概率論與數理統(tǒng)計第14講.ppt

1、1,概率論與數理統(tǒng)計第14講,本文件可從網址 http:/ 上下載,2,3.3 條件期望,3,例 兩封信隨機投向1,2,3,4四個信箱, X1,X2代表頭兩個信箱里的信數目, 求在第2個郵箱里有一封信條件下第一個郵箱內信數的平均數,4,解 因已經計算出,5,對于二元離散型隨機變量(X,Y), 在X取某一個定值, 比如X=xi的條件下, 求Y的數學期望, 稱此期望為給定X=xi時Y的條件期望, 記作E(Y|X=xi), 有,6,對于二元連續(xù)型隨機變量, 定義,其中f(y|x)及f(x|y)分別是在X=x條件下關于Y的條件概率密度和在Y=y條件下關于X的條件概率密度. 當然這個定義假定各式都是有意

2、義的,7,方差,8,例 設甲,乙兩炮射擊彈著點與目標的距離分別為X1,X2(為簡便起見, 假定它們只取離散值), 并有如下分布律,9,則兩炮有相同的期望值(EXi=90,i=1,2), 但比較兩組數據可知乙炮較甲炮準確.彈著點集中,10,圖示比較,90,95,85,80,100,11,有兩批鋼筋, 每批各10根, 它們的抗拉強度指標如下,第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140 第二批: 90, 100, 120, 125, 130, 130, 135, 140, 145, 145,12,它們的平均抗拉強度指標都是126, 但是

3、, 使用鋼筋時, 一般要求抗拉強度指標不低于一個指定數值(如115). 那么, 第二批鋼筋的抗拉強度指標與平均值偏差較大, 即取值較分散, 不合格的多, 可以認為第二批比第一批質量差,13,可見在實際問題中, 僅靠期望值(或平均值)不能完善地說明隨機變量的分布特征, 還必須研究期離散程度. 通常人們關心的是隨機變量X對期望值E(X)的離散程度,14,定義 如果隨機變量X的數學期望E(X)存在, 稱X-E(X)為隨機變量的離差. 顯然, 隨機變量離差的期望是零, 即 EX-E(X)=0 不論正偏差大還是負偏差大, 同樣都是離散程度大, 為了消除離差X-E(X)的符號, 用X-E(X)2來衡量X與

4、E(X)的偏差,15,定義,16,17,如果X是離散型隨機變量, 并且PX=xk=pk (k=1,2,.), 則,18,19,可見隨機變量的方差是非負數, D(X)0, 常量的方差是零. 當X的可能值密集在它的期望值E(X)附近時, 方差較小, 反之則方差較大.因此方差的大小可以表示隨機變量分布的離散程度,20,在數學推導中喜歡用方差D(X), 而在實際應用中則更喜歡用標準差sX ,這是因為標準差的量綱和隨機變量的量綱一樣, 隨機變量的單位是元, 則標準差的單位也是元, 隨機變量的單位是公斤, 則標準差的單位也是公斤,21,對于一些測量工具的誤差通常用標準差來描述, 而這是有國家標準的. 一個

5、經驗之談, 任何隨機變量在實際實驗中和它的數學期望之差超過3到5倍的標準差是實際不可能的, 但數學上不承認這一點. 例如, 假設一個秤的標準差為一克, 它稱一公斤的東西可能不會正好一公斤, 但決無可能是0.994公斤, 也無可能是1.006公斤,22,圖示, 方差大和方差小的情況,方差小,方差大,f1(x,f2(x,x,x,23,例 計算參數為p的0-1分布的方差,24,解 根據X的概率函數 PX=1=pPX=0=1-p=q 則E(X)=0q+1p=p D(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p2q+q2p =pq(p+q)=pq=p(1-p) E(X)=pD(X)=pq,25,例 計算本節(jié)

6、開始所舉甲乙兩炮射擊中D(X1), 及D(X2,26,解 已算得E(X1)=E(X2)=90, 則 D(X1)=1020.2+520.2+020.2+520.2+ 1020.2=50,27,D(X2)=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2 +520.2=12.5,28,方差的性質,常量的方差等于零 證 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0,29,2) 隨機變量與常量之和的方差就等于這個隨機變量的方差本身 證 D(X+c)=EX+c-E(X+c)2=EX+c-EX-c)2 =E(X-EX)2=D(X,30,3) 常量與隨機變量乘積的方差, 等于這常量的平方與隨機變量方

7、差的乘積. 證 D(cX)=EcX-E(cX)2=EcX-E(X)2 =Ec2X-E(X)2=c2DX,31,圖示性質,c,X+c的概率密度,X的概率密度,32,圖示性質,X的概率密度,cX的概率密度,33,4) 兩個獨立隨機變量之和的方差, 等于這兩個隨機變量方差的和,34,證 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2 =EX-E(X)+Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+Y-E(Y)2 +2X-E(X)Y-E(Y) =EX-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y) =D(X)+D(Y,35,這是因為X與Y獨立, 則X-E(X)與Y-E(Y)也獨立, 因此EX-E(X)Y-

8、E(Y) = EX-E(X)EY-E(Y)=0,36,性質4可以推廣到任意有限個隨機變量,即, 若X1,X2,.,Xn相互獨立, 則有 D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn,37,進一步可得: n個相互獨立的隨機變量的算術平均數的方差等于其方差算術平均數的1/n倍,38,5) 任意隨機變量的方差等于這個隨機變量平方的期望與其期望平方之差, 即D(X)=E(X2)-E(X)2,39,證 DX=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =EX2-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 這個公式很重要, 實際上計算一個隨機變量的方差用的是這個

9、公式,40,計算E(X2)的辦法,41,例 計算在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機變量X的方差,42,解 已知X的概率密度為,前面我們已算出EX=(a+b)/2,43,44,上面的解法較麻煩, 另一種簡單的解法是,先求出在0,1區(qū)間均勻分布的隨機變量的方差, 再乘上(b-a)2, 就是在a,b區(qū)間均勻分布的隨機變量的方差,45,46,47,例 兩相互獨立的隨機變量X,Y的分布如下面兩表所示, 計算D(X-Y,48,解 E(X)=90.3+100.5+110.2=9.9 E(Y)=60.4+70.6=6.6 E(X2)=810.3+1000.5+1210.2=98.5 D(X)=E(X2)-E(X)2=98.5-98.01=0.49 E(Y2)=620.4+720.6=43.8 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=43.8-43.56=0.24 D(X-Y)=D(X)+D(Y)=0.49+0.24=0.73,49,例 若連續(xù)型隨機變量X的概率密度是,已知E(X)=0.5, D(X)=0.15, 求系數a,b,c,50,5