概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第14講.ppt

1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第14講,本文件可從網(wǎng)址 http:/ 上下載,2,3.3 條件期望,3,例 兩封信隨機(jī)投向1,2,3,4四個(gè)信箱, X1,X2代表頭兩個(gè)信箱里的信數(shù)目, 求在第2個(gè)郵箱里有一封信條件下第一個(gè)郵箱內(nèi)信數(shù)的平均數(shù),4,解 因已經(jīng)計(jì)算出,5,對(duì)于二元離散型隨機(jī)變量(X,Y), 在X取某一個(gè)定值, 比如X=xi的條件下, 求Y的數(shù)學(xué)期望, 稱(chēng)此期望為給定X=xi時(shí)Y的條件期望, 記作E(Y|X=xi), 有,6,對(duì)于二元連續(xù)型隨機(jī)變量, 定義,其中f(y|x)及f(x|y)分別是在X=x條件下關(guān)于Y的條件概率密度和在Y=y條件下關(guān)于X的條件概率密度. 當(dāng)然這個(gè)定義假定各式都是有意

2、義的,7,方差,8,例 設(shè)甲,乙兩炮射擊彈著點(diǎn)與目標(biāo)的距離分別為X1,X2(為簡(jiǎn)便起見(jiàn), 假定它們只取離散值), 并有如下分布律,9,則兩炮有相同的期望值(EXi=90,i=1,2), 但比較兩組數(shù)據(jù)可知乙炮較甲炮準(zhǔn)確.彈著點(diǎn)集中,10,圖示比較,90,95,85,80,100,11,有兩批鋼筋, 每批各10根, 它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)如下,第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140 第二批: 90, 100, 120, 125, 130, 130, 135, 140, 145, 145,12,它們的平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)都是126, 但是

3、, 使用鋼筋時(shí), 一般要求抗拉強(qiáng)度指標(biāo)不低于一個(gè)指定數(shù)值(如115). 那么, 第二批鋼筋的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)與平均值偏差較大, 即取值較分散, 不合格的多, 可以認(rèn)為第二批比第一批質(zhì)量差,13,可見(jiàn)在實(shí)際問(wèn)題中, 僅靠期望值(或平均值)不能完善地說(shuō)明隨機(jī)變量的分布特征, 還必須研究期離散程度. 通常人們關(guān)心的是隨機(jī)變量X對(duì)期望值E(X)的離散程度,14,定義 如果隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在, 稱(chēng)X-E(X)為隨機(jī)變量的離差. 顯然, 隨機(jī)變量離差的期望是零, 即 EX-E(X)=0 不論正偏差大還是負(fù)偏差大, 同樣都是離散程度大, 為了消除離差X-E(X)的符號(hào), 用X-E(X)2來(lái)衡量X與

4、E(X)的偏差,15,定義,16,17,如果X是離散型隨機(jī)變量, 并且PX=xk=pk (k=1,2,.), 則,18,19,可見(jiàn)隨機(jī)變量的方差是非負(fù)數(shù), D(X)0, 常量的方差是零. 當(dāng)X的可能值密集在它的期望值E(X)附近時(shí), 方差較小, 反之則方差較大.因此方差的大小可以表示隨機(jī)變量分布的離散程度,20,在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中喜歡用方差D(X), 而在實(shí)際應(yīng)用中則更喜歡用標(biāo)準(zhǔn)差sX ,這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差的量綱和隨機(jī)變量的量綱一樣, 隨機(jī)變量的單位是元, 則標(biāo)準(zhǔn)差的單位也是元, 隨機(jī)變量的單位是公斤, 則標(biāo)準(zhǔn)差的單位也是公斤,21,對(duì)于一些測(cè)量工具的誤差通常用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述, 而這是有國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的. 一個(gè)

5、經(jīng)驗(yàn)之談, 任何隨機(jī)變量在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中和它的數(shù)學(xué)期望之差超過(guò)3到5倍的標(biāo)準(zhǔn)差是實(shí)際不可能的, 但數(shù)學(xué)上不承認(rèn)這一點(diǎn). 例如, 假設(shè)一個(gè)秤的標(biāo)準(zhǔn)差為一克, 它稱(chēng)一公斤的東西可能不會(huì)正好一公斤, 但決無(wú)可能是0.994公斤, 也無(wú)可能是1.006公斤,22,圖示, 方差大和方差小的情況,方差小,方差大,f1(x,f2(x,x,x,23,例 計(jì)算參數(shù)為p的0-1分布的方差,24,解 根據(jù)X的概率函數(shù) PX=1=pPX=0=1-p=q 則E(X)=0q+1p=p D(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p2q+q2p =pq(p+q)=pq=p(1-p) E(X)=pD(X)=pq,25,例 計(jì)算本節(jié)

6、開(kāi)始所舉甲乙兩炮射擊中D(X1), 及D(X2,26,解 已算得E(X1)=E(X2)=90, 則 D(X1)=1020.2+520.2+020.2+520.2+ 1020.2=50,27,D(X2)=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2 +520.2=12.5,28,方差的性質(zhì),常量的方差等于零 證 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0,29,2) 隨機(jī)變量與常量之和的方差就等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差本身 證 D(X+c)=EX+c-E(X+c)2=EX+c-EX-c)2 =E(X-EX)2=D(X,30,3) 常量與隨機(jī)變量乘積的方差, 等于這常量的平方與隨機(jī)變量方

7、差的乘積. 證 D(cX)=EcX-E(cX)2=EcX-E(X)2 =Ec2X-E(X)2=c2DX,31,圖示性質(zhì),c,X+c的概率密度,X的概率密度,32,圖示性質(zhì),X的概率密度,cX的概率密度,33,4) 兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差, 等于這兩個(gè)隨機(jī)變量方差的和,34,證 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2 =EX-E(X)+Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+Y-E(Y)2 +2X-E(X)Y-E(Y) =EX-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y) =D(X)+D(Y,35,這是因?yàn)閄與Y獨(dú)立, 則X-E(X)與Y-E(Y)也獨(dú)立, 因此EX-E(X)Y-

8、E(Y) = EX-E(X)EY-E(Y)=0,36,性質(zhì)4可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量,即, 若X1,X2,.,Xn相互獨(dú)立, 則有 D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn,37,進(jìn)一步可得: n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)的方差等于其方差算術(shù)平均數(shù)的1/n倍,38,5) 任意隨機(jī)變量的方差等于這個(gè)隨機(jī)變量平方的期望與其期望平方之差, 即D(X)=E(X2)-E(X)2,39,證 DX=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =EX2-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 這個(gè)公式很重要, 實(shí)際上計(jì)算一個(gè)隨機(jī)變量的方差用的是這個(gè)

9、公式,40,計(jì)算E(X2)的辦法,41,例 計(jì)算在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的方差,42,解 已知X的概率密度為,前面我們已算出EX=(a+b)/2,43,44,上面的解法較麻煩, 另一種簡(jiǎn)單的解法是,先求出在0,1區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量的方差, 再乘上(b-a)2, 就是在a,b區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量的方差,45,46,47,例 兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X,Y的分布如下面兩表所示, 計(jì)算D(X-Y,48,解 E(X)=90.3+100.5+110.2=9.9 E(Y)=60.4+70.6=6.6 E(X2)=810.3+1000.5+1210.2=98.5 D(X)=E(X2)-E(X)2=98.5-98.01=0.49 E(Y2)=620.4+720.6=43.8 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=43.8-43.56=0.24 D(X-Y)=D(X)+D(Y)=0.49+0.24=0.73,49,例 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度是,已知E(X)=0.5, D(X)=0.15, 求系數(shù)a,b,c,50,5