x) 的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍; 當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法; 若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x