極限習題及答案：數(shù)學歸納法

1、數(shù)列通項及用歸納法證明不等式例一、 在1與2間插入n個正數(shù)，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1、2間插入n個正數(shù)，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列記求：（1）數(shù)列和的通項； （2）當時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論分析：考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識，以及觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學歸納法解：（1）成等比數(shù)列， 成等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項，數(shù)列的通項（2）要比較與的大小，只需比較的大小，也就是比較當時，與的大小當n=7時，知經(jīng)驗證，n=8,n=9時，均有成立，猜想，當時有下面用數(shù)學歸納法證明：（）n=7時已證（）假設(shè)時不等式成立，即，好么故即時不等式也成立根據(jù)（）和（）當時，成立，即說明：開放題求

2、解要注意觀察題目的特點，可以先通過特殊數(shù)嘗試可能的結(jié)果，然后總結(jié)歸納出一般規(guī)律，利用歸納法證明結(jié)論猜想數(shù)列通項、利用歸納法證明不等式例一、 設(shè)數(shù)列滿足（1）當時，求，并由此猜想出的一個通項公式；（2）當時，證明對所有的，有（） （）分析：本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識，考查猜想、歸納、推理以及分析問題和解決問題的能力解：（1）由得由得由，得由此猜想的一個通項公式：（2）（）用數(shù)學歸納法證明：當，不等式成立假設(shè)當n=k時不等式成立，即，那么，也就是說，當時，根據(jù)和，對于所有，有（）由及（），對，有于是 說明：證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個難點，在由n=k成立，推導(dǎo)n=k+1不等

3、式也成立時，過去講的證明不等式的方法再次都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時還要考證與原不等式的等價的命題數(shù)列與歸納法的綜合題例一、 設(shè)為常數(shù)，且（）證明對任意 （）假設(shè)對任意有，求的取值范圍分析： 本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學歸納法，考考靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力證明：（）證法一：（1）當時，由已知，等式成立（）假設(shè)當?shù)仁匠闪ⅲ茨敲匆簿褪钦f，當時，等式也成立根據(jù)（）和（）可知證法二：如果設(shè)用代入，可解出所以是公比的2，首項為的等比數(shù)列即（）解法一：由通項公式 （）當時，式即為即為 式對都成立，有（）當時，即為 式對都成立，有綜上，式對任意成立，

4、有故的取值范圍為解法二：如果成立，特別取有因此 下面證明當時，對任意，有由通項公式，時（2）當時，故的取值范圍為判斷證明過程的正誤例 試判斷下面的證明過程是否正確：用數(shù)學歸納法證明：證明：（1）當時，左邊1，右邊1當時命題成立（2）假設(shè)當時命題成立，即則當時，需證由于左端等式是一個以1為首項，公差為3，項數(shù)為的等差數(shù)列的前項和，其和為式成立，即時，命題成立根據(jù)（1）（2）可知，對一切，命題成立 分析：看一個用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題是否正確關(guān)鍵要看兩個步驟是否齊全，特別是第二步歸納假設(shè)是否被應(yīng)用，如果沒有用到歸納假設(shè)，那就是不正確的解： 以上用數(shù)學歸納法證明的過程是錯誤的在證明當時等式成立時，沒

5、有用到當時命題成立的歸納假設(shè)，故不符合數(shù)學歸納法證題的要求第二步正確的證明方法是：假設(shè)當時命題成立，即則當時，即當時，命題成立 說明：用數(shù)學歸納法證題的兩個步驟相輔相成缺一不可盡管有些與正整數(shù)有關(guān)的命題用其它方法也可以解決，但題目若要求用數(shù)學歸納法證明，則必須嚴格按照數(shù)學歸納法的步驟進行，否則是不正確的用數(shù)學歸納法證明等式例 用數(shù)學歸納法證明 分析：用數(shù)學歸納法證明一個與整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是第二步，要注意當時，等式兩邊的式子與時等式兩邊的式子的聯(lián)系，增加了哪些項，減少了哪些項，問題就會順利解決證明：（1）當時，左邊，右邊，贊美式成立（2）假設(shè)當時，等式成立，即則當時，即當時，等式成立根據(jù)（1

6、）、（2）可知，對一切，等式成立 說明：解題過程中容易將時，等式右邊錯寫為，從而導(dǎo)致證明錯誤或無法進行特別要注意等式右邊的每一個式子都在隨的變化而變化利用數(shù)學歸納法證明正切等式例 用數(shù)學歸納法證明 分析：在由假設(shè)時等式成立，推導(dǎo)當時等式成立時，要靈活應(yīng)用三角公式及其變形公式，本題中涉及到兩個角的正切的乘積問題，聯(lián)想到兩角差的正切公式的變形公式：，問題就會迎刃而解證明：（1）當時，左邊右邊，等式成立（2）假設(shè)當時，等式成立，即則當時，由得代入式，得右邊即這就是說，當時等式成立根據(jù)（1）、（2）可知，對任意，等式成立 說明：靈活應(yīng)用三角公式是解決三角問題常用的方法和技巧，恰當?shù)膽?yīng)用公式是關(guān)鍵如果應(yīng)

7、用公式來變形，本題就會出現(xiàn)困難解決有關(guān)的式子時，經(jīng)常要用到展開式及其變形公式利用歸納法證明整除問題例 用數(shù)學歸納法證明：能被9整除 分析：證明一個與有關(guān)的式子能被一個數(shù)（或一個代數(shù)式）整除，主要是找到與的關(guān)系，設(shè)法找到式子，使得，就可證昨命題成立證明：（1）當時，能被9整除，命題成立（2）假設(shè)當時，能被9整除，當時，和都能被9整除都能被9整除即能被9整除即當時，命題成立由（1）、（2）可知，對任何命題都成立說明：如果將時，變?yōu)槟鼙?整除，困難就大一些本題也可用二項式定理把寫成展開后，再證明用歸納法證明直線分割平面問題例 平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明這條直線把平面

8、分成個部分 分析：用數(shù)學歸納法證明幾何問題，主要搞清楚當時比當時，分點增加了多少個，區(qū)城增加了多少塊，線段增加了多少條本問題中第條直線與前條直線有個分點，平面區(qū)域增加了塊證明：（1）當時，平面被分成2部分又，命題成立（2）假設(shè)當時命題成立即符合條件的條直線把平面分成個部分現(xiàn)在來考慮平面內(nèi)有條直線的情況任取其中的一條直線，記為（如下圖）圖與其它條直線有個交點，平面區(qū)域增加了塊，從而這條直線把平面分成了根據(jù)（1）、（2）可知，命題對任何正整數(shù)都成立說明：不能錯誤地認為第條直線被其它條直線分成段，區(qū)域增加了部分或2部分證明有關(guān)幾何問題，哪邊形內(nèi)角和公式，邊形對角線條數(shù)公式，還要確定初始值應(yīng)為多少由到時又是如何變化的猜想并證明數(shù)列的通項例 對于數(shù)列，若（1）求，并猜想的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想 分析：由已知條件，可直接求出 式，通過觀察歸納，猜想出的表達式，再用數(shù)學歸納法加以證明解：（1）同理可得猜想（2）（）當時，右邊，等式成立（）假設(shè)當時，等式成立，即，則當時，這就是說，當時，等式也成立根據(jù)（）、（）可知，